Grenzwert und Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 Sa 25.04.2009 | | Autor: | scr3tchy |
| Aufgabe 1 | Reihen auf Konvergenz untersuchen
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{10^3}{n}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{2n+1}{n^2(n-1)^2}
[/mm]
c) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n} [/mm] + [mm] \summe_{n=11}^{\infty} \bruch{1}{n!} [/mm] |
| Aufgabe 2 | Grenzwert bestimmen
a) [mm] \limes_{x\rightarrow1} \bruch{2x^4-6x^3+x^2+3}{x-1}
[/mm]
b) [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} \bruch{cos x}{x + \pi}
[/mm]
c) [mm] \limes_{x\rightarrow0} \bruch{6x - sin 2x}{2x + 3 sin 4x}
[/mm]
d) [mm] \limes_{x\rightarrow3+0} [/mm] f(x), [mm] \limes_{x\rightarrow3-0} [/mm] f(x) mit f(x) = [mm] \begin{cases} \bruch{|x-3|}{x-3}, & \mbox{falls } x \not= 3 \\ 0, & \mbox {falls } x = 3 \end{cases} [/mm] |
Hey leute,
ich habe oben stehende aufgaben gegeben. Bei der ersten Aufgabe is mir das grundkonzept einer Konvergenz nich ganz klar....ich weiß das es verschiedene Kriterien gibt die man darauf anwenden kann aber wann genau eine Reihe konvergent ist ist mir nicht ganz klar.....genauso für die abselute Konvergenz. Habe auch schon einges durchgelesen, aber so richtig kann ich damit nichts anfangen.
Bei zweitens komm ich mit dem umstellen der Formeln nich ganz klar....irgendwie....ja ich weiß auch nich.... :-P
Hoffe echt das hier jemand von euch helfen kann....
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Hallo!
> ich habe oben stehende aufgaben gegeben. Bei der ersten
> Aufgabe is mir das grundkonzept einer Konvergenz nich ganz
> klar....ich weiß das es verschiedene Kriterien gibt die man
> darauf anwenden kann aber wann genau eine Reihe konvergent
> ist ist mir nicht ganz klar.....genauso für die abselute
> Konvergenz. Habe auch schon einges durchgelesen, aber so
> richtig kann ich damit nichts anfangen.
Eine Reihe [mm] $s_{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}a_{k}$ [/mm] der Folge [mm] a_{k} [/mm] ist im Grunde auch wieder eine Folge, die sogenannte Folge der Partialsummen von [mm] a_{k}. [/mm] Die ersten paar Folgenglieder von der Folge [mm] s_{n} [/mm] lauten:
[mm] s_{1} [/mm] = [mm] a_{1}
[/mm]
[mm] s_{2} [/mm] = [mm] a_{1} [/mm] + [mm] a_{2}
[/mm]
[mm] s_{3} [/mm] = [mm] a_{1} [/mm] + [mm] a_{2} [/mm] + [mm] a_{3}
[/mm]
...
usw.
Nun betrachtest du bei [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{10^3}{n}[/mm] im Grunde nichts anderes als den Grenzwert der Folge der Partialsummen von [mm] \bruch{10^3}{n}, [/mm] d.h. du musst ausrechnen was als Summe herauskommt, wenn du alle Folgenglieder der Folge [mm] \bruch{10^3}{n} [/mm] für n = 1 bis n = [mm] \infty [/mm] aufeinanderaddierst. Oft kommt bei solchen Betrachtungen unendlich raus, manchmal konvergiert die Reihe aber auch, d.h. es entsteht ein endlicher Wert als Summe aller Folgenglieder, z.B. 2.
Ein gutes Beispiel: Ein Kuchen geht entlang eines unendlich langen Tisches mit unendlich vielen Leuten. Jeder, der den Kuchen bekommt, schneidet sich genau die Hälfte ab. Die Folge [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \left(\bruch{1}{2}\right)^{n} [/mm] beschreibt dann, wieviel vom ursprünglichen Kuchen der n-te "Abschneider" bekommt.
Betrachten wir nun die Reihe [mm] s_{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}\left(\bruch{1}{2}\right)^{k} [/mm] und wollen nun
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}s_{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^{k}
[/mm]
bestimmen, so addieren wir im Grunde alle von den Leuten genommenen Kuchenstücken wieder aufeinander und wissen: Am Ende kommt nicht unendlich viel Kuchen heraus, sondern genau 1.
