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Forum "Folgen und Reihen" - Grenzwert nte Wurzel
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Grenzwert nte Wurzel: Aufgabe und Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:43 Do 22.02.2018
Autor: leo_213

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Aufgabe
Berechnen Sie den Grenzwert.
\lim_{n\to \infty } \left(6^n+3^n\right)^{1/n}

Ich hab mir, nachdem ich die Lösung gespickt hab folgendes dazu überleg:

Wenn ich 6^n unter der Wurzel ausklammere und die Wurzel draus ziehe, hab ich  noch $\lim_{n\to \infty } \left(6 \sqrt{\frac{3^n}{6^n}+1}\right) $ da stehen.
Der Grenzwert von $\frac{3^n}{6^n}+1}$ ist null, die nte Wurzel aus 1 ist 1 und mein Grenzwert der Folge ist somit 6.

Sind meine Überlegungen so korrekt?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


Grüße
Leo

        
Bezug
Grenzwert nte Wurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:02 Do 22.02.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Berechnen Sie den Grenzwert.
> [mm]\lim_{n\to \infty } \left(6^n+3^n\right)^{1/n}[/mm]
> Ich hab
> mir, nachdem ich die Lösung gespickt hab folgendes dazu
> überleg:

>

> Wenn ich [mm]6^n[/mm] unter der Wurzel ausklammere und die Wurzel
> draus ziehe, hab ich noch [mm]\lim_{n\to \infty } \left(6 \sqrt{\frac{3^n}{6^n}+1}\right)[/mm]
> da stehen.

Soweit passt das, die 6 könntest du allerdings gleich vor den Limes ziehen. [ok]

> Der Grenzwert von [mm]\frac{3^n}{6^n}+1}[/mm] ist null,

Das ist vermutlich ein Konzentrationsfehler und du meinst in Wirklichkeit 1, also

[mm] \frac{3^n}{6^n}+1= \frac{1}{2^n}+1 \to\ 1\ ,\ \ \textrm{für n} \to\infty[/mm]

> die nte
> Wurzel aus 1 ist 1 und mein Grenzwert der Folge ist somit
> 6.

>

> Sind meine Überlegungen so korrekt?

Ja, bis auf den kleinen Fehler, den ich oben angesprochen habe.

Nein, noch nicht. Was du machst, nämlich zuerst das n im Term unter der Wurzel gegen Unendlich gehen zu lassen und danach erst den Wurzelexponenten, das kann man so ohne weitere Begründung nicht machen (auch wenn es hier offensichtlich vom Resultat her stimmt).

Siehe dazu die andere Antwort von fred97!


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Grenzwert nte Wurzel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:01 Fr 23.02.2018
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> > Berechnen Sie den Grenzwert.
>  > [mm]\lim_{n\to \infty } \left(6^n+3^n\right)^{1/n}[/mm]

>  > Ich

> hab
>  > mir, nachdem ich die Lösung gespickt hab folgendes

> dazu
>  > überleg:

>  >
>  > Wenn ich [mm]6^n[/mm] unter der Wurzel ausklammere und die

> Wurzel
>  > draus ziehe, hab ich noch [mm]\lim_{n\to \infty } \left(6 \sqrt{\frac{3^n}{6^n}+1}\right)[/mm]

>  
> > da stehen.
>  
> Soweit passt das, die 6 könntest du allerdings gleich vor
> den Limes ziehen. [ok]
>  
> > Der Grenzwert von [mm]\frac{3^n}{6^n}+1}[/mm] ist null,
>  
> Das ist vermutlich ein Konzentrationsfehler und du meinst
> in Wirklichkeit 1, also
>  
> [mm]\frac{3^n}{6^n}+1= \frac{1}{2^n}+1 \to\ 1\ ,\ \ \textrm{für n} \to\infty[/mm]
>  
> > die nte
>  > Wurzel aus 1 ist 1 und mein Grenzwert der Folge ist

> somit
>  > 6.

>  >
>  > Sind meine Überlegungen so korrekt?

>  
> Ja, bis auf den kleinen Fehler, den ich oben angesprochen
> habe.

Hallo Diophant,

Du irrst ! Eine Begründung findest Du in meiner Antwort auf die obige Frage.


