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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:31 Di 07.09.2010 | | Autor: | Selageth |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{x\rightarrow -2} [/mm] x * [mm] \bruch{|x|-2}{x+2} [/mm] |
Hallo miteinand'!
Soweit laufen die Klausurvorbereitungen endlich gut. :)
Aber die Aufgabe hier oben kann ich mir noch nicht ganz erklären. Es ging darum die Grenzwerte an der Definitionslücke (wie oben dargestellt) einer Funktion zu bestimmen. Prinzipiell muss hier ja eine Fallunterscheidung gemacht werden (x<0 bzw. x>0).
Die Lösung für x>0 soll beispielsweise einfach nur 2 sein. Aber: wenn ich den Limes jetzt in den Ausdruck "reinziehe" steht doch, gleich was der Betrag ergibt, im Nenner immer:
-2 + 2
Und das wäre 0. Und eine Division durch 0 ist nicht definiert. Wie kommt man also auf die 2 als Grenzwert?
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Hallo Selageth!
Bedenke, dass für die Grenzwertbetrachtung [mm]x\rightarrow -2[/mm] der x-Wert negativ wird, d.h. [mm]x \ < \ 0[/mm] .
Setze nun die Definition der Betragsfunktion ein mit:
[mm] $|x|:=\begin{cases} -x, & \mbox{für } x \ < \ 0 \\ +x, & \mbox{für } x \ \ge \ 0 \end{cases}$
[/mm]
Damit wird dann auch:
[mm]\limes_{x\rightarrow -2} x * \bruch{|x|-2}{x+2} \ = \ \limes_{x\rightarrow -2} x * \bruch{-x-2}{x+2}[/mm]
Nun im Zähler [mm](-1)_[/mm] ausklammern und anschließend kürzen. Dann steht der Grenzwertbetrachtung auch nichts mehr im Wege.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:51 Di 07.09.2010 | | Autor: | Selageth |
Ahhh. Und so einfach lösen sich die Probleme.
Danke! :)
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