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Absolute Konvergenz ist nicht mit soviel Anschauung verbunden: Eine Reihe [mm] \summe_{k=1}^{n}a_{k} [/mm] ist absolut konvergent, wenn auch die Partialsummen der Beträge [mm] \summe_{k=1}^{n}|a_{k}| [/mm] konvergieren. Der Begriff der absoluten Konvergent entstand aus der Problemstellung, dass man Reihen "umordnen" kann, d.h. ihre Glieder in einer anderen Reihenfolge aufaddieren und dann die Reihe eventuell einen anderen Grenzwert annimmt. So kann man einer nicht absolut konvergenten Reihe gewissermaßen jeden Grenzwert durch Umordnen der Reihenglieder aufzwingen, den man gern hätte.
Viele Konvergenzkriterien liefern absolute Konvergenz, z.B. das Quotienten- und das Wurzelkriterium.
Tipps zu den einzelnen Aufgaben:
a) konvergiert nicht - Verwende das Minorantenkriterium und die Nichtkonvergenz der harmonischen Reihe.
b) konvergiert - Nachweis zum Beispiel über Majorantenkriterium mit der Reihe [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^{3}}
[/mm]
c) nochmal harmonische Reihe
> Bei zweitens komm ich mit dem umstellen der Formeln nich
> ganz klar....irgendwie....ja ich weiß auch nich.... :-P
Etwas genauer müsstest du deine Probleme schon beschreiben. Man hat bei den Aufgaben 1) und 3) das Problem, dass man den Grenzwert nicht einfach einsetzen kann, weil dann sowas wie 0/0 dasteht.
Bei der Aufgabe 1) würde ich dir deswegen empfehlen eine Polynomdivision durchzuführen, denn offenbar hat der Nenner den Linearfaktor (x-1) ebenfalls enthalten wenn er die Nullstelle 1. Alternativ kannst du dir auch in Bezug zu Aufgabe 3) auch den Satz von ![[]](/images/popup.gif) Satz von L'Hospital
anschauen.
Für die Aufgabe 2) solltest du dir überlegen, wie sich Zähler und Nenner verändern. Zum Beispiel ist der Zähler ja beschränkt im Intervall [-1,1]. Was bedeutet das?
Bei Aufgabe 4) musst du einmal von links und rechts dich der 3 annähern. Was für einen Wert nimmt die Funktion in dem jeweiligen Fall an?
Viele Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Sa 25.04.2009 | | Autor: | scr3tchy |
Hallo Stefan,
also erstmal vielen Dank für deine sehr gute und ausführliche Antwort.
Die Konvergenz hab ich denke ich mal verstanden. Das heißt also mit der Konvergenz zeige ich quasi gegen welchen wert eine Reihe strebt. Also etwas platt betrachtet ist das nichts anderes als der Grenzwert. oder????
die Kriterien die du zu der absoluten konvergenz genannt hast kann man doch meines wissens auch für die "normale" konvergenz anwenden oder??? mir is jetzt bloß noch nich ganz klar, wie ich das genau zeigen kann. Ich kann ja nicht einfach 100000 n's wählen und mit denen die partialsumme aufzeigen und so die konvergenz zeigen oder???
bitte versteh das jetzt nich falsch...ich will nicht das mir hier jemand meine aufgaben macht....aber kannst du mir das vielleicht mal an einem beispiel von den aufgaben von oben zeigen???
Bei der zweiten Aufgabe die a hab ich in der zwischenzeit schon gelöst. da kommt -8 raus....aber bei den anderen weiß ich nich so wirklich wie ich an die sache ran gehen soll durch das sinus und cosinus ....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:10 Sa 25.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Erstmal zur Reihenkonvergenz:
Man muss wissen, welche Reihen du schon als konvergent oder divergent kennst. Von vielen Reihen kann man zwar zeigen, dass sie konvergent sind, aber nicht den GW berechnen.
ueblicherweise kennt man als divergent
[mm] \summe_{i=1}^{n}1/i
[/mm]
als konvergent
[mm] \summe_{i=1}^{n}1/i^r [/mm] mit r>1
[mm] \summe_{i=1}^{n}q^n [/mm] fuer q<1
Mit diesen Reihen vergleicht man im Majoranten oder Minoranten verfahren.
[mm] \summe_{i=1}^{n}1/i [/mm] divergiert, also erst recht die groessere Summe [mm] \summe_{i=1}^{n}10^3*1/i
[/mm]
aber da [mm] \summe_{i=1}^{n}1/i [/mm] divergiert wuerde auch
[mm] \summe_{i=1}^{n}1/(10000*i) =1/10000*\summe_{i=1}^{n}1/i [/mm] divergieren, also jede Summe die sich um nen festen Faktor von ner div. Folge unterscheidet.
