Grenzwert einer Folge < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:33 Mo 06.08.2012 | | Autor: | Axiom96 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Folge [mm] {a_n} [/mm] mit [mm] a_n=n^2/(n^2+2n) [/mm] .
a) Man zeige: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] =1
b) Für /varepsilon =1, [mm] \varepsilon [/mm] = 10^-3, [mm] \varepsilon=10^-6 [/mm] bestimme man das beste, d.h. kleinste [mm] N_\varepsilon \in \IN [/mm] , sodass [mm] \left|a_n -1\right|<\varepsilon [/mm] für alle [mm] n>N_\varepsilon [/mm] |
Die Sätze zum Addieren und Multiplizieren von Grenzwerten sind bereits bekannt, ebenso [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}1/n [/mm] = 0 . Deswegen lässt sich Aufgabenteil a) leicht lösen: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}n^2/n^2+2n=\limes_{n\rightarrow\infty}(n^2/(n^2+2n))*n^-2/n^-2 [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}1/(1+2n^-1)=\limes_{n\rightarrow\infty}1/(\limes_{n\rightarrow\infty}1+2\limes_{n\rightarrow\infty}(1/n))=1/(1+2*0)=1 [/mm] .
Zu b) finde ich allerdings keinen Ansatz und benötige Hilfe. Vielen Dank dafür
P.S.: Wie gebe ich Brüche korrekt ein?
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Hi!
> Gegeben sei die Folge [mm]{a_n}[/mm] mit [mm]a_n=n^2/(n^2+2n)[/mm] .
> a) Man zeige: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n[/mm] =1
> b) Für /varepsilon =1, [mm]\varepsilon[/mm] = 10^-3,
> [mm]\varepsilon=10^-6[/mm] bestimme man das beste, d.h. kleinste
> [mm]N_\varepsilon \in \IN[/mm] , sodass [mm]\left|a_n -1\right|<\varepsilon[/mm]
> für alle [mm]n>N_\varepsilon[/mm]
> Die Sätze zum Addieren und Multiplizieren von Grenzwerten
> sind bereits bekannt, ebenso [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}1/n[/mm]
> = 0 . Deswegen lässt sich Aufgabenteil a) leicht lösen:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}n^2/n^2+2n=\limes_{n\rightarrow\infty}(n^2/(n^2+2n))*n^-2/n^-2[/mm]
> =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}1/(1+2n^-1)=\limes_{n\rightarrow\infty}1/(\limes_{n\rightarrow\infty}1+2\limes_{n\rightarrow\infty}(1/n))=1/(1+2*0)=1[/mm]
> .
> Zu b) finde ich allerdings keinen Ansatz und benötige
> Hilfe. Vielen Dank dafür
>
> P.S.: Wie gebe ich Brüche korrekt ein?
Klick einmal auf die nachfolgende Formel, dann siehst du wie man Brüche schreibt.
[mm]a_n=\frac{n^2}{n^2+2n}=\frac{n^2}{n^2\cdot(1+\frac{2}{n})}[/mm].......Das hast du richtig gemacht. In der Regel
man hier so vor, dass man in Zähler und Nenner jeweils die höchste im Term vorkommende Potenz ausklammert.
Nun zur b)
Berechne zunächst: [mm]|a_n-1|=|\frac{n^2}{n^2+2n}-1|[/mm]
Und schätze dann sogut wie möglich nach oben ab:
[mm]|a_n-1|=|\frac{n^2}{n^2+2n}-1|<....<....<\varepsilon[/mm]
Valerie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Mo 06.08.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Ich glaube, ich habe es verstanden:
Ich schreibe [mm] \left|\frac{n^2}{n^2 + 2n}-1\right|<\varepsilon [/mm] und löse nach n auf. Dann ergibt sich für [mm] \varepsilon=1 [/mm] :
[mm] \left|\frac{n^2}{n^2 + 2n}-1\right|<1
[/mm]
[mm] -\frac{1}{1+\frac{2}{n}}<0
[/mm]
-1<0 , was für alle n wahr ist. Das heißt die Lösung der Aufgabe ist 1.
Für [mm] \varepsilon=10^{-3} [/mm] erhalte ich:
[mm] \left|\frac{n^2}{n^2 + 2n}-1\right|<10^{-3}
[/mm]
[mm] -\frac{1}{1+\frac{2}{n}}<-\frac{999}{1000}
[/mm]
n>1998, das heißt die Lösung der Aufgabe ist 1998+1 = 1999
Analog für [mm] \varepsilon=10^{-6}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:43 Di 07.08.2012 | | Autor: | Valerie20 |
Hallo nochmal,
Nein, dass ist so nicht richtig.
Ich habe deine Mitteilung mal als Frage markiert. (Stelle Rückfragen in Zukunft gleich als Frage.).
Ich habe jerst wieder heute abend Zeit, aber vielleicht findet sich ja in der Zwischenzeit noch jemand, der dir das erläutert.
Valerie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:05 Di 07.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
bei Augabe b) würde och folgendes empfehlen:
Du willst ja wissen, ab welchem kleinsten [mm] $N\,$ [/mm] denn [mm] $|a_n-1| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] gilt, wobei [mm] $a_n=n^2/(n2+2n)$ [/mm] war. Nun ist doch relativ klar, dass $0 [mm] \le a_n [/mm] < 1$ gilt (oder?) - also folgt doch
[mm] $$|a_n-1|=1-a_n$$
[/mm]
für jedes [mm] $n\,.$
[/mm]
Also wollen wir [mm] $N\,$ [/mm] minimal finden, so dass für alle $n [mm] \ge N=N_\epsilon$
[/mm]
[mm] $$1-a_n [/mm] < [mm] \epsilon\,.$$
[/mm]
Also
[mm] $$1-\frac{n^2}{n^2+2n}=\frac{2n}{n^2+2n}< \epsilon$$
[/mm]
[mm] $$\gdw \frac{2}{n+2} [/mm] < [mm] \epsilon\,.$$
[/mm]
D.h. es ist für jedes der angegebenen [mm] $\epsilon$ [/mm] nur noch das jeweilige kleinste [mm] $N=N_\epsilon$ [/mm] zu finden, so dass $2/(n+2) < [mm] \epsilon$ [/mm] gilt. Und das ist relativ einfach, weil die Folge [mm] $\left(\frac{2}{n+2}\right)_{n \in \IN}$ [/mm] nur echt positive Werte hat und (streng) gegen [mm] $0\,$ [/mm] fällt.
Mit dieser Vorüberlegung spart man sich dann einiges - vor allem, sich wiederholende Rechenschritte und Überlegungen.
Fazit:
- In der Tat: Für [mm] $\epsilon=1$ [/mm] ist [mm] $N=N_1=1\,.$
[/mm]
- Für [mm] $\epsilon=1/1000$ [/mm] ist [mm] $N=N_{1/1000}=1999\,.$
[/mm]
Und wie Du wir ich bei [mm] $\epsilon=1/1\,000\,000=1/10^6$ [/mm] zu faul, es sollte aber [mm] 2*10^6-1=1\,999\,999 [/mm] für [mm] $N=N_{10^{-6}}$ [/mm] rauskommen.
Deine Ergebnisse sind also korrekt!
Gruß,
Marcel
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