Grenzwert einer Produktfolge < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 So 02.06.2013 | | Autor: | Regina13 |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Grenzwert der Folge:
[mm] x_{n}= \wurzel[]{2}\*\wurzel[4]{2}\*\wurzel[8]{2}\*\ldots\*\wurzel[2^k]{2}=\produkt_{k=1}^{n}\wurzel[2^k]{2} [/mm] |
Hallo liebe Helfer, bei dieser Aufgabe, weiß ich, dass die Folge ihren GW 2 hat, wenn ich es ausrechne für verschiedene K. Nur ich weiß nicht wie ich es richtig aufschreiben soll.
Kann mir bitte jemand helfen?
Viele Grüße Regina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 So 02.06.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Berechnen Sie den Grenzwert der Folge:
> [mm]x_{n}= \wurzel[]{2}\*\wurzel[4]{2}\*\wurzel[8]{2}\*\ldots\*\wurzel[2^k]{2}=\produkt_{k=1}^{n}\wurzel[2^k]{2}[/mm]
>
> Hallo liebe Helfer, bei dieser Aufgabe, weiß ich, dass die
> Folge ihren GW 2 hat, wenn ich es ausrechne für
> verschiedene K. Nur ich weiß nicht wie ich es richtig
> aufschreiben soll.
> Kann mir bitte jemand helfen?
> Viele Grüße Regina
Schreibe die Wurzeln mal als Exponenten, also:
[mm]\wurzel{2}\cdot\wurzel[4]{2}\cdot\wurzel[8]{2}\cdot\ldots\cdot\wurzel[2^k]{2}[/mm]
[mm]=2^{\frac{1}{2}}\cdot2^{\frac{1}{4}}\cdot\cdot2^{\frac{1}{8}}\ldots\cdot2^{\frac{1}{2^k}}[/mm]
[mm]=2^{\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{2^{k}\right]}[/mm]
[mm]=2^{\left[\sum_{i=1}^{k}\frac{1}{2^{i}}\right]}[/mm]
Denke nun mal über die geometrische Reihe im Exponenten nach. Beachte [mm] \frac{1}{2^{i}}=\frac{1^{i}}{2^{i}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{i}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 So 02.06.2013 | | Autor: | Regina13 |
Wäre dann : [mm] \summe_{i=1}^{n}= \bruch{1-(\bruch{1}{2})^(n+1)}{1-(\bruch{1}{2})}?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 So 02.06.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Wäre dann : [mm]\summe_{i=1}^{n}= \bruch{1-(\bruch{1}{2})^(n+1)}{1-(\bruch{1}{2})}?[/mm]
>
Nein.
Die geometrische Reihe [mm] \sum\limits_{i=0}^{\infty}q^{i} [/mm] hat, wenn |q|<1 ist, den Grenzwert [mm] \frac{1}{1-q}
[/mm]
In deinem Fall ist [mm] q=\frac{1}{2}, [/mm] aber die Summe beginnt bei i=1, nicht bei i=0
Daher musst du noch ein wenig rechnen.
Es gilt, in deinem Fall:
[mm] \sum\limits_{i=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{i}
[/mm]
[mm] =-\frac{1}{2^{0}}+\frac{1}{2^{0}}+\sum\limits_{i=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{i}
[/mm]
[mm] =-\frac{1}{2^{0}}+\sum\limits_{i=\red{0}}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{i}
[/mm]
[mm] =-\frac{1}{1}+\sum\limits_{i=\red{0}}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{i}
[/mm]
[mm] =-1+\sum\limits_{i=\red{0}}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{i}
[/mm]
Nun berechne den Grenzwert der geometrischen Reihe nochmal neu, und damit dann auch den Grenzwert deines Produktes.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 So 02.06.2013 | | Autor: | Regina13 |
Ich verstehe nicht ganz woher kommt [mm] -\bruch{1}{2^0}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 So 02.06.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ich verstehe nicht ganz woher kommt [mm]-\bruch{1}{2^0}[/mm]
Das ist der Wert, der in der Reihe noch fehlt um den Grenzwert bestimmen zu können, daher habe ich ihn hinzugefügt und gleich wieder subtrahiert, ähnlich der quadratischen Ergänzung.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:14 So 02.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo
> > Ich verstehe nicht ganz woher kommt [mm]-\bruch{1}{2^0}[/mm]
>
> Das ist der Wert, der in der Reihe noch fehlt um den
> Grenzwert bestimmen zu können, daher habe ich ihn
> hinzugefügt und gleich wieder subtrahiert, ähnlich der
> quadratischen Ergänzung.
das ist sozusagen "der Trick der additiven Null", der etwa auch bei der
Herleitung der Produktregel eingesetzt wird. Analog gibt's auch den
"Trick mit der multiplikativen Eins"!
