Grenzwert geom.Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:41 Mi 29.05.2013 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | a) [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{3^k}
[/mm]
[mm] b)\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{3^k}
[/mm]
[mm] c)\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2^{k+1}}{3^k}
[/mm]
d) [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2^{k-1}}{3^{2k}}
[/mm]
e) [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{3^{k+1}}{4^{k+1}} [/mm] |
Für denGrenzwert der geometrischen Reihe gilt: [mm] \bruch{a_0}{1-q}
[/mm]
a) [mm] q=\bruch{1}{3} [/mm] und [mm] a_0=1
[/mm]
[mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{3}}= \bruch{1}{\bruch{2}{3}}=\bruch{3}{2}
[/mm]
b) hier habe ich schon Probleme, weil k=1. In der VL wurde ein Beispiel mit Indexverschiebung gerechnet. Ich komme bei den Aufgaben leider gar nicht zurecht. Könnt ihr mir das nochmal erklären?
LG
heinze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:46 Mi 29.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> a) [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{3^k}[/mm]
>
> [mm]b)\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{3^k}[/mm]
>
> [mm]c)\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2^{k+1}}{3^k}[/mm]
>
> d) [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2^{k-1}}{3^{2k}}[/mm]
>
> e) [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{3^{k+1}}{4^{k+1}}[/mm]
> Für denGrenzwert der geometrischen Reihe gilt:
> [mm]\bruch{a_0}{1-q}[/mm]
>
> a) [mm]q=\bruch{1}{3}[/mm] und [mm]a_0=1[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{1-\bruch{1}{3}}= \bruch{1}{\bruch{2}{3}}=\bruch{3}{2}[/mm]
Stimmt.
>
> b) hier habe ich schon Probleme, weil k=1. In der VL wurde
> ein Beispiel mit Indexverschiebung gerechnet. Ich komme bei
> den Aufgaben leider gar nicht zurecht. Könnt ihr mir das
> nochmal erklären?
Sei |q|<1
Dann ist [mm] \summe_{k=1}^{\infty}q^k= \summe_{k=1}^{\infty}qq^{k-1}=q* \summe_{k=1}^{\infty}q^{k-1}= q*\summe_{k=0}^{\infty}q^{k}
[/mm]
FRED
>
>
> LG
> heinze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:42 Do 30.05.2013 | | Autor: | heinze |
Danke, das habe ich jetzt besser verstanden! also wäre das dann bei der
b) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{3^k}= \bruch{1}{3}* \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{3^k}= \bruch{1}{3}*\bruch{1}{\bruch{2}{3}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
c) [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2^{k+1}}{3^k}= \summe_{k=0}^{\infty}2*(\bruch{2}{3})^k= \bruch{2}{1-\bruch{2}{3}}= [/mm] 6
d) [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2^{k-1}}{3^{2k}}
[/mm]
hier kann ich [mm] (\bruch{2}{3})^k [/mm] ausklammern aber ich komme nicht drauf mit was das noch multipliziert werden muss..
ebenso komme ich bei der e) nicht weiter. könnt ihr mir da helfen?
LG
heinze
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Hallo,
> Danke, das habe ich jetzt besser verstanden!
Hm, ich weiß nicht so recht, ob ich dir da zustimmen mag. 
> also wäre das
> dann bei der
>
> b) [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{3^k}= \bruch{1}{3}* \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{3^k}= \bruch{1}{3}*\bruch{1}{\bruch{2}{3}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
Das ist jedenfalls falsch.
> c) [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2^{k+1}}{3^k}= \summe_{k=0}^{\infty}2*(\bruch{2}{3})^k= \bruch{2}{1-\bruch{2}{3}}=[/mm]
> 6
>
Richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> d) [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2^{k-1}}{3^{2k}}[/mm]
>
> hier kann ich [mm](\bruch{2}{3})^k[/mm] ausklammern aber ich komme
> nicht drauf mit was das noch multipliziert werden muss..
Das mit den 2/3 ist keine gute Idee, versuche es mit 2/9 ...
>
> ebenso komme ich bei der e) nicht weiter. könnt ihr mir da
> helfen?
Bei der e kannst du 3/4 ausklammern und dann eine geometrische Reihe mit
[mm] q=-\bruch{3}{4}
[/mm]
annehmen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:28 Do 30.05.2013 | | Autor: | heinze |
ok ich starte mal einen neuen Versuch mit Ansatz aus der VL:
ok, meinen Fehler in b) habe ich erkannt. Ist es ok, wenn ich meine ergebnisse poste? Habe ne gebrochene hand und komme mit Tippen kaum klar.
a) [mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{3}} [/mm]
b) [mm] \bruch{\bruch{1}{3}}{1-\bruch{1}{3}} [/mm]
c) [mm] \bruch{2}{1-\bruch{2}{3}} [/mm]
[mm] d)\bruch{\bruch{2}{9}}{1-\bruch{2}{9}} [/mm] oder: [mm] \bruch{\bruch{1}{2}}{1-\bruch{2}{3}} [/mm] ??
e) hier scheitere ich und versuche mal zu rechnen
[mm] (1-\bruch{3}{4})\summe_{k=0}^{n}(-1)^k\bruch{3^{k-1}}{4^{k+1}}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{n}(-1)^k\bruch{3^{k-1}}{4^{k+1}}-\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k+1}\bruch{3^{k}}{4^{k+2}}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{n}(-1)^k\bruch{3^{k-1}}{4^{k+1}}-\summe_{k=0}^{n+1}(-1)^k\bruch{3^{k-1}}{4^{k+1}}
[/mm]
= [mm] \bruch{3}{4}-(-1)^k\bruch{3^{k-1}}{4^{k+1}}= \bruch{\bruch{3}{4}}{1+\bruch{3}{4}}.
