Grenzwert einer rekursiven F. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechnen Sie den Grenzwert der rekursiv definierten Folge:
[mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{3x^{4}_{n} - 4x^{2}_{n} + 5}{4x^{3}_{n} - 8x_{n}}
[/mm]
(Sie duerfen ohne Beweis benutzen, dass [mm] x_{n} \ge [/mm] 2 fuer alle n gilt und dass die Folge konvergiert) |
Hi,
aufgrund des letzten Satzes, kann ich direkt mit dem Grenzwert anfangen. Folgenden Ansatz habe ich gewaehlt:
, da s = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n+1} [/mm] , gilt:
s = [mm] \bruch{3s^{4} - 4s^{2} + 5}{4s^{3} - 8s} [/mm] <=> ... <=> [mm] s^{4} [/mm] - [mm] 4s^{2} [/mm] - 5 = 0
Substitution: [mm] s^{2} [/mm] = x
=> PQ Formel... x1 = 5 [mm] \wedge [/mm] x2 = -1 ,
Da -1 < 2 kein gueltiges Ergebnis, also:
Ruecksubstitution:
[mm] x^{2} [/mm] = 5 <=> x1 = [mm] \wurzel{5} \wedge [/mm] x2 = - [mm] \wurzel{5} [/mm] (Ungueltig, da - [mm] \wurzel{5} [/mm] < 2)
=> Ein Ergebnis mit x1 = [mm] \wurzel{5} \approx [/mm] 2,236
Heisst das also, dass meine Folge gegen 2,236 konvergiert? Darf ich diesen Ansatz in anderen Faellen auch waehlen, bzw. warum darf ich ihn hier ueberhaupt waehlen? Habe es so gelernt, frage mich aber nach dem warum. Ist die Rechnung soweit richtig?
Waere nett, wenn mir jemand helfen koennte  .
MFG
|
|
| |
|
Hallo evilmaker!
Ja, das sieht alles erst einmal gut aus, auch wenn Du es ein bisschen unübersichtlich aufgeschrieben hast. Aber:
Eigentlich hätte ich in der Aufgabenstellung noch ein Startglied [mm] a_1 [/mm] erwartet, aber wie sich zeigt, ist es nicht nötig. Die Folge konvergiert sehr schnell, selbst mit [mm] a_1=10^6 [/mm] ist man schon nach 50 Gliedern "fast da".
Für negative Startwerte [mm] \a{}<-2 [/mm] konvergiert die Folge (nicht überraschend) gegen [mm] -\wurzel{5}.
[/mm]
Eine Ausnahme bilden die Startwerte [mm] \pm1; [/mm] sie führen zu einer alternierenden Folge: +1,-1,+1,-1 etc.
Bei genauerer Betrachtung entpuppt sich die Folge etwa im Bereich [mm] -\Phi
Wenn ich für [mm] a_1 [/mm] nacheinander ein paar Werte einsetze, bekomme ich z.B. ganz überraschende Ergebnisse:
[mm] a_1=0,57 \Rightarrow [/mm] Folge konvergiert gg. [mm] -\wurzel{5}
[/mm]
[mm] a_1=0,58 \Rightarrow [/mm] Folge kvg.gg. [mm] +\wurzel{5}
[/mm]
[mm] a_1=0,59 \Rightarrow [/mm] Folge kvg.gg. [mm] -\wurzel{5}
[/mm]
[mm] a_1=0,601 \Rightarrow [/mm] Folge kvg.gg. [mm] +\wurzel{5}
[/mm]
[mm] a_1=0,602 \Rightarrow [/mm] Folge kvg.gg. [mm] -\wurzel{5}
[/mm]
[mm] a_1=0,603 \Rightarrow [/mm] Folge kvg. nur absolut; geht in alternierende Folge über mit [mm] a_n=\pm0,845154255
[/mm]
oops.
Das sieht irgendwie noch nicht nach dem Problem "Rechengenauigkeit" aus. Dieser (mir unbekannte) Wert bleibt ab hier bis [mm] a_1=0,99999999 [/mm] bestehen, erst bei [mm] a_1 [/mm] kommt der Wechsel auf +1,-1,+1,-1 etc.
Dann:
[mm] a_1=1,1 \Rightarrow [/mm] Folge kvg.gg. [mm] +\wurzel{5}
[/mm]
[mm] a_1=1,2 \Rightarrow [/mm] Folge kvg.gg. [mm] -\wurzel{5}
[/mm]
...
All das ist überhaupt nicht gefragt, aber es stimmt mich doch skeptisch, ob Du wirklich so verfahren darfst, wie Du es tust. Das Ergebnis stimmt wohl, wenn [mm] a_1\ge2 [/mm] ist, aber es hat darin mindestens einen Schönheitsfehler, dass das Verfahren nur in einem Wertebereich stimmt, der nicht genauer definiert oder begründet ist und darum "gegriffen" erscheint, wie die Finanzleute sagen.
