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Hallo,
ist das von mir richtig gerechnet und formuliert?
[mm] a_{n}= \vektor{\bruch{-2n+5}{2-2n}}^{n} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{-2+\bruch{5}{n}}{\bruch{2}{n}-2}}^{n}[/mm] [mm]n \to \infty[/mm] [mm] \vektor{\bruch{-2+0}{0-2}}^{\infty} [/mm] = [mm] 1^{\infty} [/mm] = 1
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} [/mm] = 1
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> Hallo,
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> ist das von mir richtig gerechnet und formuliert?
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> [mm]a_{n}= \vektor{\bruch{-2n+5}{2-2n}}^{n}[/mm] =
> [mm]\vektor{\bruch{-2+\bruch{5}{n}}{\bruch{2}{n}-2}}^{n}[/mm] [mm]n \to \infty[/mm]
> [mm]\vektor{\bruch{-2+0}{0-2}}^{\infty}[/mm] = [mm]1^{\infty}[/mm] = 1
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}[/mm] = 1
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hallo,
dann wäre der grenzwert von [mm] \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
[/mm]
ja auch 1 und nicht die bekannte eulersche zahl.
wenn du nun den zähler schreibst als 2-2n+3 und entsprechend kürzt, erhälst du einen ähnlichen term wie bei der eulerschen zahl.
bedenke nun, dass gilt:
[mm] \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{a}{n}\right)^n=e^a
[/mm]
am ende könnte dann eine geeignete substitution weiter helfen
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gruß tee
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Ok, aber wenn dem so ist, teile ich [mm] e^{a} [/mm] im Zähler doch durch selbiges im Nenner, oder nicht? Der Lösungsteil sagt auch, dass 1 herauskommt.
Hm, ich dachte ich hab mal was richtig gemacht. Mir brummt der Kopf vor lauter Limes & Co.
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Hallo,
zunächst einmal solltest du bei Grenzwerten der Form [mm] 1^{\infty} [/mm] stets höchst vorsichtig sein. Dieser Ausdruck gehört zu den nicht definierten Ausdrücken, d.h., man kann ihm nicht einfach einen Wert zuweisen. Ergfahrungsgemäß ist gerade dieser hier unter allen nicht definierten besonders schwierig zu akzeptieren, da er wenig intuitiv ist. fencheltee hat ja schon etwas dazu geschrieben.
Fange mal so an:
[mm] \left(\bruch{-2n+5}{2-2n}\right)^n
[/mm]
[mm] =\left(\bruch{-2n+5}{-2n+2}\right)^n
[/mm]
[mm] =\left(\bruch{-2n+2}{-2n+2}-\bruch{3}{2n-2}\right)^n
[/mm]
[mm] =\left(1-\bruch{3}{2n-2}\right)^n
[/mm]
=...
Jetzt musst du zwei Dinge tun:
- den verbleibenden Bruch in der Klammer so umschreiben, dass n-1 im Nenner steht.
- [mm] x^{n-1}*x=x^n [/mm] nutzen, um den Nenner dieses Bruchs mit dem Exponenten zu 'synchronieren', die müssen gleich sein
Dann kannst du die Definition der Eulerschen Zahl verwenden, um den Grenzwert vollends auszuwerten.
Edit: in der anderen Antwort zu obiger Frage stellt Gonozal_IX noch eine elegantere und schnellere Möglichkeit dar. Schau sie dir unbedingt an!
Gruß, Diophant
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hiho,
eine andere (und schnellere) Möglichkeit als die von Diophant wäre folgender, der auf deinem Aufbaut:
$ \left(\bruch{-2+\bruch{5}{n}}{\bruch{2}{n}-2}} \right)^{n}$
$=\left(\bruch{(-2)*(1+\bruch{-\bruch{5}{2}}{n})}{(-2)(1 + \bruch{-1}{n})}\right)^{n} $
$=\bruch{\left(1 + \bruch{-\bruch{5}{2}}{n}\right)^n}{\left(1+\bruch{-1}{n}\right)^n$
Und damit geht der Zähler gegen? Der Nenner gegen?
Und der Gesamtbruch offensichtlich nicht gegen 1 
MFG,
Gono.
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Hi,
könntest du das bitte weiter ausführen. Ich sehe nicht was du meinst.
Ich sehe folgendes:
Zähler: wenn n gegen [mm] \infty, [/mm] wird aus [mm] \bruch{2,5}{n} [/mm] null. Dann hätte ich [mm] (1-0)^{ \infty}
[/mm]
Nenner: wenn n gegen [mm] \infty, [/mm] wird aus [mm] \bruch{1}{n} [/mm] null. Dann hätte ich wieder [mm] (1-0)^{\infty}.
[/mm]
was mich wieder zu meinem Problem zurückführt. [mm] 1^{\infty}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 Fr 29.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du nicht weisst dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+1(n)^n=e [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+a/n)=e^a [/mm] ist kannst du mit der Antwort nichts anfangen,
also denk ich mal wenn ihr diesen GW berechnen sollt hattet ihr das!
du kannst für alle endlichen Potenzen schliessen
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+1/n)^k=1^k=1
[/mm]
weil du das mit den GW sätzen über Produkte machen kannst. diese Sätze gelten aber NUR für endliche Produkte!
du kannst nicht erst den lim gegen unendlich nur für eines der n berechnen:
dummes falsches Beispiel : [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}n*1/n=\limes_{n\rightarrow\infty}n*0=0
[/mm]
auch hier hab ich erstmal 1/n gegen 0 benutzt! und dann 0 mal jede Zahl =0
mit [mm] \infty [/mm] kann man nicht rechnen! Es ist wirklich keine Zahl!
Gruss leduart
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Ok,
also darf ich ja so verfahren und es müsste richtig sein:
[mm] \bruch{(1-\bruch{2,5}{n})^{n}}{(1-\bruch{1}{n})^{n}} [/mm] = [mm] \bruch{(1+\bruch{(-2,5)}{n})^{n}}{(1+\bruch{(-1)}{n})^{n}} [/mm] = [mm] \bruch{e^{-2,5}}{e^{-1}} [/mm] = [mm] e^{-1,5}
[/mm]
Oder etwa nicht? Hier frage ich mich jetzt allerdings, wie ich n gegen unendlich gehen lassen soll, wenn es nicht mehr vorhanden ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Fr 29.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Ok,
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> also darf ich ja so verfahren und es müsste richtig sein:
>
> [mm]\bruch{(1-\bruch{2,5}{n})^{n}}{(1-\bruch{1}{n})^{n}}[/mm] =
> [mm]\bruch{(1+\bruch{(-2,5)}{n})^{n}}{(1+\bruch{(-1)}{n})^{n}}[/mm]
das nächste = ist falsch! das gilt doch erst für n gegen [mm] \infty! [/mm] für alle endlichen n gilt ungleich!
> = [mm]\bruch{e^{-2,5}}{e^{-1}}[/mm] = [mm]e^{-1,5}[/mm]
>
> Oder etwa nicht? Hier frage ich mich jetzt allerdings, wie
> ich n gegen unendlich gehen lassen soll, wenn es nicht mehr
> vorhanden ist.
das liegt nur an deinem falschen =
gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:37 Fr 29.06.2012 | | Autor: | Mathe-Andi |
Ok, ich sehe meinen Fehler. Vielen Dank!
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