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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:04 So 01.01.2006 | | Autor: | alohol |
Kann mir jemand bitte noch zeigen wie man den Grenzwert einer Reihe dieser Form berechnet:
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{(-1)^n*(n+2)}{n*(n+4)}
[/mm]
mfg
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Hallo,
das riecht förmlich nach dem Quotientenkriterium.
Geht damit ganz leicht!
Viele Grüße
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:44 So 01.01.2006 | | Autor: | alohol |
mmh ich wie soll das gehen?
Also ich hab hier mal das Qutiotientenkriterium angewandt:
[mm] \bruch{(-1)^(n+1)*(n+3)}{(n+1)(n+5)}* \bruch{(-1)^n*(n+2)}{(n)(n+4)}
[/mm]
wie gehts weiter? Wie kann ich hieraus den grenzwert erechnen?
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Hallo,
ganz einfach, zusammenfassen und ausrechnen!
Du musst doch beachten, dass du mit dem Reziproke multiplizierst und damit kannst du die [mm] (-1)^{n} [/mm] kürzen!
Ich kriege nach dem Zusmmenfassen folg:
[mm] -\bruch{n^{3}+7n^{2}+12n}{n^{3}+8n^{2}+17n+10}
[/mm]
Jetzt klammerst du [mm] n^{3} [/mm] aus und betrachtest den Grenzwert. Ganz einfach!
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:22 So 01.01.2006 | | Autor: | alohol |
mmh das mit (-1) is klar..
ich hab [mm] n^3 [/mm] auch ausgeklammert und gekürzt:
[mm] \bruch{1+7/n +12/n^2}{1+8/n+17/n^2+10/n^3}
[/mm]
wenn n gegen unendlich geht dann bleibt nur noch 1/1 übrig.
Und der grenzwert ist dann -1 richtig?
Wie kann man sonst den grenzwert errechnen?
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Hallo> mmh das mit (-1) is klar..
>
> ich hab [mm]n^3[/mm] auch ausgeklammert und gekürzt:
>
> [mm]\bruch{1+7/n +12/n^2}{1+8/n+17/n^2+10/n^3}[/mm]
>
> wenn n gegen unendlich geht dann bleibt nur noch 1/1
> übrig.
> Und der grenzwert ist dann -1 richtig?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
VG Daniel
>
> Wie kann man sonst den grenzwert errechnen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:47 So 01.01.2006 | | Autor: | alohol |
aha cool
noch ne frage.
Wie rechnet man jetzt dieses:
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{(-1)^n\cdot{}(n+2)}{n\cdot{}(n+4)}+1=0.01
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:39 So 01.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo alohol!
Mit dem "Grenzwert" meinst Du doch den Wert der Reihe, oder? Zudem ist doch bestimmt die unendliche Reihe gemeint (also mit [mm] $\infty$ [/mm] als obere Grenze)?
Da hilft Dir das Quotientenkriterium nicht ganz weiter.
Du kannst aber diesen Bruch folgendermaßen zerlegen und dann die ersten Summenglieder aufschreiben. Da solltest Du das Ergebnis dann erkennen (sog. "Teleskopsumme").
[mm] $\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n*(n+2)}{n*(n+4)} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(-1)^n*\left(\bruch{\bruch{1}{2}}{n}+\bruch{\bruch{1}{2}}{n+4}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\summe_{i=1}^{\infty}(-1)^n*\left(\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n+4}\right) [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 So 01.01.2006 | | Autor: | alohol |
loddar kannst du mir bitte ziegen wie du die partialsummen zerlegt hast.
und eem wie kann ich jetzt den grenzwert erkennen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:03 So 01.01.2006 | | Autor: | alohol |
ok das mit der umformung hab ich verstanden:
Partialsummenzerlegung ...alles ok..
aber wie er kenne ich daraus den grenzwert?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 So 01.01.2006 | | Autor: | alohol |
Ist es 1/2??
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Nein, es ist nicht [mm]\frac{1}{2}[/mm]. Zerlege in die beiden konvergenten Reihen:
[mm]\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{(-1)^n}{n} \ + \ \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{(-1)^n}{n+4}[/mm]
Die Konvergenz der Reihen ergibt sich übrigens mit dem Leibnizschen Kriterium. Und der Reihenwert der ersten Reihe ist dir sicher aus der Vorlesung bekannt ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 So 01.01.2006 | | Autor: | alohol |
eem
die erste summe ist doch die alternierende harmonische reihe, da war der grenzwert doch irgenwie ln2 oder so richitg?
aber ich weiß immernoch nicht wie ich den grenzwert errechnen kann :(
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Jetzt mußt du nur noch aufpassen, daß die ln-Reihe mit negativem Vorzeichen beginnt.
Und die zweite Reihe ist doch "fast" die erste - bis auf ein paar fehlende Anfangsglieder, die man "von Hand" korrigieren kann.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 So 01.01.2006 | | Autor: | alohol |
ok die zweite Summe mit Partialsummenzerlegung zerlegen:
[mm] \bruch{1}{n+4} [/mm] = [mm] \bruch{A}{n}+\bruch{B}{4}
[/mm]
Hauptnenner bilden:
=> Die Zähler sehen dann so aus A*4+B*n=1
[mm] =>A=\bruch{1}{4} [/mm] und B=0
[mm] \bruch{1}{4}*\summe_{n=1}^{ \infty} (-1)^n*\bruch{1}{n} [/mm] + [mm] 0*\summe_{n=1}^{ \infty} (-1)^n*\bruch{1}{4}
[/mm]
ist der grenzwert dieser reihe dann:
[mm] \bruch{1}{2}*-ln2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}*-ln2
[/mm]
??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:02 So 01.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo alohol!
