Grenzwert einer komplexen Folg < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich möchte den Grenzwert der komplexen Folge [mm] a_n=\bruch{(4+5i)^n+6^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i} [/mm] berechnen.
Soweit ich weiß, soll sich dieser wie bei reellen Folgen berechnen lassen. Leider komme ich aber nicht sehr weit:
[mm] a_n=\bruch{(4+5i)^n+6^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i}
[/mm]
= [mm] \bruch{(4+5i)^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i} [/mm] + [mm] \bruch{6^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{4+5i + 7i} [/mm] + [mm] \bruch{6^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{4+12i} [/mm] + [mm] \bruch{6^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{4+12i} [/mm] + [mm] \bruch{6}{\wurzel[n]{(4+5i)^{n+1} + 7i}}
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{4+12i} [/mm] + [mm] \bruch{6}{\wurzel[n]{(4+5i)^{n+1} + 7i}})
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{4+12i} [/mm] + [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{6}{\wurzel[n]{(4+5i)^{n+1} + 7i}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{4+12i}+ \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{6}{\wurzel[n]{(4+5i)^{n+1} + 7i}}
[/mm]
Leider weiß ich nicht wie ich weiter bei [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{6}{\wurzel[n]{(4+5i)^{n+1} + 7i}} [/mm] vorgehen kann.
LG meinmathe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:48 Mo 25.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> ich möchte den Grenzwert der komplexen Folge
> [mm]a_n=\bruch{(4+5i)^n+6^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i}[/mm] berechnen.
>
> Soweit ich weiß, soll sich dieser wie bei reellen Folgen
> berechnen lassen. Leider komme ich aber nicht sehr weit:
> [mm]a_n=\bruch{(4+5i)^n+6^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{(4+5i)^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i}[/mm] +
> [mm]\bruch{6^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i}[/mm]
Hallo,
ich würde anders vorgehen
[mm]a_n=\bruch{(4+5i)^n+6^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i}=\bruch{(4+5i)^n+7i-7i+6^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i}=1-\bruch{7i}{(4+5i)^{n+1} + 7i}+\bruch{6^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i}[/mm]
Jetzt kannst du die Beträge der drei Summanden für n gegen unendlich einzeln betrachten.
Viele Grüße
Abakus
> = [mm]\bruch{1}{4+5i + 7i}[/mm] +
> [mm]\bruch{6^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{4+12i}[/mm] +
> [mm]\bruch{6^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{4+12i}[/mm] +
> [mm]\bruch{6}{\wurzel[n]{(4+5i)^{n+1} + 7i}}[/mm]
>
>
> Daraus folgt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm]
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{4+12i}[/mm] +
> [mm]\bruch{6}{\wurzel[n]{(4+5i)^{n+1} + 7i}})[/mm]
> =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{4+12i}[/mm] +
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{6}{\wurzel[n]{(4+5i)^{n+1} + 7i}}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{4+12i}+ \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{6}{\wurzel[n]{(4+5i)^{n+1} + 7i}}[/mm]
>
> Leider weiß ich nicht wie ich weiter bei
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{6}{\wurzel[n]{(4+5i)^{n+1} + 7i}}[/mm]
> vorgehen kann.
>
>
> LG meinmathe
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Hallo,
leider stoße ich dabei auf das selbe Problem:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{7i}{(4+5i)^{n+1} + 7i}+\bruch{6^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i} [/mm] =
= 1- [mm] \bruch{7i}{\limes_{n\rightarrow\infty}(4+5i)^{n+1} +7i} [/mm] + [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{6^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i}
[/mm]
= 1-0 + ?
Ich würde sagen, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{6^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i} [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] strebt, aber beweisen kann ich es nicht.
LG meinmathe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 Mo 25.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> leider stoße ich dabei auf das selbe Problem:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{7i}{(4+5i)^{n+1} + 7i}+\bruch{6^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i}[/mm]
> =
> = 1- [mm]\bruch{7i}{\limes_{n\rightarrow\infty}(4+5i)^{n+1} +7i}[/mm]
> + [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{6^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i}[/mm]
>
> = 1-0 + ?
> Ich würde sagen, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{6^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i}[/mm]
> gegen [mm]\infty[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
strebt, aber beweisen kann ich es nicht.
>
>
> LG meinmathe
Es ist $\bruch{6^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i}=\bruch{6^n}{(4+5i)^{n}*(4+5i) + 7i}=\bruch{1}{(\bruch{4+5i}{6})^{n}*(4+5i) + \bruch{7i}{6^n}$
(Ich habe Zähler und Nenne durch 6^n geteilt.
Der Betrag von \bruch{4+5i}{6} ist größer als 1...
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