Grenzwert einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:12 Sa 15.12.2012 | | Autor: | tmili |
| Aufgabe | a)
Zu jeder reellen Zahl x [mm] \in \IR [/mm] gibt es Zahlen [mm] z_{0} \in \IZ, z_{j} \in \{0,1,...,9\} [/mm] für j [mm] \in \IN, [/mm] so dass [mm] x=\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] mit [mm] a_{n}= z_{0} [/mm] + [mm] \summe_{j=1}^{n} \bruch{z_{j}}{10^{j}}.
[/mm]
b)
Die so entstandene Dezimaldarstellung [mm] x=z_{0},z_{1}z_{2}... [/mm] ist eindeutig, falls man noch fordert: es gibt kein [mm] j_{0} \in \IN [/mm] mit dem gilt [mm] z_{j}=9 [/mm] für alle [mm] j\ge j_{0} [/mm] |
Aufgabe a) habe ich schon gelöst..hoffentlich richtig ;)
Bei Aufgabe b) habe ich durch einen Mathetutor den Tipp bekommen anzunehmen es gäbe zwei Darstellungen und dann dies dann zum Wiedersprch zu führen. Ich habe also noch ein [mm] b_{n} [/mm] konstruiert mit [mm] b_{n}= y_{0}+\summe_{j=1}^{n} \bruch {y_{j}}{10^{j}}.
[/mm]
lim [mm] (b_{n}-a_{n})=lim b_{n} [/mm] - lim [mm] a_{n}=0
[/mm]
[mm] (b_{n}-a_{n})= (y_{0}-z_{0}) [/mm] + [mm] \summe_{j=1}^{n} \bruch {y_{j}-z_{j}}{10^{j}}.
[/mm]
Wähle nun n minimal mit [mm] y_{n}-z_{n}\not=0 \rightarrow|y_{n}-z_{n}|\ge [/mm] 1
Für alle k< n: [mm] y_{k}-z{k} [/mm] =0
Für [mm] m\ge [/mm] n: [mm] b_{m}-a_{m}= \summe_{j=n}^{m} \bruch{y_{j}-z_{j}}{10^{j}}
[/mm]
lim [mm] (b_{m}- a_{m})=0
[/mm]
lim [mm] \summe_{j=n+1}^{m} \bruch{y_{j}-z_{j}}{10^{j}}= -\bruch{y_{n}-z_{n}}{10^{n}}
[/mm]
So das war alles das Vorgeplänkel meiner bisherigen Lösung..jetzt habe ich daraus eine Reihe von Ungleichungen gemacht und wenn ihr mir das letzte bestätigen könnt müsste das hoffentlich die Lösung sein. Ich habe das Letzte einfach mal angenommen, weil es damit so schön passen würde..Also:
[mm] \bruch{1}{10^{n}}<|-\bruch{y_{n}-z_{n}}{10^{n}}|=|lim \summe_{j=n+1}^{m} \bruch{y_{j}-z_{j}}{10^{j}}| \le [/mm] lim [mm] \summe_{j=n+1}^{m} \bruch{|y_{j}-z_{j}|}{10^{j}} \le [/mm] lim [mm] \summe_{j=n+1}^{m}\bruch{9}{10^{j}} [/mm]
[mm] \le \bruch{1}{10^{n}} [/mm]
Wenn nun den letzten Schritt jemand bestätigen kann, hätte ich ja durchgehend ein Gleichheitszeichen und somit wäre klar, dass [mm] y_{j}=9 [/mm] und [mm] z_{j}=0 [/mm] für alle j oder andersrum.
Somit hätte ich einen Wiederspruch..
Würde mich über eure Rückmeldung freuen!!
Liebe Grüße
Tamara
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Hallo Tamara,
das sieht alles ziemlich gut aus.