Wie kommst Du denn auf diese Partialbruchzerlegung? Du musst hier schon die Faktoren des Nenners im Ausgangsbruch wählen:
[mm] $\bruch{n+2}{\red{n}*\blue{(n+4)}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{\red{n}} [/mm] + [mm] \bruch{B}{\blue{n+4}}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 So 01.01.2006 | | Autor: | alohol |
und was ist mit dem grenzwert?
was kommmt da eigentlich raus? könntet ihr mir das mal bitte zeigen?
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Hallo.
Nach Leopold's Antwort ist der Reihenwert ja
[mm] $\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+4}$
[/mm]
[mm] $=-\frac{1}{2} \ln 2+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+4}$
[/mm]
[mm] $=-\frac{1}{2} \ln 2+\frac{1}{2}\sum_{n=1+4}^{\infty}\frac{(-1)^{n-4}}{n}$
[/mm]
[mm] $=-\frac{1}{2} \ln [/mm] 2 [mm] +\frac{1}{2} \sum_{n=5}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$
[/mm]
Im vorletzten Schritt werden die Indizes außen um 4 hochgesetzt, dafür innen um 4 nach unten, dadurch ändert sich nichts.
Für den letzten Schritt überlege man sich, daß $n-4$ genau dann gerade ist, wenn auch $n$ gerade ist, wir ändern also wieder nichts.
Dafür kommt uns die letzte Reihe doch bekannt vor, oder?
Kommst Du nun weiter?
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:45 So 01.01.2006 | | Autor: | alohol |
dann ist der grenzwert gleich 0?
oder nicht?
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Nein, er ist nicht 0.
Angenommen, bei der 2. Reihe stünde im Index $n=1$ und nicht $n=5$.
Dann wäre der Grenzwert doch wieder [mm] $-\frac{1}{2}ln [/mm] 2$.
Nun steht da aber nicht $n=1$ sondern $n=5$. Was müssen wir also abziehen, um den richtigen Wert zu erhalten?
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:56 So 01.01.2006 | | Autor: | alohol |
wir müssen das hier abziehen:
[mm] \summe_{n=1}^{4} \bruch{(-1)^n}{n}
[/mm]
oder nicht?
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In der Tat.
Und das ist?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:08 Mo 02.01.2006 | | Autor: | alohol |
lol wie krass.
ist das immer so leicht?
muss ich das bei jederfolge machen?
also immer auf etwas bekanntes umformen?
[mm] -\frac{1}{2} \ln [/mm] 2+ [mm] \frac{1}{2} \ln [/mm] 2 - [mm] \bruch{7}{12} [/mm] = -0,58333
ist der grenzwert?
kannst mir bitte noch sagen wie ich das lösen kann:
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{(-1)^n\cdot{}(n+2)}{n\cdot{}(n+4)}+1=0.01
[/mm]
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> lol wie krass.
>
> ist das immer so leicht?
> muss ich das bei jederfolge machen?
> also immer auf etwas bekanntes umformen?
das ist zumindest der häufigste Weg :)
>
> [mm]-\frac{1}{2} \ln[/mm] 2+ [mm]\frac{1}{2} \ln[/mm] 2 - [mm]\bruch{7}{12}[/mm] =
> -0,58333
> ist der grenzwert?
>
naja fast... 
Die Summe ist [mm] $\sum_{j=1}^{4}\frac{(-1)^j}{j!}=\frac{7}{12}$, [/mm] aber Du hast übersehen, daß Du noch durch 2 teilen mußt und den zweiten ln hast Du auch noch übersehen:
[mm] $-\frac{1}{2}\ln 2+\frac{1}{2}(-\ln [/mm] 2 - [mm] (-\frac{7}{12}))=\frac{7}{24}-\ln [/mm] 2$
> kannst mir bitte noch sagen wie ich das lösen kann:
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{(-1)^n\cdot{}(n+2)}{n\cdot{}(n+4)}+1=0.01[/mm]
was ist da gemeint?
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:22 Mo 02.01.2006 | | Autor: | alohol |
hier muss errechnet werden für welches n die reihe kleiner oder gleich 0,01 ist.
wie kann man das machen??
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Meine Frage wäre: wird denn da über $i$ sumiert?
Denn als obere Grenze steht ja $n$ in Deiner Summe, im Ausdruck, über den sumiert wird, aber auch. Müßte da nicht $i$ stehen?
Also so etwas:
[mm] $\sum_{i=1}^{n}(-1)^i\frac{i+2}{i(i+4)}\le [/mm] 0.01$
Gruß,
Christian
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 00:32 Mo 02.01.2006 | | Autor: | alohol |
ooo sorry ja.
also für welches n das gilt ist meine frage...
kannst du mir zeigen wie man sowas rechnet bitte?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:18 Mi 04.01.2006 | | Autor: | matux |
Hallo alohol!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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