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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:06 Di 13.05.2008 | | Autor: | vju |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grenzwert von:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{n+1/n}}{(n+\bruch{1}{n})^n} [/mm] |
Hallo Leute,
Ich muss die oben stehende Aufgabe lösen und weiß leider absolut nicht, wie ich da ran gehen muss. Kann mir jemand vielleicht einen Tip geben?
Ich habe auch schon versucht die Brüche umzuformen wie z.B. in dieser Form:
[mm] \bruch{n^{n+1/n}}{(n+\bruch{1}{n})^n} [/mm] = [mm] \bruch{n^n \cdot{} n^{1/n}}{(n+\bruch{1}{n})^n} [/mm] = [mm] \bruch{n^n \cdot{} \wurzel[n]{n}}{(n+\bruch{1}{n})^n}
[/mm]
Aber es hat leider nichts geholfen. Bin schon am verzweifeln bei dieser Aufgabe...
Liebe Grüße
~Vju
Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
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Hallo vju,
> Bestimmen Sie den Grenzwert von:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{n+1/n}}{(n+\bruch{1}{n})^n}[/mm]
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> Hallo Leute,
>
> Ich muss die oben stehende Aufgabe lösen und weiß leider
> absolut nicht, wie ich da ran gehen muss. Kann mir jemand
> vielleicht einen Tip geben?
>
> Ich habe auch schon versucht die Brüche umzuformen wie z.B.
> in dieser Form:
> [mm]\bruch{n^{n+1/n}}{(n+\bruch{1}{n})^n}[/mm] = [mm]\bruch{n^n \cdot{} n^{1/n}}{(n+\bruch{1}{n})^n}[/mm]
> = [mm]\bruch{n^n \cdot{} \wurzel[n]{n}}{(n+\bruch{1}{n})^n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das ist doch schon mal sehr gut. Fasse das mal weiter zusammen.
Die beiden Ausdrücke mit "hoch n" kannst du zusammenfassen:
$\bruch{n^n \cdot{} \wurzel[n]{n}}{(n+\bruch{1}{n})^n}=\bruch{n^n \cdot{} \wurzel[n]{n}}{(\bruch{n^2+1}{n})^n}= \wurzel[n]{n}\cdot{}\left(\frac{n}{\frac{n^2+1}n}}\right)^n=\wurzel[n]{n}\cdot{}\left(\frac{n^2}{n^2+1}\right)^n$
Kommst du von hier aus weiter?
Bedenke, dass ja $\sqrt[n]{n}\longrightarrow 1$ für $n\to\infty$
Den Klammerausdruck $\left(\frac{n^2}{n^2+1}\right)^n$ kannst du mit der Definition der allg. Potenz $a^b=e^{b\cdot{}\ln(a)}$ umschreiben und die Regel von de l'Hôpital benutzen...
$\left(\frac{n^2}{n^2+1}\right)^n=e^{n\cdot{}\ln\left(\frac{n^2}{n^2+1}\right)}$
Da greife den Exponenten heraus:
$n\cdot{}\ln\left(\frac{n^2}{n^2+1}\right)=\frac{\ln\left(\frac{n^2}{n^2+1}\right)}{\frac{1}{n}}\longrightarrow \frac{\ln(1)}{\frac{1}{\infty}}=\frac{0}{0}$
Also kannst du de l'Hôpital draufschmeißen, das Ergebnis am Ende noch $e^{(...)}$ nehmen...
Dann alles zusammenwuschtlen, dann hast du's
>
> Aber es hat leider nichts geholfen. Bin schon am
> verzweifeln bei dieser Aufgabe...
>
> Liebe Grüße
>
> ~Vju
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:09 Mi 14.05.2008 | | Autor: | vju |
Vielen Dank für die Hilfe.
Wir haben in der Vorlesung den l'Hôpital leider noch nicht durchgenommen. Bis zu diesem Schritt kann ich noch alles nachvollziehen. Kann man den Grenzwert evtl. auch ohne diese Regel herrausfinden oder bestimmte allgemeine Aussagen zu [mm] e^x [/mm] machen?
Liebe Grüße
~ Vju
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:33 Mi 14.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] \bruch{n^n}{(n+1/n)^n}=\bruch{1}{(1+1/n^2)^n} [/mm] hilft dier das?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:15 Mi 14.05.2008 | | Autor: | vju |
Ja, das hat mir sehr geholfen. Vielen Dank Leduart!
Ich habe die Aufgabe Dank euch beiden jetzt lösen können. *freude*
Liebe Grüße
~Vju
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