> a)
> Zu jeder reellen Zahl x [mm]\in \IR[/mm] gibt es Zahlen [mm]z_{0} \in \IZ, z_{j} \in \{0,1,...,9\}[/mm]
> für j [mm]\in \IN,[/mm] so dass [mm]x=\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/mm]
> mit [mm]a_{n}= z_{0}[/mm] + [mm]\summe_{j=1}^{n} \bruch{z_{j}}{10^{j}}.[/mm]
>
> b)
> Die so entstandene Dezimaldarstellung
> [mm]x=z_{0},z_{1}z_{2}...[/mm] ist eindeutig, falls man noch
> fordert: es gibt kein [mm]j_{0} \in \IN[/mm] mit dem gilt [mm]z_{j}=9[/mm]
> für alle [mm]j\ge j_{0}[/mm]
> Aufgabe a) habe ich schon
> gelöst..hoffentlich richtig ;)
> Bei Aufgabe b) habe ich durch einen Mathetutor den Tipp
> bekommen anzunehmen es gäbe zwei Darstellungen und dann
> dies dann zum Wiedersprch zu führen. Ich habe also noch
> ein [mm]b_{n}[/mm] konstruiert mit [mm]b_{n}= y_{0}+\summe_{j=1}^{n} \bruch {y_{j}}{10^{j}}.[/mm]
>
> lim [mm](b_{n}-a_{n})=lim b_{n}[/mm] - lim [mm]a_{n}=0[/mm]
> [mm](b_{n}-a_{n})= (y_{0}-z_{0})[/mm] + [mm]\summe_{j=1}^{n} \bruch {y_{j}-z_{j}}{10^{j}}.[/mm]
>
> Wähle nun n minimal mit [mm]y_{n}-z_{n}\not=0 \rightarrow|y_{n}-z_{n}|\ge[/mm]
> 1
> Für alle k< n: [mm]y_{k}-z{k}[/mm] =0
> Für [mm]m\ge[/mm] n: [mm]b_{m}-a_{m}= \summe_{j=n}^{m} \bruch{y_{j}-z_{j}}{10^{j}}[/mm]
>
> lim [mm](b_{m}- a_{m})=0[/mm]
> lim [mm]\summe_{j=n+1}^{m} \bruch{y_{j}-z_{j}}{10^{j}}= -\bruch{y_{n}-z_{n}}{10^{n}}[/mm]
>
> So das war alles das Vorgeplänkel meiner bisherigen
> Lösung.
Sieht irgendwie unnötig kompliziert aus, klappt aber.
> .jetzt habe ich daraus eine Reihe von Ungleichungen
> gemacht und wenn ihr mir das letzte bestätigen könnt
> müsste das hoffentlich die Lösung sein. Ich habe das
> Letzte einfach mal angenommen, weil es damit so schön
> passen würde..Also:
> [mm]\bruch{1}{10^{n}}<|-\bruch{y_{n}-z_{n}}{10^{n}}|=|lim \summe_{j=n+1}^{m} \bruch{y_{j}-z_{j}}{10^{j}}| \le[/mm]
> lim [mm]\summe_{j=n+1}^{m} \bruch{|y_{j}-z_{j}|}{10^{j}} \le[/mm]
> lim [mm]\summe_{j=n+1}^{m}\bruch{9}{10^{j}}[/mm]
> [mm]\le \bruch{1}{10^{n}}[/mm]
> Wenn nun den letzten Schritt jemand
> bestätigen kann,
Das kann ich. Der letzte Schritt der Ungleichungskette folgt aus der geometrischen Summenformel.
> hätte ich ja durchgehend ein
> Gleichheitszeichen
Du hast in Deiner Kette ein reines "Kleiner"-Zeichen stehen. Das stört dann natürlich sehr... 
> und somit wäre klar, dass [mm]y_{j}=9[/mm] und
> [mm]z_{j}=0[/mm] für alle j oder andersrum.
> Somit hätte ich einen Wiederspruch..
Ja, so ist es.
Einfacher ist es übrigens zu zeigen, dass [mm] 0,\overline{9}=1 [/mm] ist und dieses Wissen dann auf die letzte signifikante Stelle Deiner Dezimalbruchdarstellung anzuwenden.
> Würde mich über eure Rückmeldung freuen!!
Na dann: gut gemacht!
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:33 Sa 15.12.2012 | | Autor: | tmili |
Danke :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Sa 15.12.2012 | | Autor: | tmili |
sorry jetzt hab ich doch dazu noch ne frage:
hab mir grade die geom. summenformel angeschaut [mm] \summe_{k=0}^{n}q^{k}=\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}
[/mm]
Ich bringe das grad nicht mit meiner Summe die erst ab j=n+1 losgeht zusammen. Zudem habe ich ja [mm] \bruch{9}{10^j} [/mm] in der Summe...also die 9 könnte ich ja schon vor die Summe schreiben und hätte dann [mm] (\bruch{1}{10})^{j}, [/mm] aber wie kann ich es dann wie bei der geom. Summe aufschreiben..auch mit 1- obwohl meine Summe woanders anfängt? und dann stört mich an allem dass da auch noch der lim davor steht..obwohl der vllt verständlich wird, wenn ich weiß wie ich meine Summe mit Hilfe der geom. Summe umformen kann..