[/mm]
Korrekt oder wo liegt der Fehler?
LG
heinze
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> ok ich starte mal einen neuen Versuch mit Ansatz aus der
> VL:
>
> ok, meinen Fehler in b) habe ich erkannt. Ist es ok, wenn
> ich meine ergebnisse poste? Habe ne gebrochene hand und
> komme mit Tippen kaum klar.
>
> a) [mm]\bruch{1}{1-\bruch{1}{3}}[/mm]
>
> b) [mm]\bruch{\bruch{1}{3}}{1-\bruch{1}{3}}[/mm]
>
> c) [mm]\bruch{2}{1-\bruch{2}{3}}[/mm]
Hallo,
die sind richtig, Du solltest sie allerdings noch al normale Brüche, ohne Doppelbruch, schreiben.
>
> [mm]d)\bruch{\bruch{2}{9}}{1-\bruch{2}{9}}[/mm] oder:
> [mm]\bruch{\bruch{1}{2}}{1-\bruch{2}{3}}[/mm] ??
Beide stimmen nicht
>
> e) hier scheitere ich und versuche mal zu rechnen
>
> [mm](1-\bruch{3}{4})\summe_{k=0}^{n}(-1)^k\bruch{3^{k-1}}{4^{k+1}}[/mm]
Hier verstehe ich schon diese Zeile nicht?
Geht es nicht um [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{3^{k+1}}{4^{k+1}}?
[/mm]
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 Do 30.05.2013 | | Autor: | heinze |
wir haben in der VL immer (1-p) vor die Klammer gesetzt.
Kannst du mir sagen, was bei d) und e) richtig wäre? ich komme immer auf das selbe ergebnis.
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Do 30.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> wir haben in der VL immer (1-p) vor die Klammer gesetzt.
In welchem Zusammenhang? Und was ist p?
>
> Kannst du mir sagen, was bei d) und e) richtig wäre? ich
> komme immer auf das selbe ergebnis.
Zu d)
[mm] \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{2^{k-1}}{3^{2k}} [/mm]
[mm] =\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{2^{k}\cdot2^{-1}}{(3^{2})^{k}} [/mm]
[mm] =\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{2^{k}}{2\cdot9^{k}} [/mm]
[mm] =\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{2}{9}\right)^{k} [/mm]
[mm] =\frac{1}{2}\cdot\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{2}{9}\right)^{k} [/mm]
Nun wieder du.
Zu e)
[mm] \sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot\frac{3^{k+1}}{4^{k+1}} [/mm]
[mm] =\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot\frac{3^{k}\cdot3}{4^{k}\cdot4} [/mm]
[mm] =\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{3}{4}\cdot\left(\frac{-3}{4}\right)^{k} [/mm]
Nun wieder du.
>
>
> LG
> heinze
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Do 30.05.2013 | | Autor: | heinze |
bei e) ist ein Fehler in deiner Rechnung! es muss oben k-1 stehen!!
ich rechne mal vor wie wir es lösen sollten:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}q^k, [/mm] |q|<1
[mm] (1-q)\summe_{k=0}^{n}q^k=\summe_{k=0}^{n}q^k-\summe_{k=0}^{\infty}q^{k+1}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{\infty}q^k-\summe_{k=0}^{n+1}q^k
[/mm]
[mm] =q^0+\summe_{k=0}^{n}q^k-\summe_{k=0}^{n}q^k-q^{n+1}=1-q^n
[/mm]
es folgt: [mm] \summe_{k=0}^{n}q^k=\bruch{1-q^n}{1-q}
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}q^k=\limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{1}{1-q}
[/mm]
Aber das kann ich ja nun mit deinen Umformungen so machen, richtig?
Dann hätte ich ja bei der d) als Grenzwert 9/14 raus, kann das sein??? kommt mir komisch vor das ergebnis.
LG
heinze
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> bei e) ist ein Fehler in deiner Rechnung! es muss oben k-1
> stehen!!
Hallo,
wo oben?
Die Aufgabenstellung lautete doch
> > > > > e) [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{3^{k+1}}{4^{k+1}}.
[/mm]
Was gefällt Dir nicht an Marius' Rechnung?
>
> ich rechne mal vor wie wir es lösen sollten:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}q^k,[/mm] |q|<1
??? Was ist mit dieser Summe?
Soll die berechnet werden, oder was?