>  
>
> Gruß, Diophant


Bezug
                        
Bezug
Grenzwert nte Wurzel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:19 Fr 23.02.2018
Autor: Diophant

Hallo Fred,

> > Ja, bis auf den kleinen Fehler, den ich oben angesprochen
> > habe.

>

> Hallo Diophant,

>

> Du irrst ! Eine Begründung findest Du in meiner Antwort
> auf die obige Frage.

>

Ok, du begründest das Konvergenzverhalten der n. Wurzel noch. Ich bin jetzt davon ausgegengen, dass das verwendet werden darf.

Dein Gegenbeispiel mit der Eulerschen Zahl basiert aber auf dem undefinierten Ausdruck [mm] 1^{\infty}, [/mm] während es hier letztendlich um [mm] 1^0=1 [/mm] geht. Insofern sehe ich jetzt nicht so ganz, warum man das extra begründen muss?

Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Grenzwert nte Wurzel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:49 Fr 23.02.2018
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> > > Ja, bis auf den kleinen Fehler, den ich oben angesprochen
>  > > habe.

>  >
>  > Hallo Diophant,

>  >
>  > Du irrst ! Eine Begründung findest Du in meiner

> Antwort
>  > auf die obige Frage.

>  >
>  
> Ok, du begründest das Konvergenzverhalten der n. Wurzel
> noch. Ich bin jetzt davon ausgegengen, dass das verwendet
> werden darf.
>  
> Dein Gegenbeispiel mit der Eulerschen Zahl basiert aber auf
> dem undefinierten Ausdruck [mm]1^{\infty},[/mm] während es hier
> letztendlich um [mm]1^0=1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

geht. Insofern sehe ich jetzt nicht

> so ganz, warum man das extra begründen muss?

Hallo Diophant,

der Fragesteller schreibt:

"Der Grenzwert von $ \frac{3^n}{6^n}+1} $ ist null, die nte Wurzel aus 1 ist 1 ".

"null" hast Du schon kritisiert, gemeint hat er wahrscheinlich

"Der Grenzwert von $ \frac{3^n}{6^n}+1 $ ist 1, die nte Wurzel aus 1 ist 1 "

Was macht er da ? Das:  in $ \frac{3^n}{6^n}+1 $ lässt er $n \to \infty $ gehen, zieht dann die n-te Wurzel und lässt n (nochmal !) gegen \infty gehen.

Und das ist Unfug !

Er macht also das:

\lim_{m \to \infty}( \lim_{n \to \infty}(\frac{3^n}{6^n}+1)^{1/m})

Das liefert zwar das richtige Ergebnis , die Vorgehensweise ist aber nicht korrekt.

In meinem Beispiel mit der Eulerschen Zahl wäre das:

\lim_{m \to \infty}( \lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^m)=1,

diese Vorgehensweise geht also mächtig in die Hose !

Die Mathematik wäre um einiges einfacher, wenn stets das Folgende richtig wäre:

sind a_n und b_n Folgen und \circ eine "Rechenoperation" wie +,-, \cdot, / oder ^ dann gilt stets

   (*) \lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty}a_n \circ b_m= \lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty}a_n \circ b_m=  \lim_{n \to \infty}a_n \circ b_n.

Leider ist (*) in den meisten Fällen falsch.

>  
> Gruß, Diophant


Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert nte Wurzel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:06 Fr 23.02.2018
Autor: Diophant

Hallo Fred,

sorry, ich muss nochmals nachfragen:

> Die Mathematik wäre um einiges einfacher, wenn stets das
> Folgende richtig wäre:

>

> sind [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm] Folgen und [mm]\circ[/mm] eine "Rechenoperation"
> wie +,-, [mm]\cdot,[/mm] / oder ^ dann gilt stets

>

> (*) [mm]\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty}a_n \circ b_m= \lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty}a_n \circ b_m= \lim_{n \to \infty}a_n \circ b_n.[/mm]

>

> Leider ist (*) in den meisten Fällen falsch.

>

Obiges sind ja die Grenzwertsätze für die Grundrechenarten. Die gelten bekanntlich, wenn die beteiligten Folgen konvergent sind (und im Falle der Division die Folge im Nenner keine Nullfolge ist).