Wäre lieb, wenn du dich mir noch mal widmen könntest ;)
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 Sa 15.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> sorry jetzt hab ich doch dazu noch ne frage:
> hab mir grade die geom. summenformel angeschaut
> [mm]\summe_{k=0}^{n}q^{k}=\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm]
> Ich bringe das grad nicht mit meiner Summe die erst ab
> j=n+1 losgeht zusammen. Zudem habe ich ja [mm]\bruch{9}{10^j}[/mm]
> in der Summe...also die 9 könnte ich ja schon vor die
> Summe schreiben und hätte dann [mm](\bruch{1}{10})^{j},[/mm] aber
> wie kann ich es dann wie bei der geom. Summe
> aufschreiben..auch mit 1- obwohl meine Summe woanders
> anfängt? und dann stört mich an allem dass da auch noch
> der lim davor steht..obwohl der vllt verständlich wird,
> wenn ich weiß wie ich meine Summe mit Hilfe der geom.
> Summe umformen kann..
was ist nun genau die Frage? Es gilt für $|q| < [mm] 1\,$ [/mm] und natürliches $m [mm] \ge [/mm] n+1$
[mm] $$\sum_{k=n+1}^m q^k=q^{n+1}*\sum_{p=0}^{m-n-1}q^p=q^{n+1}*\frac{1-q^{m-n}}{1-q}$$
[/mm]
Also ist für jedes $m [mm] \ge [/mm] n+1$ mit $q=1/10$ hier sicher
[mm] $$\summe_{j=n+1}^{m}\bruch{9}{10^{j}}=9*\frac{1}{10^{n+1}}*\frac{1-\frac{1}{10^{m-n}}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{9}{\frac{9}{10}}*\frac{1}{10^{n+1}}*\left(1-\frac{1}{10^{m-n}}\right)=\frac{1}{10^n}*\Big(1-\frac{1}{\underbrace{10^{m-n}}_{\text{beachte: }m -n \ge 1}}\Big) \le \frac{1}{10^n}\,,$$
[/mm]
insbesondere folgt daraus auch
[mm] $$\lim_{m \to \infty}\summe_{j=n+1}^{m}\bruch{9}{10^{j}}=\summe_{j=n+1}^{\infty}\bruch{9}{10^{j}} \le \frac{1}{10^n}\,.$$
[/mm]
Ich hab' Deine Ausgangsfrage nicht ganz durchgelesen, deswegen weiß ich
bei Deinen Limesbildungen nicht, welcher Index da laufen soll - aber wenn
Du oben [mm] $\lim$ [/mm] vor die Summe schreibst, nehme ich an, dass da [mm] $\lim_{m \to \infty}$
[/mm]
gemeint war - damit das ganze, was da steht, überhaupt auch Sinn macht!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:02 Sa 15.12.2012 | | Autor: | tmili |
Hey vielen lieben Dank :)
Jetzt ist es auch mir klar :)
Liebe Grüße Tamara
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:12 Sa 15.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ...
> Somit hätte ich einen Wiederspruch..
bitte nicht mit iE:
Das Wort schreibt sich
Widerspruch
Da sprichst keiner wieder=erneut...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 Sa 15.12.2012 | | Autor: | tmili |
hups..eigentlich weiß ich das^^ beim mathematischen denken hat sich wohl mein rechtschreibgedächtnis ausgeschaltet ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:36 Sa 15.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hups..eigentlich weiß ich das^^ beim mathematischen denken
> hat sich wohl mein rechtschreibgedächtnis ausgeschaltet ;)
macht ja nichts: Ich schreibe in Ungedanken auch mal 'Therm' anstatt
'Term'. Nur "Wiederspruch" liest man so oft, dass man manchmal denkt:
Vielleicht sollten wir auch da eine Rechtschreibreform durchführen...
(Wobei ich weiß, dass viele nun das denken, was ich jetzt sage: "Bei
diesem (und analogen) Wort (Wörtern): Bitte NICHT!!")
Gruß,
Marcel
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