Grenzwert der Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:34 Sa 25.07.2009 | | Autor: | durden88 |
Hallo,
ist der Lösungsweg richtig (besonders das mit hoch 1/2)
a= [mm] (\wurzel{\bruch{n+2}{n}})^n [/mm]
[mm] lim=\{( 1+\bruch{2}{n})^n \} ^\bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \wurzel{e}
[/mm]
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Hallo durden88,
> Hallo,
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> ist der Lösungsweg richtig (besonders das mit hoch 1/2)
>
> a= [mm](\wurzel{\bruch{n+2}{n}})^n[/mm]
> [mm]lim=\{( 1+\bruch{2}{n})^n \} ^\bruch{1}{2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") = [mm]\wurzel{e}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wogegen strebt [mm] $\left(1+\frac{\red{x}}{n}\right)^n$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$, [/mm] wogegen also [mm] $\left(1+\frac{\red{2}}{n}\right)^n$ [/mm] ?
Du hast alles richtig bis auf diesen kleinen Überseher ...
LG
schachuzipus
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Hallo nochmal,
eine alternative Umschreibung:
[mm] $\left(\sqrt{\frac{n+2}{n}}\right)^n=\left(1+\frac{2}{n}\right)^{\frac{n}{2}}=\left(1+\frac{1}{\frac{n}{2}}\right)^{\frac{n}{2}}$
[/mm]
Mit [mm] $k:=\frac{n}{2}$ [/mm] hast du die Folge [mm] $\left(1+\frac{1}{k}\right)^k$ [/mm] und es geht für [mm] $n\to\infty$ [/mm] auch [mm] $k\to\infty$
[/mm]
Also ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:02 Sa 25.07.2009 | | Autor: | durden88 |
Nene, du kannst doch n im Radikanten ausklammern, kürzen, und dann ist im Nenner 1 und im zählen 1+2/n .....also geht das doch gegen e, aber halt immer nur alle geraden folgen ?
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Hallo nochmal,
> Nene, du kannst doch n im Radikanten ausklammern, kürzen,
> und dann ist im Nenner 1 und im zählen 1+2/n
Nichts anderes habe ich gemacht
> .....also geht das doch gegen e
Es geht [mm] $\left(1+\frac{\red{2}}{n}\right)^n$ [/mm] gegen [mm] $e^{\red{2}}$, [/mm] dementsprechend [mm] $\sqrt{\left(1+\frac{2}{n}\right)^n}$ [/mm] gegen [mm] $\sqrt{e^2}=e$ [/mm]
> , aber halt immer nur alle geraden folgen ?
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") erkläre mal genauer, was du meinst ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:11 Sa 25.07.2009 | | Autor: | durden88 |
Also, (1+ [mm] 1/n)^n [/mm] geht ja gegen e
[mm] ((1+1/n)^n)^2 [/mm] geht gegen [mm] e^2
[/mm]
Aber auch [mm] (1+2/n)^n [/mm] geht gegen e, nur dass halt nur alle Geraden folgengleider genommen werden...so hab ich das gelernt...oder nicht?
b
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Hallo,
> Also, (1+ [mm]1/n)^n[/mm] geht ja gegen e
> [mm]((1+1/n)^n)^2[/mm] geht gegen [mm]e^2[/mm]
Ja, wegen der Stetigkeit der Quadratfunktion ist [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right]^2=\left[\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right]^2=e^2$
[/mm]
>
> Aber auch [mm](1+2/n)^n[/mm] geht gegen e, nur dass halt nur alle
> Geraden folgengleider genommen werden...so hab ich das
> gelernt...oder nicht?
Dann hast du es falsch gelernt.
Für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] gilt [mm] $\lim\limtis_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x$
[/mm]
> b
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Sa 25.07.2009 | | Autor: | durden88 |
was sagen andere dazu, stimmt das? (nicht um deine intelligenz in Frage zu stellen) aber das kam eben in der Klausur ran und ich habe gedacht so wie ich des mache ist das richtig....
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Hallo durden,
schaue doch mal auf Wikipedia (Exponentialfunktion), in deinem Skript oder einem Analysislehrbuch deiner Wahl nach 
Ich stelle aber deine Mitteilung oben mal auf "Frage" um, dann bekommst du noch anderweitige Meinungen ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:33 Sa 25.07.2009 | | Autor: | MatheOldie |
Hallo durden,
Schachuzipus hat Recht!
