Grenzwert logarithmische Abl. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Guten Abend,
ich habe folgendes zu berechnen, weiß aber (noch) nicht wirklich wie und hatte gehofft, hier etwas Hilfe diesbzgl. zu finden.
[mm] \lim\limits_{R \rightarrow \infty}{\int_{\delta D_R(0)} \frac {p'(z)}{p(z)} dz }[/mm] wobei p(z) ein Polynom der Ordnung n sein soll.
Ich bin für Hilfe sehr dankbar
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 Do 07.07.2016 | | Autor: | Chris84 |
> Guten Abend,
>
> ich habe folgendes zu berechnen, weiß aber (noch) nicht
> wirklich wie und hatte gehofft, hier etwas Hilfe diesbzgl.
> zu finden.
>
> [mm]\lim\limits_{R \rightarrow \infty}{\int_{\delta D_R(0)} \frac {p'(z)}{p(z)} dz }[/mm]
> wobei p(z) ein Polynom der Ordnung n sein soll.
>
Was soll [mm] $\delta D_R(0)$ [/mm] sein? Der Kreis den Ursprung mit Radius $R$ (im Limes dann also ganz [mm] $\IC$)?
[/mm]
> Ich bin für Hilfe sehr dankbar
Schau mal hier: ![[]](/images/popup.gif) Null- und Polstellen zählendes Integral.
Gruss,
Chris
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:09 Do 07.07.2016 | | Autor: | Killercat |
Das sollte eig ein anderes Zeichen sein(welches ich grad aber nicht finde).. gemeint war der Rand
|
|
|
| |
|
Okay. Die Idee habe ich verstanden, nur der limes macht mir grad noch etwas zu schaffen. Wie bastel ich den da mit rein?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Do 07.07.2016 | | Autor: | Chris84 |
> Okay. Die Idee habe ich verstanden, nur der limes macht mir
> grad noch etwas zu schaffen. Wie bastel ich den da mit
> rein?
Naja, das sollte doch nicht mehr so schwierig sein :)
Welche Null-/Polstellen betrachtet man, wenn man [mm] $\delta D_R [/mm] (0)$ hat? (Meintest du fuer den Rand eig. dieses Zeichen hier: [mm] $\partial$ [/mm] ?)
Was passiert mit dem Integrationsgebiet, wenn [mm] $R\rightarrow\infty$? [/mm] (Hab ich ja eigentlich schon geschrieben.)
Welche Null-/Polstellen betrachtet man dann!?
Gruss,
Chris
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 Fr 08.07.2016 | | Autor: | fred97 |
Falls Ihr das Argumentprinzip (wie es mein Vorredner empfohlen hat) (noch) nicht hattet, kannst Du die Aufgabe auch so erledigen:
Sei p ein Polynom vom Grad n [mm] \ge [/mm] 1 mit den Nullstellen [mm] z_1,...,z_n, [/mm] also
[mm] p(z)=a_n(z-z_1)*...*(z-z_n) [/mm] (mit [mm] a_n \ne [/mm] 0).
Zeige mit Induktion nach n:
[mm] \bruch{p'(z)}{p(z)}= \bruch{1}{z-z_1}+...+ \bruch{1}{z-z_n}.
[/mm]
Ist nun $R> [mm] \max\{|z_1|,...,|z_n|\}$, [/mm] so ist
[mm] $\int_{\partial D_R(0)} \frac [/mm] {p'(z)}{p(z)} dz [mm] =\int_{\partial D_R(0)} (\bruch{1}{z-z_1}+...+ \bruch{1}{z-z_n}) [/mm] dz .$
Der Wert des Integrals
[mm] \int_{\partial D_R(0)} {\bruch{1}{z-z_k} dz }
[/mm]
dürfte bekannt sein.
FRED
|
|
|
|
