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Grenzwert einer Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:45 Fr 13.01.2006
Autor: ado

Aufgabe
Wie groß muss [mm]n[/mm] werden, damit gilt [mm]| g - a_{n} | < \varepsilon = 10^{-3}[/mm]
[mm]a_{n} = \bruch{3n^{2} - 1}{n^{2} + 1}[/mm]

Hallöchen!

Ich habe diese Frage noch in keinem Internetforum gestellt.

Bei der Frage komme ich leider ins hängen:

[mm]a_{n} = \bruch{3n^{2} - 1}{n^{2} + 1}[/mm]

[mm]\Rightarrow \bruch{3n^{2}}{n^{2} + 1} - \bruch{1}{n^{2} + 1}[/mm]

[mm]\Rightarrow \bruch{3}{1} - \bruch{1}{n^{2} + 1}[/mm] für große n wird das +1 irrelevant.

[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} = 3[/mm]

[mm] 3 - \bruch{3n^{2} - 1}{n^{2} + 1} < 10^{-3}[/mm]

[mm]\Rightarrow 3 - 10^{-3} < \bruch{3n^{2} - 1}{n^{2} + 1}[/mm]

[mm]\Rightarrow 3 -10^{-3} < 3 - \bruch{1}{n^{2} + 1}[/mm]

[mm]\Rightarrow \bruch{1}{10^{3}} > \bruch{1}{n^{2} + 1}[/mm]

weiter weiß ich leider nicht..

mfg, ado

        
Bezug
Grenzwert einer Folge: Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:04 Fr 13.01.2006
Autor: Loddar

Hallo Ado!


Dein ermittelter Grenzwert stimmt [ok] , aber die Darstellung / Argumentation ist etwas unglücklich.

Besser:   [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3n^2-1}{n^2+1} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^2*\left(3-\bruch{1}{n^2}\right)}{n^2*\left(1+\bruch{1}{n^2}\right)} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3-\bruch{1}{n^2}}{1+\bruch{1}{n^2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3-0}{1+0} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{1} [/mm] \ = \ 3$


Verwende bei der anschließenden [mm] $\varepsilon$-Berechnung [/mm] (ich würde es auch erst für ein allgemeines [mm] $\varepsilon$ [/mm] berechnen):

[mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3n^2-1}{n^2+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3n^2+3-4}{n^2+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3*\left(n^2+1\right)}{n^2+1}-\bruch{4}{n^2+1} [/mm] \ = \ [mm] 3-\bruch{4}{n^2+1}$ [/mm]


[mm] $\Rightarrow$ [/mm]

[mm] $\left| \ g-a_n \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ 3-\bruch{3n^2-1}{n^2+1} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ 3-\left(3-\bruch{4}{n^2+1}\right) \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ 3-3+\bruch{4}{n^2+1} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \bruch{4}{n^2+1} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4}{n^2+1} [/mm] \ < \ [mm] \varepsilon$ [/mm]


Nun diese Gleichung [mm] $\bruch{4}{n^2+1} [/mm] \ < \ [mm] \varepsilon$ [/mm] mit [mm] $\bruch{n^2+1}{\varepsilon}$ [/mm] multiplizieren und weiter nach $n_$ auflösen.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Grenzwert einer Folge: Nachfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:18 Fr 13.01.2006
Autor: ado

Hallo Zeus !

[mm]\bruch{4}{n^2+1} < \varepsilon[/mm] mit [mm]\bruch{n^2+1}{\varepsilon}[/mm] multiplizieren.


ich will nicht bezweiffeln, dass das richtig ist, nur würde ich gerne das "WIE" verstehen und vor allem das "WIE komme ich darauf !?"

mfg, ado

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert einer Folge: Nachantwort (edit.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:32 Fr 13.01.2006
Autor: Loddar

Hallo Ado!