Darum kann ich Deine Frage, warum Du so verfahren darfst, absolut nicht beantworten. Soweit ich sehe, musst Du dazu in der Tat die Voraussetzung als unangreifbar annehmen dürfen.
Falls jemand Lust hat, mit höherer Rechengenauigkeit an dieser Folge zu arbeiten oder eine Erklärung für das pseudochaotische Verhalten in Abhängigkeit vom Startglied hat oder auch nur die Zahl 0,845154255... deuten kann, dann wäre ich sehr interessiert!
Liebe Grüße,
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:26 Di 30.12.2008 | | Autor: | evilmaker |
Wow sehr gute Antwort, aber du hast recht: Ich habe das Startglied vergeßen, sorry .
a1 = 2;
Stand im Aufgabentext, habs aber vergeßen. Leider kann ich dir nur bedingt folgen, da ich noch nicht sehr weit mit Reihen und Folgen bin und mich im Grunde genommen schon freue, wenn eine Aufgabe mal klappt.
Vielen Dank fuer deine Hilfe!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:39 Di 30.12.2008 | | Autor: | reverend |
Na, dann freu Dich mal.
Diese Aufgabe hast Du doch gut gelöst.
Der Rest ist ein Problem der Aufgabenstellung und nicht Deins.
Und hättest Du nicht das Startglied vergessen, hätte ich dieses interessante Folgenverhalten gar nicht entdeckt. Ich kann mir immer noch keinen Reim darauf machen und hoffe, dass sich noch jemand findet, der dazu mehr weiß.
lg,
reverend
|
|
|
| |
|
Hallo reverend,
> Na, dann freu Dich mal.
> Diese Aufgabe hast Du doch gut gelöst.
>
> Der Rest ist ein Problem der Aufgabenstellung und nicht
> Deins.
>
> Und hättest Du nicht das Startglied vergessen, hätte ich
> dieses interessante Folgenverhalten gar nicht entdeckt. Ich
> kann mir immer noch keinen Reim darauf machen und hoffe,
> dass sich noch jemand findet, der dazu mehr weiß.
Das seltsame Folgenverhalten liegt im Nenner begründet,
da [mm]3x_{n}^{4}-4x_{n}^ {2}+5 >0[/mm] für alle [mm]x_{n}[/mm].
Ist der Nenner kleiner Null, so wechseln die Vorzeichen der Folge
[mm]4x_{n}^{3}-8x_{n} < 0 \Rightarrow x_{n} < -\wurzel{2} \vee 0 < x_{n} < \wurzel{2}[/mm]
Für [mm]4x_{n}^{3}-8x_{n} > 0[/mm] hat die Folge immer dasselbe Vorzeichen.
[mm]4x_{n}^{3}-8x_{n} > 0 \Rightarrow x_{n} > \wurzel{2} \vee -\wurzl{2} < x_{n} < 0[/mm]
>
> lg,
> reverend
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:36 Di 30.12.2008 | | Autor: | reverend |
Hallo MathePower,
das ist zwar ein guter Anfang, aber dieser Teil (alternierend oder nicht) ist ja nicht der eigentlich problematische, sondern die mindestens pseudochaotische Verteilung des möglichen Folgenverhaltens.
Ich finde vier Varianten:
1) Folge kvg. gg. [mm] +\wurzel{5}
[/mm]
2) Folge kvg. gg. [mm] -\wurzel{5}
[/mm]
3) Folge alterniert [mm] \pm1
[/mm]
4) Folge geht in alternierende Folge über [mm] \pm0,845154255
[/mm]
Diese vier Varianten sind ja erst einmal alle gut und schön, aber warum treten sie in Abhängigkeit vom Startwert in teils extrem schnellen Wechsel auf? Siehe hierzu meinen ersten Beitrag.
Und wie käme ich an den Absolutbetrag des Grenzwerts von Variante 4?
lg,
reverend
|
|
|
| |
|
Hallo reverend,
> Hallo MathePower,
>
> das ist zwar ein guter Anfang, aber dieser Teil
> (alternierend oder nicht) ist ja nicht der eigentlich
> problematische, sondern die mindestens pseudochaotische
> Verteilung des möglichen Folgenverhaltens.
>
> Ich finde vier Varianten:
>
> 1) Folge kvg. gg. [mm]+\wurzel{5}[/mm]
>
> 2) Folge kvg. gg. [mm]-\wurzel{5}[/mm]
>
> 3) Folge alterniert [mm]\pm1[/mm]
>
> 4) Folge geht in alternierende Folge über [mm]\pm0,845154255[/mm]
>
> Diese vier Varianten sind ja erst einmal alle gut und
> schön, aber warum treten sie in Abhängigkeit vom Startwert
> in teils extrem schnellen Wechsel auf? Siehe hierzu meinen
> ersten Beitrag.
