Grenzwert einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:24 Fr 24.03.2006 | | Autor: | wing |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=1}^{ \infty}5/k! [/mm] |
Hallo,
ich habe ein Frage zur Lösung!Ist der Grenzwert der Reihe [mm] \infty???
[/mm]
Danke schonmal!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:41 Fr 24.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Wing,
> [mm]\summe_{k=1}^{ \infty}5/k![/mm]
> Ist der Grenzwert der Reihe [mm]\infty?[/mm]
Nein, die Reihe konvergiert nach dem Quotientenkriterium:
[mm] $\bruch{5}{(k+1)!}\ [/mm] :\ [mm] \bruch{5}{k!}=\bruch{k!}{(k+1)!}=\bruch{1}{k+1}\le\bruch{1}{2}=:q<1$.
[/mm]
Man kann aber auch direkt den Grenzwert angeben:
[mm] $\sum_{k=1}^{\infty}{\bruch{5}{k!}}=5\sum_{k=1}^{\infty}{\bruch{1}{k!}}=5\left(\sum_{k=0}^{\infty}{\bruch{1}{k!}}-1\right)=5\left(e^1-1\right)=5e-5$.
[/mm]
Alles klar? Ansonsten bitte nochmal nachfragen! 
MFG,
Yuma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Fr 24.03.2006 | | Autor: | wing |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{n=1}^{\infty}((2/n)-(1/(n+1))) [/mm] |
Danke für die schnelle Hilfe!Hab da noch eine Aufgabe wo ich mir nicht sicher bin, ist da der Grenzwert [mm] \infty??
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 Fr 24.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Wing,
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}((2/n)-(1/(n+1)))[/mm]
> Ist da der Grenzwert [mm]\infty?[/mm]
Ja, das ist richtig! Aber weißt du auch, warum?
Raten gilt ja nicht... 
EDIT: Kleiner Tipp! Du kannst umformen:
[mm] $\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\bruch{2}{n}-\bruch{1}{n+1}\right)}=\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\bruch{1}{n+1}+\bruch{2}{n^2+n}\right)}>\sum_{n=1}^{\infty}{\bruch{1}{n+1}}=\sum_{n=2}^{\infty}{\bruch{1}{n}}$.
[/mm]
Es gibt also eine divergente Minorante, nämlich [mm] $\sum_{n=2}^{\infty}{\bruch{1}{n}}$, [/mm] d.h. die Reihe [mm] $\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\bruch{2}{n}-\bruch{1}{n+1}\right)}$ [/mm] divergiert.
MFG,
Yuma
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