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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 Sa 21.02.2015 | | Autor: | lukasana |
| Aufgabe | | lim [mm] n+4-(n^2+4n+1)^{1/2} [/mm] |
Wie berechne ich hier den Grenzwert?
Man kann n ja leider nicht wie bei einem Bruch rausküren..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:40 Sa 21.02.2015 | | Autor: | abakus |
> lim [mm]n+4-(n^2+4n+1)^{1/2}[/mm]
> Wie berechne ich hier den Grenzwert?
> Man kann n ja leider nicht wie bei einem Bruch
> rausküren..
Hallo,
welcher Grenzwert? Für n gegen unendlich?
Wenn da nicht [mm] $n^2+4n+1$, sondern $n^2+4n+4$ [/mm] stehen würde, könntest du die Wurzel ziehen.
Damit hättest du schon mal eine Möglichkeit, das Ergebnis abzuschätzen...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Sa 21.02.2015 | | Autor: | lukasana |
Ja genau gegen unendlich. Ok mit der Abschätzung bekomme ich den Grenzwert 2. Aber kann ich den GW nicht auch genau bestimmen?
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Hiho,
doch, indem du geeignet mit Hilfe einer binomischen Formel erweiterst um die Wurzel (im Zähler) weg zu bekommen.
Gruß,
Gono
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Sa 21.02.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo lukasana!
Alternativ:
[mm] n+4-\sqrt{n^2+4n+1}=\left(n+4-\sqrt{n^2+4n+1}\right)\left(\frac{n+4+\sqrt{n^2+4n+1}}{n+4+\sqrt{n^2+4n+1}}\right).
[/mm]
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:07 Sa 21.02.2015 | | Autor: | lukasana |
Ok scheint mir aber auch nicht eine "schöne" Umformung zu sein. Die Aufgabe war in einer Altklausur und sollte innerhalb von ca. 3 min gelöst sein..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:12 Sa 21.02.2015 | | Autor: | abakus |
> Ok scheint mir aber auch nicht eine "schöne" Umformung zu
> sein. Die Aufgabe war in einer Altklausur und sollte
> innerhalb von ca. 3 min gelöst sein..
Diese drei Minuten sollten doch auch reichen.
Problematisch wird es, wenn man in der Klausur erst nach den binomischen Formeln googeln muss 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:35 Sa 21.02.2015 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
> Ok scheint mir aber auch nicht eine "schöne" Umformung zu
> sein.
doch, denn:
$n+4-\sqrt{n^2+4n+1}=\left(n+4-\sqrt{n^2+4n+1}\right)\left(\frac{n+4+\sqrt{n^2+4n+1}}{n+4+\sqrt{n^2+4n+1}}\right)=\frac{(n+4)^2-(n^2+4n+1)}{n+4\red{\;+\;}\sqrt{n^2+4n+1}$
Der Trick ist, hier die 3e binomische Formel ins Spiel zu bringen. Mal ein
überschaubareres Beispiel:
$\lim_{n \to \infty} \frac{n-\sqrt{n^2+2}}{3n}$
Mithilfe von
$\frac{n-\sqrt{n^2+2}}{3n}=\frac{n-\sqrt{n^2+2}}{3n}*\frac{n+\sqrt{n^2+2}}{n+\sqrt{n^2+2}}=\frac{n^2-(n^2+2)}{3n*(n+\sqrt{n^2+2})}=\;-\;\frac{2}{3n^2+3n*\sqrt{n^2+2}}$
sehen wir, dass
$\lim_{n \to \infty} \frac{n-\sqrt{n^2+2}}{3n}=0$
ist.
Jetzt berechne mal spaßeshalber die leicht modifizierte Fassung
$\lim_{n \to \infty} \left(n-\frac{\sqrt{n^2+2}}{3n}\right),$
und auch
$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{3n-\sqrt{n^2+2}}{3n}\right).$
(Bei der letzten Version kann man mindestens auf zwei verschiedenen
Wegen rechnen!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:43 Sa 21.02.2015 | | Autor: | lukasana |
Ah ok vielen Dank! Die Übersicht hat mir sehr beim verstehen geholfen!
Mit freundlichen Grüßen Lukas
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