>
> Und wie käme ich an den Absolutbetrag des Grenzwerts von
> Variante 4?
Da muß die Gleichung
[mm]\bruch{3*s^{4}-4*s^{2}+5}{4*s^{3}-8*s}\right=\alpha*s[/mm]
für [mm]\alpha \in \left\{-1, \ 1 \right\}[/mm] betrachtet werden.
Oder entsprechend die Gleichung
[mm]\left(4*\alpha-3\right)*s^{4}+\left(4-8*\alpha\right)s^{2}-5=0[/mm]
für [mm]\alpha \in \left\{-1, \ 1 \right\}[/mm]
Dies führt dann auf die Lösungen
[mm]s^{2}_{1,2}=\bruch{8\alpha-4\pm\wurzel{\left(8\alpha+1\right)^{2}-45}}{2*\left(4\alpha-3\right)}[/mm]
Beziehungsweise konkret:
Für [mm]\alpha=1[/mm]:
[mm]s^{2}_{1,2}=\bruch{-4 \pm 6}{2}[/mm]
Für [mm]\alpha=-1[/mm]:
[mm]s^{2}_{1,2}=\bruch{-12 \pm 2}{-14}[/mm]
> lg,
> reverend
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Di 30.12.2008 | | Autor: | reverend |
Hallo MathePower,
sehr schön, vielen Dank!
Jetzt haben wir also alle möglichen Grenzwerte der Folge.
> Beziehungsweise konkret:
>
> Für [mm]\alpha=1[/mm]:
>
> [mm]s^{2}_{1,2}=\bruch{\red{-}4 \pm 6}{2}[/mm]
Das Minus ist noch zuviel, aber sonst ist es klar.
> Für [mm]\alpha=-1[/mm]:
>
> [mm]s^{2}_{1,2}=\bruch{-12 \pm 2}{-14}[/mm]
Es ergibt sich also für die nicht alternierenden Folgen der GW [mm] \pm\wurzel{5},
[/mm]
für die alternierenden entweder der GW [mm] \pm1 [/mm] oder der GW [mm] \pm\bruch{\wurzel{5}}{\wurzel{7}}. [/mm] Den letzten Ausdruck habe ich in der Dezimaldarstellung nicht erkannt, aber jetzt ist er ja identifiziert.
Völlig offen aber ist die Frage, für welches Startglied [mm] a_1 [/mm] die Folge welchen dieser vier möglichen Verläufe nimmt.
Und das ist die Frage, die mich hierbei am meisten interessiert.
Wie kann ich (nicht nur experimentell) bestimmen, wohin die Folge läuft?
Für die Bequemlichkeit verlinke ich noch einmal meinen ersten Beitrag.
lg,
reverend
|
|
|
| |
|
Hallo reverend,
> Hallo MathePower,
>
> sehr schön, vielen Dank!
> Jetzt haben wir also alle möglichen Grenzwerte der Folge.
>
> > Beziehungsweise konkret:
> >
> > Für [mm]\alpha=1[/mm]:
> >
> > [mm]s^{2}_{1,2}=\bruch{\red{-}4 \pm 6}{2}[/mm]
>
> Das Minus ist noch zuviel, aber sonst ist es klar.
>
> > Für [mm]\alpha=-1[/mm]:
> >
> > [mm]s^{2}_{1,2}=\bruch{-12 \pm 2}{-14}[/mm]
>
> Es ergibt sich also für die nicht alternierenden Folgen der
> GW [mm]\pm\wurzel{5},[/mm]
> für die alternierenden entweder der GW [mm]\pm1[/mm] oder der GW
> [mm]\pm\bruch{\wurzel{5}}{\wurzel{7}}.[/mm] Den letzten Ausdruck
> habe ich in der Dezimaldarstellung nicht erkannt, aber
> jetzt ist er ja identifiziert.
>
> Völlig offen aber ist die Frage, für welches Startglied [mm]a_1[/mm]
> die Folge welchen dieser vier möglichen Verläufe nimmt.
>
> Und das ist die Frage, die mich hierbei am meisten
> interessiert.
> Wie kann ich (nicht nur experimentell) bestimmen, wohin
> die Folge läuft?
>
> Für die Bequemlichkeit verlinke ich noch einmal meinen
> ersten Beitrag.
In diesem Post hast Du Startwerte gewählt, für die die Folge alternierend ist.
Bleibt die Frage ob diese alternierende Folge konvergent ist.
Meines Wissens ist eine Folge konvergent, wenn sie einen Häufungswert besitzt.
Bei diesen Startwerten und dieser alternierenden Folge scheint das nicht so zu sein.
