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| Aufgabe | gesuchter Grenzwert für limx->unendlich für (1+ [mm] 1/x^2)^x
[/mm]
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forme um zu [mm] (x^2+1)^x [/mm] / [mm] (x^2)^x
[/mm]
denke mal das hochx abzuleiten stellt mir ein problem dar...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:42 Do 28.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo black!
Forme den Ausdruck zunächst einmal um: [mm] $\left(1+\bruch{1}{x^2}\right)^x [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ e^{\ln\left(1+\bruch{1}{x^2}\right)} \ \right]^x [/mm] \ = \ [mm] e^{x*\ln\left(1+\bruch{1}{x^2}\right)}$
[/mm]
Und betrachte nun den Grenzwert: [mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}x*\ln\left(1+\bruch{1}{x^2}\right) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\ln\left(\bruch{x^2+1}{x^2}\right)}{\bruch{1}{x}} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\ln\left(x^2+1\right)-\ln\left(x^2\right)}{\bruch{1}{x}} [/mm] $
Gruß
Loddar
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hab erstmal die umformungen nachvollziehen muessen.
Soweit hab ich die verstanden,
wenn ich nach deinem letzten schritt nun den grenzwert ziehe kommt wieder 0/0 = 0!! ist das mein ergebnis oder muesste ich weiter L'Hospital anwenden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Do 28.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo black!
Zum einen lässt sich der Ausdruck [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] (genau wie [mm] $\bruch{\infty}{\infty}$ [/mm] ) im Vorfeld nicht ab- bzw. einzuschätzen zu $0_$ (wie du gerade). Das sind unbestimmte Ausdrücke, die man sich stets genauer ansehen muss.
Aber ja, dann musst Du evtl. nochmals de l'Hospital anwenden. Wie lautet denn Dein neuer Ausdruck? Da gibt es auch Methoden ohne de l'Hospital.
Gruß
Loddar
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habe weiter abgeleitet und hab dann nen doppelbruch. diesen wieder zusammengefasst ergibt [mm] 2x^2 [/mm] / [mm] x^3+x [/mm] !
würde wieder beides gegen unendlich laufen...
würde wieder ableiten...
andere möglichkeiten bin ich zu blind für..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Do 28.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo black!
Du könntest hier also noch 2-mal de l'Hospital anwenden (oder durch $x_$ kürzen und dann nur einmal anwenden).
Alternativ kannst Du auch die höchste Potenz [mm] $x^3$ [/mm] ausklammern und kürzen sowie anschließend die Grenzwertbetrachtung für [mm] $x\rightarrow\infty$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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