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| Aufgabe | Sei [mm] $(a_n)$ [/mm] eine Folge mit [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=a$ [/mm] und [mm] $c\in\IR$ [/mm] beliebig. Zeigen Sie:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}(c*a_n)=c*a.$ [/mm] |
Hallo zusammen,
in unserem Vorkurs wurde uns nahegelegt, uns diesem Problem zu widmen, ich bin mir bei meiner Lösung allerdings etwas unsicher. Meine Überlegung war:
Wenn die Behauptung stimmt, so gilt:
[mm] $\forall\varepsilon>0 \exists n_0 \in\IN \forall [/mm] n [mm] \ge n_0: |c*a_n [/mm] - [mm] c*a|<\varepsilon.$
[/mm]
Nun ist [mm] $|c*a_n [/mm] - [mm] c*a|=|c*(a_n -a)|=|c|*|a_n [/mm] - a|.$
Nun habe ich eine Fallunterscheidung gemacht:
1. Fall: $|c| [mm] \le [/mm] 1$ , dann ist [mm] $|c|*|a_n [/mm] - a| [mm] \le |a_n [/mm] - a| < [mm] \varepsilon [/mm] $, wegen der Voraussetzung, dass der Grenzwert der Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] gleich $a$ ist.
2. Fall: [mm]|c| > 1[/mm] , also ist [mm] $0<\bruch{\varepsilon}{|c|}<\varepsilon.$ [/mm] Wegen der Voraussetzung muss auch gelten:
[mm] $|a_n [/mm] - a| < [mm] \bruch{\varepsilon}{|c|}\gdw |c|*|a_n [/mm] - [mm] a|<\varepsilon.$
[/mm]
Kann man das so machen?
Ich danke für Eure Hilfe!
Gruß,
Melvissimo
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Hallo Melvissimo,
ich sehe nirgends einen Fehler. Für mich ist es eine sehr gründliche und sauber dargestellte Argumentation.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:41 Mi 28.09.2011 | | Autor: | Melvissimo |
Okay, vielen Dank dir ;)
Gruß,
Melvissimo
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