Grenzwert einer Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:02 Sa 15.11.2014 | | Autor: | SoWhat |
| Aufgabe | Für welche x [mm] \in \IR [/mm] konvergiert die Reihe? Bestimme ggf. den Grenzwert.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] n [mm] x^{n-1} [/mm] |
Hallo,
als Konvergenzintervall habe ich ]-1,1[ raus, damit konvergiert das Ding eben für alle x [mm] \in [/mm] ]-1,1[ da der Entwicklungspunkt [mm] x_0 [/mm] =0.
Der zweite Teil macht mir Probleme.
So wie die Potenzreihe aussieht, muss irgendetwas über die unendliche geometrische Reihe zu machen sein.
Meine Lösung bisher:
geometrische Reihe konvergiert für alle |x|<1 und damit auf dem Intervall der gegebenen Potenzreihe.
E.g. [mm] \summe_{0}^{1}x^n=\bruch{1}{1-x}
[/mm]
Die erste Ableitung(fand keine Anwendung, aber wer weiß...):
[mm] \summe_{0}^{1}\bruch{1}{n}x^{n-1}=\bruch{1}{(1-x)^2}
[/mm]
Zur gegebenen Potenzreihe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] n [mm] x^{n-1}=(n+1)\summe_{n=0}^{\infty} x^{n}
[/mm]
Mit der geom. Reihe
[mm] =(n+1)\bruch{1}{1-x}
[/mm]
Bin ich hier auf dem Holzweg? muss ich die endliche geom. Reihe betrachten, um eine Aussage zum Grenzwert machen zu können?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:32 Sa 15.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Für welche x [mm]\in \IR[/mm] konvergiert die Reihe? Bestimme ggf.
> den Grenzwert.
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] n [mm]x^{n-1}[/mm]
> Hallo,
> als Konvergenzintervall habe ich ]-1,1[ raus, damit
> konvergiert das Ding eben für alle x [mm]\in[/mm] ]-1,1[ da der
> Entwicklungspunkt [mm]x_0[/mm] =0.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Der zweite Teil macht mir Probleme.
> So wie die Potenzreihe aussieht, muss irgendetwas über
> die unendliche geometrische Reihe zu machen sein.
> Meine Lösung bisher:
> geometrische Reihe konvergiert für alle |x|<1 und damit
> auf dem Intervall der gegebenen Potenzreihe.
> E.g. [mm]\summe_{0}^{1}x^n=\bruch{1}{1-x}[/mm]
> Die erste Ableitung(fand keine Anwendung, aber wer
> weiß...):
> [mm]\summe_{0}^{1}\bruch{1}{n}x^{n-1}=\bruch{1}{(1-x)^2}[/mm]
Wo kommt da das $1/n$ her? (Irgendwie scheint es, dass Du "Stammfunktion-
Findung" mit Differenzieren verwechselt hast - jedenfalls teilweise! Und
natürlich steht beim Summenzeichen nicht "von 0 bis 1", zumal auch 1/0
ein doch sehr unschöner Term ist!)
> Zur gegebenen Potenzreihe:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] n [mm]x^{n-1}=(n+1)\summe_{n=0}^{\infty} x^{n}[/mm]
Das macht nun überhaupt keinen Sinn - [mm] $n\,$ [/mm] ist einmal fest, dann variabel...????
> Mit der geom. Reihe
> [mm]=(n+1)\bruch{1}{1-x}[/mm]
Das auch nicht!
> Bin ich hier auf dem Holzweg? muss ich die endliche geom.
> Reihe betrachten, um eine Aussage zum Grenzwert machen zu
> können?
Du darfst (falls ihr das schon bewiesen habt) Potenzreihen innerhalb ihres
Konvergenzkreises so ableiten, dass Du gliedweise ableitest, hier:
[mm] $\frac{1}{1-x}= \sum_{k=0}^\infty x^k$
[/mm]
[mm] $\Longrightarrow$ $\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{1-x}\right)=\frac{d}{dx}\left(\sum_{k=0}^\infty x^k\right)=\sum_{k=\red{1}}^\infty \frac{d}{dx}x^k\,.$
[/mm]
Das gilt alles für $|x| < [mm] 1\,$ [/mm] (sogar im Komplexen)!