[mm] \summe_{i=1}^{n}1/(i^2+i+1) [/mm] konvergiert, weil jeder Summand
[mm] 1/(i^2+i+1)<1/i^2 [/mm] ist, man hat ne konv Majorante gefunden.
Ausserdem kann man noch zeigen, dass wenn [mm] a_{i+1}/a_i<1 [/mm] dann konvergiert die Reihe. den beweis dazu macht man meist im Unterricht.
Also so den Anfang ansehen,also die ersten paar 1000000 hilft fast nix, weil ja deren Summe immer endlich ist.
Soweit zu Reihen.
Gruss leduart
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Hallo!
> Die Konvergenz hab ich denke ich mal verstanden. Das heißt
> also mit der Konvergenz zeige ich quasi gegen welchen wert
> eine Reihe strebt. Also etwas platt betrachtet ist das
> nichts anderes als der Grenzwert. oder????
Ja, das ist so okay.
> Bei der zweiten Aufgabe die a hab ich in der zwischenzeit
> schon gelöst. da kommt -8 raus....aber bei den anderen weiß
> ich nich so wirklich wie ich an die sache ran gehen soll
> durch das sinus und cosinus ....
Bei a) ist der Wert -8 richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Bei b) geht es ja um
[mm] \limes_{x\rightarrow -\infty}\left(\bruch{\cos(x)}{x+\pi}\right)
[/mm]
Und als erstes setzt man ja bei einer Grenzwertuntersuchung immer erstmal den Grenzwert ein. Was passiert hier? Der Nenner wird [mm] -\infty, [/mm] das [mm] \pi [/mm] interessiert und da herzlich wenig. Der Zähler - das können wir nicht genau sagen, der schwankt zwischen -1 und 1, weil der Cosinus ja periodisch ist. Wenn wir aber offensichtlich sehen, dass der Zähler beschränkt ist, er nimmt höchstens den Wert 1 an, der Nenner hingegen aber gegen [mm] -\infty [/mm] geht, dann wird der ganze Bruch gegen .... konvergieren.
Zu c)
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\left(\bruch{6x-\sin(2x)}{2x+3*\sin(4x)}\right)
[/mm]
Hier würde ich dir den Satz von L'hospital wirklich ans Herz legen, wenn ihr den schon hattet. Der Satz sagt aus, dass wenn beim Einsetzen des Grenzwertes "0/0" oder " [mm] \infty [/mm] / [mm] \infty [/mm] " entsteht, man einfach Zähler und Nenner separat ableiten darf und den neuen Grenzwert von Zähler abgeleitet durch Nenner abgeleitet betrachten darf, mathematisch:
[mm] \limes_{x\rightarrow a}\bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] = [mm] \bruch{0}{0}\mbox{ oder }\bruch{\infty}{\infty} \Rightarrow \limes_{x\rightarrow a}\bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow a}\bruch{f'(x)}{g'(x)}.
[/mm]
Zu d)
Du näherst dich einmal von der rechten Seite des Zahlenstrahls der 3 (also praktisch setzt du 4, 3.8, 3.4, 3.2, 3.1, 3.0001 in den Limes ein) und einmal von der linken Seite des Zahlenstrahls.
Überlege, ob du die Funktion [mm] \bruch{|x-3|}{x-3}
[/mm]
für die rechtsseitige Näherung irgendwie vereinfach kannst (Beträge weg und dann kürzen).
Analoges für die linksseitige Näherung.
Viele Grüße, Stefan.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:20 So 26.04.2009 | | Autor: | scr3tchy |
erstmal einen guten morgen und vielen dank an euch beiden das ihr mir das so gut erklärt....
also um auf die konvergenz zurück zu kommen kenne ich bisher das majorantenkriterium, leibnizkriterium, cauchykriterium, wurzelkriterium, grenzwertkrieterium und das quotientenkriterium. schoneine ganze menge...das problem is das ich das wie gesagt noch nich so ganz verstanden hab wie das mit den kriterien funktioniert. die konvergenz an sich is jetzt denke ich nicht mehr das große problem....einige aufgaben hab ich auch schon gelöst aber einige bereiten mir halt noch schwirigkeiten.....
vielen dank nochmal für eure hilfe.....
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Hallo!
