Grenzwert oder Divergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie bei den Folgen entweder den Grenzwert oder ob bestimmte Divergenz vorliegt:
[mm] (b_n)_n_\in_\IN [/mm] = [mm] (\bruch{3n^3-2}{\wurzel{2}n^2-2})
[/mm]
[mm] (c_n)_n_\in_\IN [/mm] = [mm] (\bruch{3n^2+3n-2}{\wurzel{4n^4+5n}})
[/mm]
Betrachten Sie die rekursive definierte Folge
a= [mm] \bruch{1}{4}, a_n+1 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
Zeigen Sie, dass diese Folge monoton und beschränkt ist. Bestimmen Sie anschließend den Grenzwert der Folge. |
Hallo, ich habe leider überhaupt keine Ahnung wie das funktioniert.
Könntet ihr mir bitte diese Aufgaben (anhand von Erklärungen) vorrechen?
Das reine Ergebnis ohne Erklärung würde mir leider nichts bringen, da ich es ja irgendwann selber hinbekommen muss.
Wäre super von euch.
Ich bedanke mich schonmal im Vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:33 Do 24.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Zu [mm] (b_n):
[/mm]
[mm] $b_n \ge \bruch{3n^3-2}{\wurzel{2n^2}} \ge \bruch{n^3}{\wurzel{2}n}= \bruch{1}{\wurzel{2}}n^2$
[/mm]
Zu [mm] (c_n):
[/mm]
Wir teilen Zähler und Nenner durch [mm] n^2 [/mm] und erhalten:
[mm] c_n= \bruch{3+\bruch{3}{n}-\bruch{2}{n^2}}{\wurzel{4+\bruch{5}{n^3}}}
[/mm]
Zu [mm] (a_n):
[/mm]
Zeige induktiv: 0 [mm] \le a_n \le [/mm] 1/2 für alle n und [mm] a_{n+1} \ge a_n [/mm] für alle n.
FRED
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Erst einmal vielen Dank für deine Arbeit.
Mehr ist das nicht bei einer solchen Aufgabe?
Aber was genau sagt mir diese Antwort jetzt über die Divergenz oder den Grenzwert?
Gruß
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Hallo,
> Mehr ist das nicht bei einer solchen Aufgabe?
> Aber was genau sagt mir diese Antwort jetzt über die
> Divergenz oder den Grenzwert?
bei b) hat FRED dir gezeigt, dass jedes Folgenglied größer gleich einem entsprechenden Glied der Folge
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}n^2
[/mm]
ist. Ist diese Folge konvergent? Was bedeutet die Antwort auf diese Frage dann für die Folge [mm] b_n?
[/mm]
Bei c) wurde soweit umgeformt, dass man den Grenzwert schon sehen kann. Wie lautet er, und welche Frage hinsichtlich der Konvergenz ist noch offen, wenn du ihn gezeigt hast?
Bei Aufgabe a) ist die Sache etwas vertrackter. Ein hinreichendes Kriterium für die Konvergenz einer Folge ist das Zusammentreffen der beiden Eigenschaften monoton und beschränkt (wobei die Beschränkung natürlich auf der richtigen, zur Monotonie passenden Seite liegen muss). Hier hat FRED dir für beide Eigenschaften jeweils einen zielführenden Tipp gegeben, wie du sie nachrechnen bzw. zeigen kannst.
Gruß, Diophant
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Ich stehe echt total auf dem Schlauch.
Ich komme damit leider überhaupt nicht klar.
Ich danke euch für eure zahlreichen Antworten, allerdings kann ich euch nicht so wirklich folgen. Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir das noch ein wenig ausführlicher Erläutern könntet. Denn selbst aus den zahlreichen Definitionen im Internet werde ich nicht wirklich schlauer...
Gruß Marce
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Hallo,
> Ich stehe echt total auf dem Schlauch.
> Ich komme damit leider überhaupt nicht klar.
das ist ein wenig unspezifisch. Du könntest uns etwas genauer beschreiben, wo es hakt.
Zu [mm] (b_n): [/mm] der begriff der bestimmten Divergenz bedeutet, dass eine Folge gegen plus pder minus unendlich strebt, im Gegensatz zu unbestimmter Divergenz, wie sie etwa bei der Folge
[mm] (d_n):=1;-2;3;-4;5;...
[/mm]
vorliegt. Hier kann man nicht sagen, gegen was die Folge strebt.
Zu [mm] (c_n): [/mm] hier vertsehe ich dich am wenigsten. FRED hat dir die Aufgabe so gut wie fertig gerechnet, was ist daran noch unklar?
Zu [mm] (a_n): [/mm] hast du die hinreichende Bedingung für Folgenkonvergenz, die ich in meiner vorigen Antwort genannt habe, soweit nachvollziehen können (mit Sicherheit wirst du sie in deinen Unterlagen finden)?
Gruß, Diophant
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[mm] b_n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel{2}}n^2 [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
und somit würde diese Folge gegen unendlich streben/keinen Grenzwert besitzen. Damit müsste sie dann Divergent sein!?
Ist das auch so die richtige Schreibweise?
Zu c: Da sehe ich leider nichts.
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Hallo!
> [mm]b_n[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel{2}}n^2[/mm] = [mm]\infty[/mm]
>
> und somit würde diese Folge gegen unendlich streben/keinen
> Grenzwert besitzen. Damit müsste sie dann Divergent
> sein!?
Ja.
> Zu c: Da sehe ich leider nichts.
Was ist denn [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n} und \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n^{2}}?[/mm]
Was genau bleibt denn bei deinem Bruch dann noch stehen?
gruß Valerie
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Das müsste eine Nullfolge sein. Ist das dann Konvergent?
Ist das bei b auch die richtige Schreibweise?
Und was sagt mir die letzte Aufgabe.
Sorry, aber von Folgen habe ich leider gar keinen Plan :(
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Hallo SirDante,
> Das müsste eine Nullfolge sein. Ist das dann Konvergent?
Die angegebenen Folgen sind Nullfolgen
und konvergieren gegen 0.
> Ist das bei b auch die richtige Schreibweise?
Ja.
> Und was sagt mir die letzte Aufgabe.
>
Überlege Dir, welche größte Potenz im Nenner ausgeklammert werden muß,
um Nullfolgen zu erzeugen.
> Sorry, aber von Folgen habe ich leider gar keinen Plan :(
Gruss
MathePower
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zu c: Das müsste dann gegen 0 gehen und kann somit vernachlässigt werden.
Demnach müsste dann [mm] \bruch{3}{\wurzel{4}} [/mm] übrig bleiben.
Dann müsste der Grenzwert bei [mm] \bruch{3}{2} [/mm] liegen und die Folge wäre Konvergent.
Ich hoffe mal das ist so richtig?
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Hallo Sir_Dante,
> zu c: Das müsste dann gegen 0 gehen und kann somit
> vernachlässigt werden.
>
> Demnach müsste dann [mm]\bruch{3}{\wurzel{4}}[/mm] übrig bleiben. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann müsste der Grenzwert bei [mm]\bruch{3}{2}[/mm] liegen und die
> Folge wäre Konvergent.
>
> Ich hoffe mal das ist so richtig?
Jo, ist es!
Gruß
schachuzipus
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