Dass man sie nicht allgemein auf die Potenzfunktion anwenden kann, ist mir auch klar. Aber hier konvergiert der Wurzelinhalt gegen 1 und (als Potenz aufgefasst) der Exponent gegen 0. Wenn man jetzt noch [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{n}=1[/mm] als bekannt voraussetzt, dann sehe ich das Problem ehrlich gesagt immer noch nicht.


Gruß, Diophant

Bezug
                                                
Bezug
Grenzwert nte Wurzel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:19 Fr 23.02.2018
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> sorry, ich muss nochmals nachfragen:
>  
> > Die Mathematik wäre um einiges einfacher, wenn stets das
>  > Folgende richtig wäre:

>  >
>  > sind [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm] Folgen und [mm]\circ[/mm] eine

> "Rechenoperation"
>  > wie +,-, [mm]\cdot,[/mm] / oder ^ dann gilt stets

>  >
>  > (*) [mm]\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty}a_n \circ b_m= \lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty}a_n \circ b_m= \lim_{n \to \infty}a_n \circ b_n.[/mm]

>  
> >
>  > Leider ist (*) in den meisten Fällen falsch.

>  >
>  

Hallo Diophant,

> Obiges sind ja die Grenzwertsätze für die
> Grundrechenarten.

Hä ? Das hat mit den Grenzwertsätzen nix zu tun !

[mm] $\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty}a_n \circ b_m [/mm] $   sind iterierte Grenzwerte ! Erst n [mm] \to \infty, [/mm] dann m [mm] \to \infty.... [/mm]


>  Die gelten bekanntlich, wenn die
> beteiligten Folgen konvergent sind (und im Falle der
> Division die Folge im Nenner keine Nullfolge ist).
>  
> Dass man sie nicht allgemein auf die Potenzfunktion
> anwenden kann, ist mir auch klar. Aber hier konvergiert der
> Wurzelinhalt gegen 1 und (als Potenz aufgefasst) der
> Exponent gegen 0. Wenn man jetzt noch
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{n}=1[/mm] als bekannt
> voraussetzt, dann sehe ich das Problem ehrlich gesagt immer
> noch nicht.

Oben habe ich geschrieben:

"Was macht er da ? Das:  in $ [mm] \frac{3^n}{6^n}+1 [/mm] $ lässt er $ n [mm] \to \infty [/mm] $ gehen, zieht dann die n-te Wurzel und lässt n (nochmal !) gegen $ [mm] \infty [/mm] $ gehen. "

Findest Du das in Ordnung ?

>  
>
> Gruß, Diophant


Bezug
                                                        
Bezug
Grenzwert nte Wurzel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:36 Fr 23.02.2018
Autor: Diophant

Hallo Fred,

> > Hallo Fred,
> >
> > sorry, ich muss nochmals nachfragen:
> >
> > > Die Mathematik wäre um einiges einfacher, wenn stets das
> > > Folgende richtig wäre:
> > >
> > > sind [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm] Folgen und [mm]\circ[/mm] eine
> > "Rechenoperation"
> > > wie +,-, [mm]\cdot,[/mm] / oder ^ dann gilt stets
> > >
> > > (*) [mm]\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty}a_n \circ b_m= \lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty}a_n \circ b_m= \lim_{n \to \infty}a_n \circ b_n.[/mm]

>

> >
> > >
> > > Leider ist (*) in den meisten Fällen falsch.
> > >
> >

>

> Hallo Diophant,

>

> > Obiges sind ja die Grenzwertsätze für die
> > Grundrechenarten.

>

> Hä ? Das hat mit den Grenzwertsätzen nix zu tun !

Ach so: das mit den unterschiedlichen Indizes hatte ich übersehen, sorry!

>

> [mm]\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty}a_n \circ b_m[/mm] sind
> iterierte Grenzwerte ! Erst n [mm]\to \infty,[/mm] dann m [mm]\to \infty....[/mm]

>

Ja, das ist mir dann jetzt auch klar.

> > Die gelten bekanntlich, wenn die
> > beteiligten Folgen konvergent sind (und im Falle der
> > Division die Folge im Nenner keine Nullfolge ist).
> >
> > Dass man sie nicht allgemein auf die Potenzfunktion
> > anwenden kann, ist mir auch klar. Aber hier konvergiert der
> > Wurzelinhalt gegen 1 und (als Potenz aufgefasst) der
> > Exponent gegen 0. Wenn man jetzt noch
> > [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{n}=1[/mm] als bekannt
> > voraussetzt, dann sehe ich das Problem ehrlich gesagt immer
> > noch nicht.