Am besten du schnappst dir jetzt mal eine Aufgabe von oben, nimmst leduarts Tipps und löst sie soweit wie du kommst und schreibst die Probleme, die du dabei hast, hier genau hin. Dann können wir dir viel zielgerichteter helfen. Denn leider offenbarte deine Frage gerade nicht, wo genau denn nun das Problem liegt.
Viele Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:07 So 26.04.2009 | | Autor: | scr3tchy |
| Aufgabe 1 | [mm] \summe_{n=1}^{10} \bruch{1}{n} [/mm] + [mm] \summe_{n=11}^{\infty} \bruch{1}{n!} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n!} [/mm]
da [mm] \bruch{1}{n} [/mm] divergiert divergiert auch auch oben die summe |
| Aufgabe 2 | | [mm] \summe_{n=0}^{\infty} 3^{-n}^{2} [/mm] ist divergent weil [mm] \summe_{i=1}^{n}q^n [/mm] für q < 1 |
| Aufgabe 3 | [mm] \summe_{n=1}^{\infty} n*(\bruch{1}{2})^{n}
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} n!*(\bruch{1}{2})^{n}
[/mm]
hier weiß ich gar nich wie ich da ran gehen soll |
hier sind die aufgaben bei denen ich momentan nich weiter komme....ich hab noch andere die ich jetzt erstmal noch weiter machen werde....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 So 26.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
> [mm]\summe_{n=1}^{10} \bruch{1}{n}[/mm] + [mm]\summe_{n=11}^{\infty} \bruch{1}{n!}[/mm]
> = [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n}[/mm] + [mm]\bruch{1}{n!}[/mm]
> da [mm]\bruch{1}{n}[/mm] divergiert divergiert auch auch oben die
> summe
Fuer ne abgegebene Uebung muss man das genauer aufschreiben.
1. wegen 1/n+1/n! >1/n ist
die [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n}[/mm] + [mm]\summe_{n=11}^{\infty} \bruch{1}{n!}<\summe_{n=1}^{\infty}[/mm]
das ist aber die harmonische Reihe, die als divergent bekannt ist, also div. auch die angegebene Reihe.
das waere richtig, wenn da wirklich stuende
[mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n}[/mm] aber deine Summe geht ja nur bis 10 und nicht bis unendlich. Jede Sendliche Summe hat aber einen endlichen Wert. also [mm]\summe_{n=1}^{10} \bruch{1}{n}[/mm]=a
damit hast du a+ [mm]\summe_{n=11}^{\infty} \bruch{1}{n!}[/mm]
jetzt musst du also die hintere Summe nur ansehen, sie konvergiert, das kannst du zeigen, indem du sie mit einer geeigneten Majorante vergleichst.
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} 3^{-n}^{2}[/mm] ist divergent weil
> [mm]\summe_{i=1}^{n}q^n[/mm] für q < 1
Deine Summe kann ich nicht genau interpretieren: ist das [mm] (3^{-n})^2 [/mm] oder [mm] 3^{-n^2}
[/mm]
im ersten Fall waere [mm] q=1/3^2=1/9<1 [/mm] also eine konvergente geom. Reihe, dann muss du aber auch dein q hinschreiben um zu zeigen, dass es <1 ist.im 2. Fall gilt [mm] 3^{-n^2}<3^{-n} [/mm] du hast wieder ne konvergente Majorante mit q=1/3
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} n*(\bruch{1}{2})^{n}[/mm]
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} n!*(\bruch{1}{2})^{n}[/mm]
>
> hier weiß ich gar nich wie ich da ran gehen soll
Hier verwende das Quotientenkriterium, um die Divergenz zu zeigen. Du kannst noch einfacher zeigen, dass die summanden keine Nullfolge bilden, betrachte mal [mm] n!/2^n [/mm] fuer n>3
Also 1. genauer arbeiten, Begruendung exakt. Auf die obere Grenze von Summen achten, bei Konvergenz zuerst untersuchen ob die Summanden das notwendige Kriterium erfuellen, dass sie ne Nullfolge bilden.