>
> lg,
> reverend
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Di 30.12.2008 | | Autor: | reverend |
Hallo MathePower,
ja, es gibt auch Startwerte, für die die Folge alternierend wird.
Noch interessanter aber ist es, dass für sehr nah beieinanderliegende Startwerte die Folge manchmal gegen [mm] +\wurzel{5} [/mm] und manchmal gegen [mm] -\wurzel{5} [/mm] konvergiert. Dann plötzlich wird sie alternierend, bleibt aber über einen zusammenhängenden Wertebereich von [mm] a_1 [/mm] so und konvergiert absolut gegen [mm] \bruch{\wurzel{5}}{\wurzel{7}}, [/mm] bis sie für die singulären Werte [mm] \pm1 [/mm] auch zwischen [mm] \pm1 [/mm] alterniert, dann aber wieder (für [mm] a_1>1) [/mm] in den schnellen Wechsel der Grenzwerte [mm] \pm\wurzel{5} [/mm] übergeht, um dann irgendwann stabil nur noch [mm] +\wurzel{5} [/mm] zu produzieren.
Ich weiß nicht, warum das so ist und wie ich es angesichts eines beliebigen Startwertes vorhersagen könnte.
Wenn Dir das auch so geht, dann lass doch bitte die Frage auf "unbeantwortet".
Vielleicht hat ja jemand anders eine Idee.
Danke,
reverend
|
|
|
| |
|
Hallo reverend,
> Hallo MathePower,
>
> ja, es gibt auch Startwerte, für die die Folge alternierend
> wird.
>
> Noch interessanter aber ist es, dass für sehr nah
> beieinanderliegende Startwerte die Folge manchmal gegen
> [mm]+\wurzel{5}[/mm] und manchmal gegen [mm]-\wurzel{5}[/mm] konvergiert.
> Dann plötzlich wird sie alternierend, bleibt aber über
> einen zusammenhängenden Wertebereich von [mm]a_1[/mm] so und
> konvergiert absolut gegen [mm]\bruch{\wurzel{5}}{\wurzel{7}},[/mm]
> bis sie für die singulären Werte [mm]\pm1[/mm] auch zwischen [mm]\pm1[/mm]
> alterniert, dann aber wieder (für [mm]a_1>1)[/mm] in den schnellen
> Wechsel der Grenzwerte [mm]\pm\wurzel{5}[/mm] übergeht, um dann
> irgendwann stabil nur noch [mm]+\wurzel{5}[/mm] zu produzieren.
Wann die Folge alternierend ist und wann nicht kann man genau sagen.
>
> Ich weiß nicht, warum das so ist und wie ich es angesichts
> eines beliebigen Startwertes vorhersagen könnte.
>
> Wenn Dir das auch so geht, dann lass doch bitte die Frage
> auf "unbeantwortet".
> Vielleicht hat ja jemand anders eine Idee.
Ich habe gerade festgestellt, daß es nicht nur auf den Nenner ankommt,
sondern auf das Produkt
[mm]x_{n}*\left(4x_{n}^{3}-8*x_{n}\right)[/mm]
Wenn also [mm]x_{n[/mm] und [mm]x_{n+1}[/mm] gleiches Vorzeichen haben.
Ist dieses größer Null, so hat die Folge konstantes Vorzeichen.
Dies ist genau dann der Fall, wenn [mm]\vmat{x_{n}} > \wurzel{2}[/mm]
In dem Fall [mm]0 < \vmat{x_{n}} < \wurzel{2}[/mm] ist die Folge alternierend.
Ich behaupte mal:
Wenn [mm]a_{1} > \wurzel{2}[/mm], dann ist der Grenzwert [mm]\wurzel{5}[/mm]
Wenn [mm]a_{1} < -\wurzel{2}[/mm], dann ist der Grenzwert [mm]-\wurzel{5}[/mm]
>
> Danke,
> reverend
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Di 30.12.2008 | | Autor: | reverend |
Hallo MathePower,
danke erst einmal für all Deine Mühe, das Problem zu lösen. Dennoch habe ich den Eindruck, dass Du meine Wertetabelle in meinem ersten Beitrag, den ich zum wiederholten Mal verlinke, nicht wirklich gelesen hast.
Ich lege einmal eine Excel-Tabelle bei. Gib einfach links oben im Feld A1 verschiedene Werte ein, und Du wirst selbst sehen.
> Wann die Folge alternierend ist und wann nicht kann man
> genau sagen.
> [...]
>
> Ich habe gerade festgestellt, daß es nicht nur auf den
> Nenner ankommt,
> sondern auf das Produkt
>
> [mm]x_{n}*\left(4x_{n}^{3}-8*x_{n}\right)[/mm]
Das stammt aus der Betrachtung [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n=\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n+1} [/mm] , nehme ich an.