Ersetze mal in (1+ [mm] \bruch {x}{n})^n [/mm] n durch m*x, dann erhälst Du
[mm] (1+\bruch{1}{m})^{mx} [/mm] = ((1+ [mm] \bruch {1}{m})^m)^x, [/mm] im Grenzfall also [mm] e^x.
[/mm]
MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:15 Sa 25.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo durden,
>
> Schachuzipus hat Recht!
> Ersetze mal in (1+ [mm]\bruch {x}{n})^n[/mm] n durch m*x, dann
> erhälst Du
> [mm](1+\bruch{1}{m})^{mx}[/mm] = ((1+ [mm]\bruch {1}{m})^m)^x,[/mm] im
> Grenzfall also [mm]e^x.[/mm]
auch das ist aber wieder "nur" eine Plausibilitätsüberlegung, denn bei [mm] $n\,=\,m*x$ [/mm] gilt nicht notwendig $m [mm] \in \IN\,.$ [/mm] Hier bräuchte man z.B. das Wissen, dass auch für $y [mm] \in \IR$ [/mm] gilt [mm] $\Big(1+\frac{1}{y}\Big)^y \to [/mm] e$ bei $y [mm] \to \infty$ [/mm] (wegen $y [mm] \to \infty$ [/mm] kann dabei o.E. $y [mm] \,> [/mm] 0$ angenommen werden).
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Sa 25.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> was sagen andere dazu, stimmt das? (nicht um deine
> intelligenz in Frage zu stellen) aber das kam eben in der
> Klausur ran und ich habe gedacht so wie ich des mache ist
> das richtig....
er hat recht, dass [mm] $(1+\;2/n)^n \to e^2$ [/mm] gilt. Wenn man es etwas genauer begründen will bzw. erstmal plausibel machen will:
Aus [mm] $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \to [/mm] e$ ($n [mm] \to \infty$) [/mm] erscheint es plausibel, dass
[mm] $$\left(1+\frac{2}{n}\right)^n=\Bigg(1+\frac{1}{\frac{n}{2}}\Bigg)^{\frac{2n}{2}}=\left(\Bigg(1+\frac{1}{\frac{n}{2}}\Bigg)^{\frac{n}{2}}\right)^2 \to e^2\,.$$ [/mm]
(Man kann es nicht unmittelbar folgern: Wenn man aber nicht "$n [mm] \in \IN$ [/mm] beliebig" gegen [mm] $\infty$ [/mm] streben läßt, sondern "nur die geraden $n [mm] \in \IN$" [/mm] gegen [mm] $\infty$ [/mm] streben läßt, dann läßt sich das auch so folgern.)
Diese Vermutung liegt nahe, da [mm] $\left(\Bigg(1+\frac{1}{\frac{n}{2}}\Bigg)^{\frac{n}{2}}\right)_{n \in \IN}$ [/mm] schonmal eine Teilfolge hat, die bekanntlich gegen [mm] $e\,$ [/mm] konvergiert (wie oben erwähnt: Die Teilfolge mit den geraden Indizes.). Eigentlich sollte man dann auch noch ein Argument für die Teilfolge mit ungeraden Indizes aufführen; oder halt begründen, dass [mm] $\left(\Bigg(1+\frac{1}{\frac{n}{2}}\Bigg)^{\frac{n}{2}}\right)_{n \in \IN}$ [/mm] konvergent ist. Denn wenn man das weiß und zudem weiß, dass sie eine Teilfolge hat, die gegen [mm] $e\,$ [/mm] konvergiert, so kann diese Folge selbst auch nur noch gegen [mm] $e\,$ [/mm] konvergieren. (Eine konvergente Folge hat ja genau einen Häufungspunkt, und dieser stimmt dann mit dem Grenzwert überein. Übrigens gilt die Umkehrung nicht, es gibt Folgen, die divergieren, aber dennoch genau einen Häufungspunkt haben. Z.B. [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] mit [mm] $a_n:=n,\,$ [/mm] falls $n [mm] \in \IN$ [/mm] ungerade ist, und [mm] $a_n:=1,\,$ [/mm] falls $n [mm] \in \IN$ [/mm] gerade ist.)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:29 Mo 27.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> ich habe gedacht so wie ich des mache ist
> das richtig....
Warum fragst Du dann hier nach ??
FRED
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