(Ganz rechts habe ich schon
[mm] $\frac{d}{dx}x^0=\frac{d}{dx}1=0$
[/mm]
benutzt!)
Sowas steht vielleicht in Deinen Vorlesungsunterlagen?
Es gibt aber durchaus einen alternativen Weg:
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") siehe die angehängte pdf-Datei
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 So 16.11.2014 | | Autor: | SoWhat |
Ja da war ein wenig der Hund drin...
Nochmal:
[mm] \summe_{1}^{\infty} nx^{n-1}=\summe_{0}^{\infty} (n+1)x^{n}
[/mm]
Auf Konvergenzintervall bel. diff.bar und int.bar, damit besitzt die Reihe eine Stammfunktion F auf diesem Intervall:
[mm] F_{x}=\summe_{0}^{\infty} x^{n+1}=\summe_{0}^{\infty} xx^{n}
[/mm]
Die undendl. geom. Reihe ist konvergent für alle [mm] \vert [/mm] x [mm] \vert [/mm] <1, also auf dem gleichen Intervall. Sie darf in [mm] F_{x} [/mm] verwendet werden (Wie drückt man das schöner aus?)
[mm] F_{x}=\summe_{0}^{\infty} x^{n+1}=\summe_{0}^{\infty} xx^{n}=x \bruch{1}{1-x}
[/mm]
[mm] f_x=F'_x=\bruch{1}{(1-x)^2}
[/mm]
Ich glaube ich habe ein sehr elementares Problem: Was muss denn nun eigtl. gezeigt werden für den Grenzwert einer Potenzreihe? Für eine Reihe wäre es es so, dass ich z.B. versuche, eine Funktion von n zu finden und dann den Limes betrachte. Hier bekomme ich eine Funktion von x. Heißt dass, das der Grenzwert damit bestimmt ist, er also in Abhängigkeit von x angegeben wird?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 So 16.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja da war ein wenig der Hund drin...
> Nochmal:
> [mm]\summe_{1}^{\infty} nx^{n-1}=\summe_{0}^{\infty} (n+1)x^{n}[/mm]
(für $|x| < [mm] 1\,$)
[/mm]
> Auf Konvergenzintervall bel. diff.bar und int.bar, damit
> besitzt die Reihe eine Stammfunktion F auf diesem
> Intervall:
> [mm]F_{x}=\summe_{0}^{\infty} x^{n+1}=\summe_{0}^{\infty} xx^{n}[/mm]
Eigentlich ist mit einer (von [mm] $x\,$ [/mm] unabhängigen) Konstanten [mm] $C\,$
[/mm]
[mm] $F_C(x)=\left(\sum_{n=0}^\infty x^{n+1}\right)+C$
[/mm]
eine Stammfunktion von [mm] $f(x)=\sum_{n=0}^\infty nx^{n-1}$ [/mm] auf $|x| < [mm] 1\,.$ [/mm] Zum Glück ist das
hier unwichtig, welches [mm] $C\,$ [/mm] wir wählen, da wir ja eine Darstellung von
der Potenzreihe über [mm] $f=F\,'$ [/mm] suchen...
> Die undendl. geom. Reihe ist konvergent für alle [mm]\vert[/mm] x
> [mm]\vert[/mm] <1, also auf dem gleichen Intervall. Sie darf in
> [mm]F_{x}[/mm] verwendet werden (Wie drückt man das schöner aus?)
Kurz etwa so: Die folgende Potenzreihe
[mm] $\sum_{n=0}^\infty n*x^{n-1}$
[/mm]
hat Konvergenzkreis [mm] $(-1,1)\,$ [/mm] und "für eine Stammfunktionsfindung darf
man diese dort gliedweise integrieren".