Müsste es dann nicht heißen:
[mm] x_{\blue{n+1}}*\left(4x_{n}^{3}-8*x_{n}\right) [/mm] ?
> Wenn also [mm]x_{n[/mm] und [mm]x_{n+1}[/mm] gleiches Vorzeichen haben.
>
> Ist dieses größer Null, so hat die Folge konstantes
> Vorzeichen.
ok, sehe ich ein.
> Dies ist genau dann der Fall, wenn [mm]\vmat{x_{n}} > \wurzel{2}[/mm]
Ich bezweifle aus gegebenem Grund das "genau dann", siehe Wertetabelle im verlinkten Beitrag. Ansonsten ist [mm] \wurzel{2} [/mm] offenbar tatsächlich eine der Startwert-Grenzen, und nicht wie von mir angenommen, [mm] \Phi. [/mm] Fragt sich nur: wie kommst Du auf [mm] \wurzel{2} [/mm] ?
> In dem Fall [mm]0 < \vmat{x_{n}} < \wurzel{2}[/mm] ist die Folge
> alternierend.
Das stimmt nicht. Mir geht es um die Startwerte [mm] x_1 [/mm] oder [mm] a_1, [/mm] je nachdem wie wir die Folge nun benennen wollen. Davon hängt es ja nicht ab.
Im Bereich [mm] -\wurzel{2}
> Ich behaupte mal:
>
> Wenn [mm]a_{1} > \wurzel{2}[/mm], dann ist der Grenzwert [mm]\wurzel{5}[/mm]
>
> Wenn [mm]a_{1} < -\wurzel{2}[/mm], dann ist der Grenzwert
> [mm]-\wurzel{5}[/mm]
Das sieht so aus. Kann man es auch beweisen?
Und immer noch: was ist mit [mm] -\wurzel{2}< a_1 <+\wurzel{2} [/mm] ??? Das ist doch der eigentlich interessante Bereich mit dem teils pseudochaotischen Verhalten!
Liebe Grüße,
reverend
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Excel-Tabelle
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: xls) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Hallo reverend,
> Hallo MathePower,
>
> danke erst einmal für all Deine Mühe, das Problem zu lösen.
> Dennoch habe ich den Eindruck, dass Du meine Wertetabelle
> in meinem ersten Beitrag,
> den ich zum wiederholten Mal verlinke, nicht wirklich
> gelesen hast.
Ich habe Deinen Beitrag gelesen. Mich hat darin stutzig gemacht,
weshalb da ein Grenzwert der Folge angegebenen wird, obwohl die Folge ja alternierend ist.
>
> Ich lege einmal eine Excel-Tabelle bei. Gib einfach links
> oben im Feld A1 verschiedene Werte ein, und Du wirst selbst
> sehen.
>
> > Wann die Folge alternierend ist und wann nicht kann man
> > genau sagen.
> > [...]
> >
> > Ich habe gerade festgestellt, daß es nicht nur auf den
> > Nenner ankommt,
> > sondern auf das Produkt
> >
> > [mm]x_{n}*\left(4x_{n}^{3}-8*x_{n}\right)[/mm]
>
> Das stammt aus der Betrachtung
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n=\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n+1}[/mm]
> , nehme ich an.
> Müsste es dann nicht heißen:
>
> [mm]x_{\blue{n+1}}*\left(4x_{n}^{3}-8*x_{n}\right)[/mm] ?
Es ist so:
[mm]x_{n+1}=\bruch{3x_{n}^4-4x_{n}^{2}+5}{4x_{n}^{3}-8x_{n}}[/mm]
Da [mm]3x_{n}^4-4x_{n}^{2}+5>0[/mm] für alle [mm]x_{n}[/mm] ist,
wird das Vorzeichen von [mm]x_{n+1}[/mm] nur von [mm]4x_{n}^{3}-8x_{n}[/mm] bestimmt.
Weiterhin muß [mm]x_{n+1}[/mm] dasselbe Vorzeichen wie [mm]x_{n}[/mm] haben.
Demnach gilt
[mm]\operatorname{sgn}\left(x_{n+1}\right)*\operatorname{sgn}\left(x_{n}\right)=1[/mm]
Daraus ergibt sich:
[mm]\operatorname{sgn}\left(4x_{n}^{3}-8x_{n}\right)*\operatorname{sgn}\left(x_{n}\right)=1[/mm]
äquivalent dazu ist:
[mm]\left(4x_{n}^{3}-8x_{n}\right)*x_{n}>0[/mm]
>
> > Wenn also [mm]x_{n[/mm] und [mm]x_{n+1}[/mm] gleiches Vorzeichen haben.
> >
> > Ist dieses größer Null, so hat die Folge konstantes
> > Vorzeichen.
