Grenzwert einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:33 Di 08.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{n}{n+1})^{n} [/mm] |
Hallo,
ich soll den Grenzwert obiger Reihe zeigen bzw. zeigen ob die Reihe konvergent oder divergent ist.
Hier mein Lösungsvorschlag:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{n}{n+1})^{n}
[/mm]
Nebenrechnung:
[mm] (\bruch{n}{n+1})^{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})^{n}}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})^{n}} [/mm] = 1
Aber ich denke das dies falsch ist. oder?
Was mach ich falsch?
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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Guten Abend Ali,
beachte: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e
[/mm]
Es handelt sich um diesen speziellen Grenzwert, bei dem die Eulersche Zahl heraus kommt.
Der Rest schaut sehr richtig aus.
Viel Erfolg,
[mm] \pi-\mathrm{rol}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 Di 08.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
ok.
hab vergessen, dass das so definiert ist.
also hier nochmal meine lösung:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})^{n}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{e} [/mm] < 1
[mm] \Rightarrow [/mm] Die Reihe ist konvergent.
richtig?
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Hallo,
> ok.
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> hab vergessen, dass das so definiert ist.
>
> also hier nochmal meine lösung:
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})^{n}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{e}[/mm] < 1
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Die Reihe ist konvergent.
>
> richtig?
Nein.
Sei [mm] \sum_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] eine Reihe. Ist die Reihe konvergent so ist [mm] \lim\limits_{n\to\infty}a_n=0, [/mm] also [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge. (notwendige Bedingung).
Bei dir ist jedoch [mm] a_n [/mm] keine Nullfolge. Daher divergiert die Reihe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Di 08.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
AAAAAAAA verstehe! :-D
Habs kapiert.
Nächste Frage:
offensichtlich ist ja nicht nur [mm] (1+\bruch{1}{n})^{n} [/mm] = e
sondern z. B. auch [mm] k^{\bruch{1}{k}} [/mm] = [mm] e^{ln(k) * \bruch{1}{k}}
[/mm]
Gibt es da irgendwo im inernet eine liste oder so wo alle solchen definitionen gelistet sind???
oder sind es nur die genannten zwei?
danke.
gibt es noch
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Hallo,
> AAAAAAAA verstehe! :-D
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> Habs kapiert.
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> Nächste Frage:
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> offensichtlich ist ja nicht nur [mm](1+\bruch{1}{n})^{n}[/mm] = e
Das stimmt nicht. Es ist
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^{n}=e
[/mm]
>
> sondern z. B. auch [mm]k^{\bruch{1}{k}}[/mm] = [mm]e^{ln(k) * \bruch{1}{k}}[/mm]
Was willst du denn mit dieser Umformung? Das ist ja auch keine Definition.
Es ist [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}k^{\bruch{1}{k}}=1
[/mm]
>
> Gibt es da irgendwo im inernet eine liste oder so wo alle
> solchen definitionen gelistet sind???
Du meinst ganz spezielle Grenzwerte? Ich denke, der Grenzwert mit e ist mit einer der wichtigsten. Außerdem sind Reihen auch recht wichtig. Besondere Entwicklungen sind z.B. die Reihen für SInus und Kosinus.
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> oder sind es nur die genannten zwei?
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> danke.
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> gibt es noch
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