> [mm]F_{x}=\summe_{0}^{\infty} x^{n+1}=\summe_{0}^{\infty} xx^{n}[/mm]
Ergänzung: [mm] $=x*\summe_0^\infty x^n$
[/mm]
> [mm]=x \bruch{1}{1-x}[/mm]
>
> [mm]f_x=F'_x=\bruch{1}{(1-x)^2}[/mm]
Du kannst auch sagen: Da die Funktion
$f [mm] \colon [/mm] (-1,1) [mm] \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x)=\sum_{n=0}^\infty nx^{n-1}$ [/mm] ($|x| < [mm] 1\,$)
[/mm]
die Einschränkung einer Potenzreihe auf (das Innere) ihren (ihres)
Konvergenzkreis(es) ist, darf
[mm] $\int f(x)dx=\sum_{n=0}^\infty \int nx^{n-1}dx$
[/mm]
verwendet werden. (Wobei strenggenommen in dieser Notation das
Stammfunktionssymbol auch richtig gedeutet werden muss, was vielen
gar nicht klar ist. Zum Bsp. schreibt man gerne
[mm] $\int 3x^2dx=x^3\,,$
[/mm]
was man durchaus sauberer so schreiben kann: für $g [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] mit
[mm] $g(x):=3x^2$ [/mm] gilt
[mm] $\int g(x)dx=\begin{cases} G \colon \IR \longrightarrow \IR,\\ \IR \ni t \longmapsto G(t):=t^3 \in \IR\end{cases}\,.$
[/mm]
Und rechts steht dann auch nur EINE der (vielen möglichen) Stammfunktionen,
natürlich kann man da auch noch Integrationskonstanten mitnehmen,
wenn man mag bzw. je nach Definition von [mm] $\int [/mm] g(x)dx$ muss man das sogar...).
> Ich glaube ich habe ein sehr elementares Problem: Was muss
> denn nun eigtl. gezeigt werden für den Grenzwert einer
> Potenzreihe? Für eine Reihe wäre es es so, dass ich z.B.
> versuche, eine Funktion von n zu finden und dann den Limes
> betrachte.
Nein, Du meinst, dass etwa der Grenzwert
[mm] $\sum_{k=1}^\infty 1/k^2$
[/mm]
geschrieben werden kann als
[mm] $\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n 1/k^2\,,$
[/mm]
sofern man weiß/nachgewiesen hat, dass die Reihe
[mm] $\sum_{k=1}^\infty 1/k^2\,,$
[/mm]
die erstmal als nichts anderes als eine Notation für die Folge ihrer
Teilsummen steht, auch konvergiert.
> Hier bekomme ich eine Funktion von x. Heißt
> dass, das der Grenzwert damit bestimmt ist, er also in
> Abhängigkeit von x angegeben wird?
Das kennst Du doch schon:
Die auf [mm] $(-1,1)\,$ [/mm] definierte Funktion
[mm] $f(x)=\sum_{k=0}^\infty x^k$
[/mm]
ist schreibbar als
[mm] $f(x)=\frac{1}{1-x}\,.$
[/mm]
Der Grund ist: Für jedes $-1 < x < 1$ ist
[mm] $\sum_{k=0}^\infty x^k$
[/mm]
eine konvergente Reihe (d.h. die Folge [mm] $\left(\sum_{k=0}^n x^k\right)_{n \in \IN_0}$ [/mm] konvergiert) mit
Grenzwert (der [mm] $x\,$-abhängig [/mm] ist!)
[mm] $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n x^k=\frac{1}{1-x}\,.$
[/mm]
Also ja: Der Grenzwert von Potenzreihen wird und darf i.a. von [mm] $x\,$ [/mm]
(bzw. besser gesagt: dem sogenannten 'Argument') abhängen.
Beachte aber die Doppeltverwendung des Reihensymbols:
![[]](/images/popup.gif) Anfang von Kapitel 6
Nebenbei: Du hast oben nun "den Integrationsweg" gewählt. Man kann
auch anders vorgehen:
Für $|x| < [mm] 1\,$ [/mm] kann man
[mm] $f(x):=\frac{1}{1-x}$
[/mm]
betrachten. Bekanntlich gilt dann
[mm] $f(x)=\sum_{k=0}^\infty x^k\,.$
[/mm]
Dann ist (für diese [mm] $x\,$)
[/mm]
[mm] $f'(x)=\sum_{k=0}^\infty (x^k)'=\sum_{k=0}^\infty k*x^{k-1}=\sum_{k=1}^\infty kx^{k-1}=\sum_{n=0}^\infty (n+1)x^n\,,$
[/mm]
weil "Potenzreihen im Inneren ihres Konvergenzkreises gliedweise abgeleitet
werden dürfen".