>
> ok, sehe ich ein.
>
> > Dies ist genau dann der Fall, wenn [mm]\vmat{x_{n}} > \wurzel{2}[/mm]
>
> Ich bezweifle aus gegebenem Grund das "genau dann", siehe
> Wertetabelle im verlinkten Beitrag. Ansonsten ist
> [mm]\wurzel{2}[/mm] offenbar tatsächlich eine der Startwert-Grenzen,
> und nicht wie von mir angenommen, [mm]\Phi.[/mm] Fragt sich nur: wie
> kommst Du auf [mm]\wurzel{2}[/mm] ?
Das ist die Stelle für die die Folge nicht definiert ist.
Also die positive Lösung von [mm]4x_{n}^{3}-8x_{n}=0[/mm]
Weitere Stellen für die die Folge nicht definiert ist sind 0 und [mm]-\wurzel{2}[/mm]
>
> > In dem Fall [mm]0 < \vmat{x_{n}} < \wurzel{2}[/mm] ist die Folge
> > alternierend.
>
> Das stimmt nicht. Mir geht es um die Startwerte [mm]x_1[/mm] oder
> [mm]a_1,[/mm] je nachdem wie wir die Folge nun benennen wollen.
> Davon hängt es ja nicht ab.
>
> Im Bereich [mm]-\wurzel{2}
> ermittelten Folgenverhalten im Unendlichen, und bisher
> scheint nicht vorhersagbar, für welches [mm]a_1[/mm] welches
> Folgenverhalten auftritt.
Jo, bisher hab ich das nur experimentell bestimmen können.
>
> > Ich behaupte mal:
> >
> > Wenn [mm]a_{1} > \wurzel{2}[/mm], dann ist der Grenzwert [mm]\wurzel{5}[/mm]
> >
> > Wenn [mm]a_{1} < -\wurzel{2}[/mm], dann ist der Grenzwert
> > [mm]-\wurzel{5}[/mm]
>
> Das sieht so aus. Kann man es auch beweisen?
>
> Und immer noch: was ist mit [mm]-\wurzel{2}< a_1 <+\wurzel{2}[/mm]
> ??? Das ist doch der eigentlich interessante Bereich mit
> dem teils pseudochaotischen Verhalten!
>
> Liebe Grüße,
> reverend
>
> Excel-Tabelle
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:34 Di 30.12.2008 | | Autor: | reverend |
Hallo MathePower,
> Ich habe Deinen Beitrag gelesen. Mich hat darin stutzig gemacht,
> weshalb da ein Grenzwert der Folge angegebenen wird, obwohl die Folge ja
> alternierend ist.
...und mich macht stutzig, wieso Du jedesmal den Status auf "beantwortet" stellst.
Es gibt Werte im Bereich [mm] -\wurzel{2}keineswegs alternierend ist. Dass für sehr nahe beieinanderliegende Werte von [mm] a_1 [/mm] der Grenzwert mal [mm] +\wurzel{5} [/mm] und mal [mm] -\wurzel{5} [/mm] ist, ist doch gerade das Irritierende. Für diese Werte ergibt sich eben keine alternierende Folge, sondern eine, die gegen einen Grenzwert geht. Manche davon eben gegen den positiven, andere gegen den negativen.
Dann, irgendwo zwischen [mm] a_1=0,602 [/mm] und [mm] a_1=0,603 [/mm] springt die Folge in das alternierende Verhalten gegen [mm] \pm\bruch{\wurzel{5}}{\wurzel{7}}, [/mm] das bis [mm] a_1<1 [/mm] anhält, für [mm] a_1=1 [/mm] auf ein singuläres Verhalten wechselt, und danach wieder zwischen den möglichen Grenzwerten [mm] \pm\wurzel{5} [/mm] hin- und herspringt, dabei aber natürlich immer nur einen von beiden annimmt.
Ich habe keine Erklärung dafür, aber ich bitte Dich inständig und eindringlich, diese Frage höchstens auf "teilweise beantwortet" zu stellen, wenn Du antwortest.
Langsam habe ich keine Lust mehr, ständig das Gleiche zu schreiben, und meine ursprüngliche Frage ist bisher nicht beantwortet!
Danke im voraus,
reverend
PS: Die Herleitung von [mm] \wurzel{2} [/mm] habe ich echt nicht gesehen. Tomaten auf den Augen - Nullstellen des Nenners, also ehrlich... ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 Mi 31.12.2008 | | Autor: | ullim |
Hi reverend,
ich habe mir die Folge auch mal angeschaut. Ich lege mal ein Bild bei, über das ich mir ein bisschen Klarheit über den Folgenverlauf Klarheit verschaffen wollte. Eingezeichnet sind ein paar Bereiche. Von links nach Rechts sind es folgende.