Kannst du noch dein Profil ausfuellen, Schule? Uni? Fachhochschule? dann koennen wir gezielter antworten. die Ansprueche an Beweise etwa sind auf der Schule niedriger als auf der Uni. Auch ob du etwa Mathe im Haupt oder Nebenfach machst ist wichtig.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 So 26.04.2009 | | Autor: | scr3tchy |
| Aufgabe 1 | [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{1}{2n+3}
[/mm]
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| Aufgabe 2 | | [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{1}{n^2+4n+5} [/mm] |
| Aufgabe 3 | | [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(\wurzel[]{n^2+1}-n) [/mm] |
hier sind noch einige aufgaben wo ich nich ganz weiter weiß....bei den aufgaben hab ich mir jeweils überlegt das die [mm] -1^n [/mm] ja quasi nur eine vorzeichenbestimmung ist.
b wird konverent sein. Jedoch muss ich zeigen ob sie konvergent bzw absolut konvergent sind....könnt ihr mir dabei nochmal helfen???
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Hallo scr3tchy,
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{1}{2n+3}[/mm]
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> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{1}{n^2+4n+5}[/mm]
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(\wurzel[]{n^2+1}-n)[/mm]
> hier sind noch einige aufgaben wo ich nich ganz weiter
> weiß....bei den aufgaben hab ich mir jeweils überlegt das
> die [mm]-1^n[/mm] ja quasi nur eine vorzeichenbestimmung ist.
> b wird konverent sein. Jedoch muss ich zeigen ob sie
> konvergent bzw absolut konvergent sind....könnt ihr mir
> dabei nochmal helfen???
Alle drei Reihen sind doch alternierende Reihen, da drängt sich das Leibnizkriterium doch förmlich auf.
Schlage nach, was das besagt und was du dazu prüfen musst.
Bei c) ist es vllt. hilfreich, wenn du mal zuerst mit [mm] $\sqrt{n^2+1}+n$ [/mm] erweiterst ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 So 26.04.2009 | | Autor: | scr3tchy |
okay danke für den tipp...bin jetzt grad dabei....aber wenn ich anhand des leibnizkriterium aufzeige das die folge konvergent ist...ist sie dann auch absolut kovergent`????
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Hallo nochmal,
> okay danke für den tipp...bin jetzt grad dabei....aber wenn
> ich anhand des leibnizkriterium aufzeige das die folge Reihe
> konvergent ist...ist sie dann auch absolut kovergent'????
Nein, das folgt aus dem LK nicht, wie du anhand der konvergenten alternierenenden harmonischen Reihe [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\cdot{}\frac{1}{n}$ [/mm] siehst.
Es ist [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^n\cdot{}\frac{1}{n}\right|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$, [/mm] also die harmonische Reihe, die bekanntlich divergent ist
Mögliche absolute Konvergenz musst du also separat untersuchen ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 So 26.04.2009 | | Autor: | scr3tchy |
magst mir auch erzählen wie ich das machen kann????
gerade das ist ja in der einen aufgabe gefordert....
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Hallo,
die Konvergenz aller 3 Reihen konntest du zeigen?
Gut, wie sieht's mit der ersten aus bzgl. absoluter Konvergenz?
[mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left|(-1)^n\cdot{}\frac{1}{2n+3}\right|=\sum\limity_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2n+3}$
[/mm]
Und die sieht doch schon fast aus wie eine Variante der harmonischen Reihe, wir suchen also mit einer harmonischen Reihe eine divergente Minorante zu dieser Reihe, also eine kleinere Reihe, die divergiert.
Dann bleibt deiner größeren Reihe nichts anderes übrig als auch zu divergieren.
Zum Verkleinern können wir den Zähler verkleinern oder den Nenner vergrößern.
Letzteres erscheint sinnvoll: Für [mm] $n\ge [/mm] 3$ ist [mm] $\frac{1}{2n+3}\ge\frac{1}{3n}$
[/mm]
Also haben wir: [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2n+3}= \sum\limits_{n=0}^{2}\frac{1}{2n+3}+ \sum\limits_{n=3}^{\infty}\frac{1}{2n+3}\ge \sum\limits_{n=0}^{2}\frac{1}{2n+3}+ \sum\limits_{n=3}^{\infty}\frac{1}{3n}=\underbrace{\sum\limits_{n=0}^{2}\frac{1}{2n+3}}_{\text{endlicher Wert}}+\underbrace{\frac{1}{3}\cdot{}\sum\limits_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n}}_{\text{unendlicher Wert}}=\infty$
[/mm]
Die Reihe in b) wird absolut konvergent sein, die in c) nicht.
Untersuche das mal auf ähnliche Weise ...
Bedenke für die Suche nach einer Majorante oder Minorante, dass die Reihen [mm] $\sum\limits_n\frac{1}{n^s}$ [/mm] für [mm] $s\le1$ [/mm] divergent und für $s>1$ konvergent sind ...
LG
schachuzipus
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