>

> Oben habe ich geschrieben:

>

> "Was macht er da ? Das: in [mm]\frac{3^n}{6^n}+1[/mm] lässt er [mm]n \to \infty[/mm]
> gehen, zieht dann die n-te Wurzel und lässt n (nochmal !)
> gegen [mm]\infty[/mm] gehen. "

>

> Findest Du das in Ordnung ?
> >

Nein. Jetzt habe ich verstanden, was du meinst und werde meine Antwort noch entsprechend abändern.

Vielen Dank!


Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Grenzwert nte Wurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:59 Fr 23.02.2018
Autor: fred97


> Berechnen Sie den Grenzwert.
>   [mm]\lim_{n\to \infty } \left(6^n+3^n\right)^{1/n}[/mm]
>  Ich hab
> mir, nachdem ich die Lösung gespickt hab folgendes dazu
> überleg:
>  
> Wenn ich [mm]6^n[/mm] unter der Wurzel ausklammere und die Wurzel
> draus ziehe, hab ich  noch [mm]\lim_{n\to \infty } \left(6 \sqrt{\frac{3^n}{6^n}+1}\right)[/mm]
> da stehen.

Nein ! Du hast da stehen:  

[mm]\lim_{n\to \infty } \left(6 \wurzel[n]{\frac{3^n}{6^n}+1}\right)[/mm]

n-te wurzel ! Vielleicht hast Du Dich auch nur verschrieben ?


> Der Grenzwert von [mm]\frac{3^n}{6^n}+1}[/mm] ist null,

Nein, der Grenzwert ist 1.




> die nte
> Wurzel aus 1 ist 1 und mein Grenzwert der Folge ist somit
> 6.

Hier machst Du einen typischen Anfängerfehler !

Du hast eine Folge der Form [mm] (\wurzel[n]{a_n}), [/mm] wobei [mm] a_n \to [/mm] 1.

Du gehst nun so vor: [mm] a_n \to [/mm] 1 ----> [mm] \wurzel[n]{1} \to [/mm] 1.

Mit Deiner "Methode" hätten wir [mm] (1+\frac{1}{n})^n \to 1^n \to [/mm] 1,

was natürlich völliger Unsinn ist. Du hast keine zwei n's, derart das erst das eine n [mm] \to \infty [/mm] geht und dann das "andere". Es ist das gleiche n !


Nun berechnen wir den Grenzwert von  $ [mm] (\wurzel[n]{a_n})$, [/mm] mal korrekt,  wobei $ [mm] a_n \to [/mm] 1. $

Wegen [mm] a_n \to [/mm] 1, ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] mit: 1/2 [mm] \le a_n \le [/mm] 2 für alle n>N.

Dann folgt:


(*)  [mm] \wurzel[n]{1/2} \le \wurzel[n]{a_n} \le \wurzel[n]{2} [/mm] für alle n>N.

Ist c>0, so glt bekanntlich für [mm] \wurzel[n]{c} \to [/mm] 1.

Aus (*) erhalten wir dann : [mm] \wurzel[n]{a_n} \to [/mm] 1.

Zur Übung kannst Du ja versuchen zu zeigen (aber ganz sauber !): sind a,b >0 , so gilt

[mm] \wurzel[n]{a^n+b^n} \to \max\{a,b\}. [/mm]



> Sind meine Überlegungen so korrekt?

Wie gesagt: nein !


>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
>
> Grüße
>  Leo


Bezug
                
Bezug
Grenzwert nte Wurzel: Richtigstellung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:47 Fr 23.02.2018
Autor: leo_213

Erstmal danke an euch beide.

Ja ich war wirklich etwas unkonzentriert, ich hab natürlich [mm] 3^n/6^n [/mm] geht gegen 0 und [mm] 6^n/6^n [/mm] geht gegen 1 gemeint.

Ich hab verstanden, dass ich nicht zwei mal den Grenzwert ziehe darf, danke!

Grüße
Leo

Bezug
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