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Grenzwert der Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:36 So 28.09.2008
Autor: Zwinkerlippe

Aufgabe
Berechnen Sie, wenn möglich den Grenzwert der Funktion [mm] f(x)=\bruch{9-x^{2}}{x+3} [/mm]

a) für x gegen unendlich
b) für x gegen -3
c) für x gegen 3
d) Ist die Funktion an der Stelle x gegen -3 stetig? Begründen Sie ihre Aussage!

Guten Morgen in den matheraum

a)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{9-x^{2}}{x+3} [/mm]

ich habe [mm] x^{2} [/mm] ausgeklammert und gekürzt

[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{9}{x^{2}}-1}{\bruch{1}{x}+\bruch{3}{x^{2}}} [/mm]

[mm] =-\infty [/mm] weil der Nenner Nullfolgen hat, also gegen Null geht

b)
linksseitig gegen -3 ist [mm] +\infty [/mm]
rechtsseitig gegen -3 ist [mm] +\infty [/mm]
gleichzeitig ist aber f(-3) nicht definiert

c)
rechtsseitig gegen 3 ist 0
linksseitig gegen 3 ist 0
gleichzeitig ist f(3)=0

d)
Funktion ist nicht stetig an der Stelle x=-3, sie hat an der Stelle einen Sprung, es liegt an dieser Stelle eine Asymptote vor, der sich die Funktion jeweils im Unendlichen belibig annähert

Sind die Lösungen so gut?
Zwinkerlippe

        
Bezug
Grenzwert der Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:51 So 28.09.2008
Autor: Merle23


> Berechnen Sie, wenn möglich den Grenzwert der Funktion
> [mm]f(x)=\bruch{9-x^{2}}{x+3}[/mm]
>  
> a) für x gegen unendlich
>  b) für x gegen -3
>  c) für x gegen 3
>  d) Ist die Funktion an der Stelle x gegen -3 stetig?
> Begründen Sie ihre Aussage!
>  Guten Morgen in den matheraum
>  
> a)
>  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{9-x^{2}}{x+3}[/mm]
>  
> ich habe [mm]x^{2}[/mm] ausgeklammert und gekürzt
>  
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{9}{x^{2}}-1}{\bruch{1}{x}+\bruch{3}{x^{2}}}[/mm]
>  
> [mm]=-\infty[/mm] weil der Nenner Nullfolgen hat, also gegen Null
> geht
>  

Es fehlt die Begründung, wieso es gegen [mm] -\infty [/mm] und nicht gegen [mm] +\infty [/mm] geht.

> b)
>  linksseitig gegen -3 ist [mm]+\infty[/mm]
>  rechtsseitig gegen -3 ist [mm]+\infty[/mm]
>  gleichzeitig ist aber f(-3) nicht definiert
>  

[mm]\bruch{9-x^{2}}{x+3} = \bruch{(3+x)(3-x)}{x+3}[/mm].
Deine Grenzwerte sind also falsch.

> c)
>  rechtsseitig gegen 3 ist 0
>  linksseitig gegen 3 ist 0
>  gleichzeitig ist f(3)=0
>  

Richtig.

> d)
>  Funktion ist nicht stetig an der Stelle x=-3, sie hat an
> der Stelle einen Sprung, es liegt an dieser Stelle eine
> Asymptote vor, der sich die Funktion jeweils im Unendlichen
> belibig annähert

Musst du nochmal überlegen, da die b) ja falsch war bei dir.

>  
> Sind die Lösungen so gut?

Die Lösungen ja (bis auf die b), es fehlen bloß die Rechenwege, also wie du darauf gekommen bist, dass der links-/rechtsseitige Grenzwert genau diesen Wert hat.
Wenn du die Wege mit hinschreibst, dann können wir dir auch besser helfen.

Bezug
                
Bezug
Grenzwert der Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:49 So 28.09.2008
Autor: Zwinkerlippe

Danke

die Begründung für a) der Grenzwert ist [mm] -\infty, [/mm] weil im Zähler -1 steht, im Nenner steht stets eine positive Zahl

Korrektur zu b)

linksseitiger Grenzwert für x gegen -3 sollte [mm] -\infty [/mm] sein
rechtsseitiger Grenzwert für x gegen -3 bleibt doch aber [mm] +\infty? [/mm]

Korrektur zu d)

linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert an der Stelle x=-3 sind verschieden, es liegt ein Sprung an dieser stelle vor, die Funktion nähert sich der Asymptote x=-3, von links geht sie gegen - unendlich, von rechts geht sie gegen + unendlich, stimmen meine Lösungen so? Zwinkerlippe

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert der Funktion: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:55 So 28.09.2008
Autor: Loddar

Hallo Zwinkerlippe!


> die Begründung für a) der Grenzwert ist [mm]-\infty,[/mm] weil im
> Zähler -1 steht, im Nenner steht stets eine positive Zahl

[ok]


> Korrektur zu b)
>
> linksseitiger Grenzwert für x gegen -3 sollte [mm]-\infty[/mm] sein
>  rechtsseitiger Grenzwert für x gegen -3 bleibt doch aber
> [mm]+\infty?[/mm]

[notok] Weder Deine Grenzwerte stimmen hier, noch dass diese sich unterscheiden.

Mit der o.g. Umformung und anschließendem Kürzen verbleibt doch:
[mm] $$\bruch{9-x^2}{x+3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(3+x)*(3-x)}{3+x} [/mm] \ = \ 3-x$$
Nun also nochmals die beiden Grenzwerte bestimmen.


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Grenzwert der Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:04 So 28.09.2008
Autor: Zwinkerlippe

Oh je, noch einmal, linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert ist also 6, und nun zur Stetigkeit, die Funktion ist aber nicht stetig, beide Grenzwerte stimmen zwar überein, aber f(-3) ist nicht definiert (Division durch Null), so richtig? Zwinkerlippe

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert der Funktion: nun richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:09 So 28.09.2008
Autor: Loddar

Hallo Zwinkerlippe!


[ok] So stimmt's ... aber man könnte die Funktion durch den ermittelten Grenzwert mit $f(-3) \ := \ 6$ stetig ergänzen.


Gruß
Loddar


Bezug
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