Ich habe dazu definiert [mm] g(x)=\bruch{3*x^4-4*x^2+5}{4*x^3-8*x}
[/mm]
1. [mm] -\wurzel{2} [/mm] (Polstelle des Nenners)
2. Stelle an der [mm] g(x)=\wurzel{2} [/mm] gilt (-1.121168 und -0.425121)
3. Stelle an der g(x)=1 gilt (-1.0 und -0.602182)
4. Stelle an der [mm] g(x)=-\wurzel{2} [/mm] gilt (0.425121 und 1.121168)
5. Stelle an der g(x)=1 gilt (0.602182 und 1.0)
Ich denke in diesen Bereichen kann was passieren.
Die Idee dahinter ist, das wenn man den Anfangswert so definiert dass g(x0) entweder [mm] \pm\wurzel{2} [/mm] oder [mm] \pm1 [/mm] wird, das dies ein besonderer Fall ist, weil [mm] \pm\wurzel{2} [/mm] Polstellen von g(x) sind und weil bei [mm] \pm1 [/mm] gilt g(1)=-1 und g(-1)=1, sich der Folgenwert also nur zwischen [mm] \pm1 [/mm] bewegt.
Der von Dir ermittelte Wert 0.602182 kommt hier auch vor.
Datei-Anhang
Nach Silvester schau ich nochmal genauer hin, falls bis dahin noch nicht alles geklärt ist.
Die zweite Datei enthält die Startwerte und den Wert gegen den die Folge konvergiert.
Datei-Anhang
mfg ullim
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: txt) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:55 Do 01.01.2009 | | Autor: | reverend |
danke für Deine Antwort, ullim.
Ich bin auch erst Samstag Abend wieder zuhause.
Stelle hiermit aber die Frage nochmal auf "länger"...
Ich möchte das Phänomen in der Tat gern verstehen.
Frohes Neues Jahr ansonsten!
Grüße,
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:40 Do 01.01.2009 | | Autor: | ullim |
Hi Mathepower,
> Hallo ullim,
>
>
>
> > Hi reverend,
> >
> > ich habe mir die Folge auch mal angeschaut. Ich lege mal
> > ein Bild bei, über das ich mir ein bisschen Klarheit über
> > den Folgenverlauf Klarheit verschaffen wollte.
> > Eingezeichnet sind ein paar Bereiche. Von links nach Rechts
> > sind es folgende.
> >
> > Ich habe dazu definiert
> > [mm]g(x)=\bruch{3*x^4-4*x^2+5}{4*x^3-8*x}[/mm]
> >
> > 1. [mm]-\wurzel{2}[/mm] (Polstelle des Nenners)
> > 2. Stelle an der [mm]g(x)=\wurzel{2}[/mm] gilt (-1.121168 und
> > -0.425121)
> > 3. Stelle an der g(x)=1 gilt (-1.0 und -0.602182)
> > 4. Stelle an der [mm]g(x)=-\wurzel{2}[/mm] gilt (0.425121 und
> > 1.121168)
> > 5. Stelle an der g(x)=1 gilt (0.602182 und 1.0)
>
>
> Das muss doch hier heißen
>
> "5. Stelle an der [mm]g(x)=\blue{-}1[/mm] gilt (0.602182 und 1.0)"
>
Genau, das war wohl ein Tippfehler von mir, vielleicht zu durch frühes Silvester feiern .
> Nichts desto trotz gibt es noch was:
>
> Für [mm]g\left(x\right)=\pm\wurzel{\bruch{5}{7}}[/mm] gilt [mm]x \approx \mp 0.787158[/mm]
>
>
> >
> > Ich denke in diesen Bereichen kann was passieren.
> >
> > Die Idee dahinter ist, das wenn man den Anfangswert so
> > definiert dass g(x0) entweder [mm]\pm\wurzel{2}[/mm] oder [mm]\pm1[/mm] wird,
> > das dies ein besonderer Fall ist, weil [mm]\pm\wurzel{2}[/mm]
> > Polstellen von g(x) sind und weil bei [mm]\pm1[/mm] gilt g(1)=-1 und
> > g(-1)=1, sich der Folgenwert also nur zwischen [mm]\pm1[/mm]
> > bewegt.
> >
> > Der von Dir ermittelte Wert 0.602182 kommt hier auch vor.
> >
> > Datei-Anhang
> >
> > Nach Silvester schau ich nochmal genauer hin, falls bis
> > dahin noch nicht alles geklärt ist.
> >
> > Die zweite Datei enthält die Startwerte und den Wert gegen
> > den die Folge konvergiert.