>
> [mm](1-q)\summe_{k=0}^{n}q^k=\summe_{k=0}^{n}q^k-\summe_{k=0}^{\red{\infty}}q^{k+1}[/mm]
Was ist hier los?
Die Gleichung stimmt doch nicht.
Es ist doch wohl kaum
[mm] -q*\summe_{k=0}^{n}q^k=\summe_{k=0}^{\infty}q^{k+1}...
[/mm]
>
> [mm]=\summe_{k=0}^{\infty}q^k-\summe_{k=0}^{n+1}q^k[/mm]
>
> [mm]=q^0+\summe_{k=0}^{n}q^k-\summe_{k=0}^{n}q^k-q^{n+1}=1-q^n[/mm]
>
>
> es folgt: [mm]\summe_{k=0}^{n}q^k=\bruch{1-q^n}{1-q}[/mm]
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}q^k=\limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{1}{1-q}[/mm]
Oh Mann, ey...
Okay - ausatmen, einatmen, ausatmen, weitermachen:
oben hast Du Fehler eingebaut. Das Rote muß n heißen,
andere Fehler gibt es auch, welche ich nicht korrigiere jetzt.
Nun kommt es nicht nur darauf an, was da gerechnet wurde. Es wäre eine gute Idee, würdest Du Dir auch mal das Zel der Bemühungen klarmachen:
das Ziel war zu zeigen, welchen Wert die unendliche geometr. Reihe für |q|<1 hat:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}q^k=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{n}q^k=\bruch{1}{1-q}.
[/mm]
Das weißt Du nun und kannst und sollst es bis ans Ende Deiner Tage verwenden. Auch bei Deinen Hausaufgaben.
Und wenn Du aus irgendwelchen Gründen das Rad selbst erfinden möchtest und e) so lösen, wie Ihr den Beweis für die geometr. Reihe geführt habt, müßtest Du erstmal im Beweis die Fehler ausmerzen und dann entsprechend vorgehen.
Normal aber wäre der Weg, den Marius nennt, und den Du zum Ende gehen solltest.
LG Angela
> Aber das kann ich ja nun mit deinen Umformungen so machen,
> richtig?
>
>
> LG
> heinze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Do 30.05.2013 | | Autor: | heinze |
ich weiß aber nicht wie ich den weg zuende gehen soll, den Marius angefangen hat! ich habe bei der d) 4/3 als Grenzwert und bei der e) 3/7
Stimmt das zumindest?
Ich habe das mit dem Vorlesungsweg berechnet, anders kriege ich es nicht hin,
Lg
heinze
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> ich weiß aber nicht wie ich den weg zuende gehen soll, den
> Marius angefangen hat!
Hallo,
das ist traurig.
Du solltest Dich mal gründlich mit der geometrischen Reihe, damit, wann sie konvergiert und ihrem Grenzwert beschäftigen. Wenn Du das getan hast, wirst Du merken, daß diese Aufgäbelchen sehr schnell gehen.
> ich habe bei der d) 4/3 als
> Grenzwert und bei der e) 3/7
>
> Stimmt das zumindest?
Bei e) hab ich denselben, bei der d) nicht.
Da müßtest Du mal vorrechnen.
>
> Ich habe das mit dem Vorlesungsweg berechnet,
Die Wege sind ja ganz nett, aber der Blick fürs Wesentliche manchmal auch nicht zu verachten:
das ganze Gedöns in der VL diente dazu, Dir beizubringen, daß bei geeignetem q gilt:
[mm] \summe_{i=0}^nq^i=\bruch{1}{1-q}.
[/mm]
LG Angela
> anders kriege
> ich es nicht hin,
>
>
> Lg
> heinze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Do 30.05.2013 | | Autor: | heinze |
Warum stimmt das bei d) nicht??
da ist [mm] a_0=1/2 [/mm] und q=2/9
mit der Formel [mm] \bruch{a_0}{1-q} [/mm] erhalte ich doch genau das!
LG
heinze
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:13 Do 30.05.2013 | | Autor: | gregg |
>
> da ist [mm]a_0=1/2[/mm] und q=2/9
>
> mit der Formel [mm]\bruch{a_0}{1-q}[/mm] erhalte ich doch genau
> das!
>
>
> LG
> heinze
Hallo,
dann setze doch mal korrekt ein:
1/2 * 1/(1-q) = 1/2 * 1/(1-(2/9))
= 1/2 * 1/(7/9) = 1/2 * 9/7 = 9/14.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 Do 30.05.2013 | | Autor: | heinze |
Das hab ich auch raus!! Mist, ich habe mich wohlbei den vielen Zahlen vertippt..sorry! danke, jetzt ist alles klar!
LG
heinze
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:57 Mi 29.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Für die Indexanpassung kannst du auch wie folgt vorgehen, ähnlich wie bei der quadratischen Ergänzung addierst du eine "Nahrhafte Null".
[mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{3^k}$
[/mm]
[mm] $=-\frac{1}{3^{0}}+\frac{1}{3^{0}}+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{3^k}$
[/mm]
[mm] $=-\frac{1}{3^{0}}+\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{3^k}$
[/mm]
[mm] $=\ldots$
[/mm]
Marius
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