P.S. Strenggenommen sollte man hier sagen, dass Du nicht mit der
Ausgangsreihe [mm] $\sum_{i=1}^\infty q^i$ [/mm] direkt weiter arbeitest, sondern eben diese in
Verbindung setzt mit der Folge, die konstant $-1$ ist, und eben der Reihe [mm] $\sum_{i=0}^\infty q^i\,.$ [/mm]
"Algebraisch" machst Du das natürlich genau so, wie Du es sagst, aber in
Wirklichkeit wendest Du hier schon einen Grenzwertsatz für konvergente
Folgen an:
[mm] $$a_n \to [/mm] a [mm] \wedge b_n \to b\;\;\;\;\Longrightarrow\;\;\;\;a_n+b_n \to a+b\,.$$
[/mm]
Genauso, wie man bei der Methodik
[mm] $$\sum_{i=1}^\infty q^i=q*\sum_{k=0}^\infty q^k=q*\frac{1}{1-q}$$
[/mm]
sowas wie
[mm] $$a_n \to [/mm] a [mm] \wedge b_n \to b\;\;\;\;\Longrightarrow\;\;\;\;a_n*b_n \to [/mm] a*b$$
verwendet!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 So 02.06.2013 | | Autor: | Regina13 |
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}(\bruch{1}{2})^i [/mm] geht gegen 1,
dann ist [mm] 2^1=1 [/mm] also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}=2
[/mm]
Hoffe habe ich alles korrekt aufgeschrieben?
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Hallo Regina,
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}(\bruch{1}{2})^i[/mm]
> geht gegen 1,
Der Grenzwert geht nicht gegen 1, er ist 1.
> dann ist [mm]2^1=1[/mm] also [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}=2[/mm]
Das ist etwas kraus. Nicht nur, weil [mm] 2^1 [/mm] gar nicht 1 ist... Überleg Dir nochmal, was Du da darstellen willst.
Du hast Deine ursprüngliche Folgenvorschrift mit den Regeln der Potenzrechnung so umformuliert, dass Du statt des unendlichen Produkt eine unendliche Summe (und hier damit sogar eine geometrische Reihe) betrachten konntest.
> Hoffe habe ich alles korrekt aufgeschrieben?
Nein, probiers noch einmal.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 So 02.06.2013 | | Autor: | Regina13 |
Sorry [mm] 2^1=2, [/mm] das war ein Fehler von mir.
Aber wenn ich [mm] -1+\summe_{i=1}^{\infty}(\bruch{1}{2})^i=-1+1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{4}+\bruch{1}{8}+\bruch{1}{16}+\bruch{1}{32}+\cdots\approx1 [/mm] Hier meine ich das es nicht 1 sondern nähert sich 1 oder habe ich was falsch gemacht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 So 02.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sorry [mm]2^1=2,[/mm] das war ein Fehler von mir.
> Aber wenn ich
> [mm]-1+\summe_{i=1}^{\infty}(\bruch{1}{2})^i=-1+1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{4}+\bruch{1}{8}+\bruch{1}{16}+\bruch{1}{32}+\cdots\approx1[/mm]
> Hier meine ich das es nicht 1 sondern nähert sich 1 oder
> habe ich was falsch gemacht?
was meinst Du? Es gilt allgemein für $|q| < [mm] 1\,$:
[/mm]
[mm] $$\sum_{i=1}^\infty q^i=-1+\sum_{i=0}^\infty q^i=-1+\lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^n q^i=-1+\lim_{n \to \infty} \frac{1-q^{n+1}}{1-q}=-1+\frac{1-\lim_{n \to \infty}q^{n+1}}{1-q}=-1+\frac{1}{1-q}=\frac{q}{1-q}\,.$$
[/mm]
Insbesondere habe ich da eigentlich die Herleitung von
[mm] $$\sum_{i=0}^\infty q^i=\frac{1}{1-q}$$
[/mm]
mit drin verpackt.
"Schneller" geht das übrigens so:
[mm] $$\sum_{i=1}^\infty q^i=q*\sum_{i=1}^\infty q^{i-1}=q*\sum_{k=0}^\infty q^k=q*\frac{1}{1-q}=\frac{q}{1-q}\,,$$
[/mm]
sofern $|q| < [mm] 1\,.$ [/mm]
Warum Du oben [mm] $\approx [/mm] 1$ schreibst, ist mir unklar: Für [mm] $q=1/2\,$ [/mm] ist
[mm] $$\sum_{i=1}^\infty q^i=\frac{q}{1-q}=\frac{1/2}{1\;-\;1/2}=1\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:10 So 02.06.2013 | | Autor: | Regina13 |
Oh das geht ja ganz einfach, warum mach ich so kompliziert(((( hmmm
Vielen Dank 
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