Letztendlich wollen wir doch die Form $n \ > \ ...$ haben bzw. soweit umstellen. Da bisher $n_$ im Nenner des Bruches steht, müssen wir die Ungleichung mit diesem Nenner multiplizieren.

Dabei müssen wir darauf achten, ob wir mit einem negativen Wert/Term multiplizieren, da sich dann das Ungleichheitszeichen umdreht.

Wegen [mm] $n^2 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ , gilt: [mm] $n^2+1 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0+1 \ = \ 1 \ > \ 0$

[mm] $\bruch{4}{n^2+1} [/mm] \ < \ [mm] \varepsilon$ $\left| \ *\left(n^2+1\right) >0$ $4 \ \blue{<} \ \varepsilon*\left(n^2+1\right)$ $\left| \ : \ \varepsilon>0$ (gemäß Definition) [blue][i]Edit: Tippfehler beim Ungleichheitszeichen korrigiert. Loddar[/i][/blue] $\bruch{4}{\varepsilon} \ < \ n^2+1$ Schaffst Du den Rest nun selber? Gruß Loddar [/mm]

Bezug
                                
Bezug
Grenzwert einer Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:52 Fr 13.01.2006
Autor: ado

Hallo Zeus!

Ich fürchte, ich habe kein Mathematiker-hirn.
Ich scheitere bereits in der ersten Zeile.
Ich erkenne die Logik leider nicht im Geringsten. :(
[mm]n^{2}+1 \ge 0+1 = 1 > 0[/mm]

Warum "> 0" mit-multipliziert wird, wie auch immer das geht, bleibt mir auch ein Rätsel.
[mm]\bruch{4}{n^2+1} < \varepsilon[/mm]   [mm]\left| \* (n^{2}+1) >0 [/mm]

naja und an dieser Stelle bin ich schon völlig aus dem Konzept..
[mm]4 \ > \ \varepsilon*\left(n^2+1\right)[/mm]    [mm]\left| : \varepsilon > 0 [/mm]  (gemäß Definition)

*seufz* :( ado

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert einer Folge: Erläuterung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:03 Fr 13.01.2006
Autor: Loddar

Hallo Ado!


Zunächst einmal hatte ich oben einen Tippfehler eingebaut, den ich inzwischen korrigiert habe.


> Ich erkenne die Logik leider nicht im Geringsten. :(
> [mm]n^{2}+1 \ge 0+1 = 1 > 0[/mm]

In Worten: eine quadrierte Zahl ist (in [mm] $\IR$) [/mm] immer positiv, mindestens jedoch $0_$ . Damit ist eine quadrierte Zahl vergrößert um $1_$ auch immer mindestens $1_$ und damit auf jeden Fall positiv.



> Warum "> 0" mit-multipliziert wird, wie auch immer das
> geht, bleibt mir auch ein Rätsel.

Nein, das war/ist nur eine verkürzte Schreibweise meinerseits, dass ich mit [mm] $\left(n^2+1\right)$ [/mm] multipliziere. Dieses [mm] $\left(n^2+1\right)$ [/mm] ist auch $> \ 0$ (also positiv).

Man kann nicht mit einem Ungleichheitszeichen multiplizieren.


> naja und an dieser Stelle bin ich schon völlig aus dem
> Konzept..
>  [mm]4 \ > \ \varepsilon*\left(n^2+1\right)[/mm]    [mm]\left| : \varepsilon > 0[/mm] (gemäß Definition)

Wie oben: ich teile durch [mm] $\varepsilon$ [/mm] . Dieses ist gemäß der Definition (siehe Definition des Grenzwertes) immer größer als $0_$ [mm] ($\varepsilon>0$) [/mm] . Daher brauchen wir das Ungleichheitszeichen auch nicht umkehren.


Gruß
Loddar


Bezug
                                                
Bezug
Grenzwert einer Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:15 Fr 13.01.2006
Autor: ado

Aha-Effekt hat eingesetzt!
Firma dankt :)

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