Weiter ist (insbesondere für $|x| < 1$)
[mm] $(1/(1-x))'=\frac{0*(1-x)-1*(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1}{(1-x)^2}\,.$
[/mm]
Also folgt (für $|x|< 1$)
[mm] $\sum_{n=0}^\infty (n+1)x^n=\frac{1}{(1-x)^2}\,.$
[/mm]
Das wäre der "Differentiationsweg".
Warum sage ich das nochmal? Naja, es mag erstmal merkwürdig anmuten,
dass
[mm] $F_1 \colon [/mm] (-1,1) [mm] \ni [/mm] x [mm] \longmapsto F_1(x):=1/(1-x)$ [/mm] (meine Rechnung)
und
[mm] $F_2 \colon [/mm] (-1,1) [mm] \ni [/mm] x [mm] \longmapsto F_2(x):=\red{\,x\,}/(1-x)$ [/mm] (Deine Rechnung)
beides Stammfunktionen von
$f [mm] \colon [/mm] (-1,1) [mm] \ni [/mm] x [mm] \longmapsto f(x):=1/(1-x)^2$
[/mm]
sein sollen. Man kann sich diese *Merkwürdigkeit* aber schnell erklären:
Berechne dazu mal etwa
[mm] $F_1(x)-F_2(x)\,$ [/mm] (auf $|x| < [mm] 1\,$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:18 Mo 17.11.2014 | | Autor: | SoWhat |
Danke, deine ausführliche Antwort hat super weitergeholfen!!!!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:11 So 16.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Diese Aufgabenstellung habe ich in den letzten Wochen öfters
gelesen. Leider hat mir immer folgender Lösungsweg gefehlt:
Es gilt:
[mm] \left(\sum_{n=0}^{\infty}x^n\right)*\left(\sum_{n=0}^{\infty}x^n\right)=\frac{1}{(1-x)^2} [/mm] für alle [mm] $|x|<1\$.
[/mm]
Mit der Cauchy-Produktformel erhalten wir
[mm] \left(\sum_{n=0}^{\infty}x^n\right)*\left(\sum_{n=0}^{\infty}x^n\right)=\sum_{n=0}^{\infty}x^n*(n+1)=\sum_{n=1}^{\infty}n*x^{n-1}.
[/mm]
Grüße gehen raus an baron Cauchy und Freddy FRED Feuerstein.
Schönen Sonntag wünsche ich! 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:30 So 16.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
>
> Diese Aufgabenstellung habe ich in den letzten Wochen
> öfters
> gelesen. Leider hat mir immer folgender Lösungsweg
> gefehlt:
>
> Es gilt:
>
> [mm]\left(\sum_{n=0}^{\infty}x^n\right)*\left(\sum_{n=0}^{\infty}x^n\right)=\frac{1}{(1-x)^2}[/mm]
> für alle [mm]|x|<1\[/mm].
>
> Mit der Cauchy-Produktformel erhalten wir
>
> [mm]\left(\sum_{n=0}^{\infty}x^n\right)*\left(\sum_{n=0}^{\infty}x^n\right)=\sum_{n=0}^{\infty}x^n*(n+1)=\sum_{n=1}^{\infty}n*x^{n-1}.[/mm]
>
>
> Grüße gehen raus an baron Cauchy und Freddy FRED
> Feuerstein.
> Schönen Sonntag wünsche ich!
gute Idee, allerdings muss man hier auf die Idee kommen, sich mal
[mm] $1/(1-x)^2$
[/mm]
anzuschauen. Zudem: Auch, wenn es hier keine Probleme macht, für
die Cauchy-Produktformel muss mindestens eine der beiden (konvergenten)
Reihen auch absolut konvergieren!
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