> >
> > Datei-Anhang
> >
> > mfg ullim
> >
> >
>
> Gruß
> MathePower
mfg ullim
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 Mi 07.01.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo ullim, hallo MathePower,
danke nochmal für Eure Anstöße. Heute komme ich endlich dazu, mich noch einmal mit dem Thema zu befassen. Meine Frage kann ich nun zwar selbst beantworten (s.u.), aber das gesamte Folgenverhalten in Abhängigkeit vom Startglied ist damit noch nicht erklärt. Muss es vielleicht auch nicht; mir reicht das, was ich mit Eurer Hilfe nun gefunden habe.
Der Ansatz "Nullstellen des Nenners" ist zwar der entscheidende, zeigt sich aber als wenig praktikabel. Berechnet man [mm] x_{n+2} [/mm] in Abhängigkeit von [mm] x_n, [/mm] ergibt sich der unerquickliche Ausdruck
[mm] x_{n+2}=\bruch{243x_n^{16}-1872x_n^{14}+9332x_n^{12}-30416x_n^{10}+64658x_n^8-79216x_n^6+48820x_n^4-12400x_n^2+1875}{16x_n*(x_n^2-2)*(3x_n^4-4x_n^2+5)*(9x_n^8-56x_n^6+174x_n^4-168x_n^2+25)}
[/mm]
Der Nenner ist mit Absicht nicht ausmultipliziert, wir suchen ja Nullstellen. "Neue" ergeben sich nur aus der letzten Klammer, nämlich [mm] \pm0,42512138 [/mm] und [mm] \pm1,12116773.
[/mm]
Statt nun noch unhandlichere Ausdrücke zu produzieren, genügt ein Blick auf die beiden Zahlen, um einen anderen Weg zu finden, nämlich den von ullim vorgeschlagenen. Ich benenne hier nur die Variable um, damit keine Verwechslung mit den Folgengliedern [mm] x_n [/mm] entsteht.
Sei [mm] g(t)=\bruch{3t^4-4t^2+5}{4t(t^2-2)}
[/mm]
Die Funktion hat Polstellen bei [mm] \pm\wurzel{2} [/mm] und 0.
Es genügt nun, rekursiv zu verfahren.
Man löse [mm] g(t)=\pm\wurzel{2} [/mm] und erhält vier Werte [mm] t_{a/b}\pm1,12116773 [/mm] und [mm] t_{c/d}=\pm0,42512138 [/mm] (siehe oben).
Da auch im weiteren alle Lösungen immer positiv und negativ vorliegen, liste ich nur die Absolutwerte.
Die Rekursion setzt hier ein:
Man löse g(t)=1,12116773 und g(t)=0,42512138 und erhält neue Lösungen, etc.
Es zeigt sich, dass immer eine Lösung >1 ist, die andere immer <0,602182 (ich habe nicht versucht zu zeigen, warum das so ist, also keinen Nachweis für diese Behauptung), und dass nur die Lösungen >1 zu weiteren Werten führen (die Gleichung g(t)=a ist für |a|<0,81649659 nicht lösbar).
Es ergeben sich in den ersten Schritten folgende Werte, wahrscheinlich mit wachsendem numerischen Fehler behaftet:
[mm] t_0=\wurzel{2}=1,41421356237...
[/mm]
[mm] t_1=1,12116773
[/mm]
[mm] t_2=0,42512138
[/mm]
[mm] t_3=1,04909278
[/mm]
[mm] t_4=0,53354954
[/mm]
[mm] t_5=1,02232011
[/mm]
[mm] t_6=0,57156284
[/mm]
[mm] t_7=1,010665109
[/mm]
[mm] t_8=0,58767561
[/mm]
[mm] t_9=1,005215614
[/mm]
[mm] t_{10}=0,595116371
[/mm]
[mm] t_{11}=1,002579371
[/mm]
[mm] t_{12}=0,598694453
[/mm]
[mm] t_{13}=1,001282674
[/mm]
[mm] t_{14}=0,600449268
[/mm]
Es ist wahrscheinlich, dass die linke Spalte gegen 1, die rechte gegen 0,602182 konvergiert, also genau die beiden Werte, für die g(x)=1 ist.
Es sieht ganz so aus, als gäbe es noch unendlich viele Stellen wie die oben genannten.
Eine explizite Lösung ist offenbar nicht zu finden; die Bildungsvorschrift der Folge (bzw. die Funktionsdefinition) erlaubt keine Auflösung. Schade eigentlich. Immerhin ist auch so nachvollziehbar, wieso es zu den nicht unmittelbaren Wechseln des Folgengrenzwertes bei so nah beieinanderliegenden Startgliedern kommt.
Und das war ja eigentlich alles, was ich wissen wollte.
Herzliche Grüße aus steiler Wetterlage...
reverend
|
|
|
|
![[a]](uploads/forum/00492411/forum-i00492411-n001.jpg "Dateianhänge"){kind=small}
Datei-Anhang