Grenzwert v. Folge m. Wurzeln < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 So 16.11.2008 | | Autor: | Conker |
| Aufgabe | Zu berechnen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (2\wurzel{n² + 5n} [/mm] + [mm] \wurzel{16n² - 24n + 61} [/mm] - [mm] \wurzel{36n² +3} [/mm] ) |
Einsetzen großer Werte für n ergibt 2.
Aber wie komme ich darauf?
Ich habe schon ein bisschen hin und hergerechnet und dabei einige Brüche geschaffen, die offensichtlich gegen bestimmte Zahlen gehen. Andere dagegen divergieren (wenn ich große Zahlen für n einsetze stellt sich heraus, dass sie gegen x [mm] \pm [/mm] eine bestimmte Zahl streben. Aber wie kann ich das zeigen?
z.B. der erste Term: Nach Umformung ergibt sich:
[mm] 2\wurzel{n^2 + 5n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{\bruch{1}{4n^2} + \bruch{5}{4n^3}}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{\bruch{1}{100} + \bruch{1}{20n}}}
[/mm]
Offensichtlich geht der zweite Term gegen 10. Der linke sollte n - 5 gehen. Wie kriege ich das gezeigt? Oder gibt es eine andere Möglichkeit?
Danke für die Hilfe schonmal.
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Hallo Conker,
> Zu berechnen:
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (2\wurzel{n² + 5n}[/mm] +
> [mm]\wurzel{16n² - 24n + 61}[/mm] - [mm]\wurzel{36n² +3}[/mm] )
> Einsetzen großer Werte für n ergibt 2.
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> Aber wie komme ich darauf?
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> Ich habe schon ein bisschen hin und hergerechnet und dabei
> einige Brüche geschaffen, die offensichtlich gegen
> bestimmte Zahlen gehen. Andere dagegen divergieren (wenn
> ich große Zahlen für n einsetze stellt sich heraus, dass
> sie gegen x [mm]\pm[/mm] eine bestimmte Zahl streben. Aber wie kann
> ich das zeigen?
>
> z.B. der erste Term: Nach Umformung ergibt sich:
>
> [mm]2\wurzel{n^2 + 5n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{\bruch{1}{4n^2} + \bruch{5}{4n^3}}}[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{\wurzel{\bruch{1}{100} + \bruch{1}{20n}}}[/mm]
>
> Offensichtlich geht der zweite Term gegen 10. Der linke
> sollte n - 5 gehen. Wie kriege ich das gezeigt? Oder gibt
> es eine andere Möglichkeit?
Das ist doch immer der selbe Trick:
Ich definiere
[mm]a\left(n\right):=\wurzel{n^{2}+5n}[/mm]
[mm]b\left(n\right):=\wurzel{16n^{2}-24n+61}[/mm]
[mm]c\left(n\right):=\wurzel{36n^{2}+3}[/mm]
Dann steht da:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}{2a\left(n\right)+b\left(n\right)-c\left(n\right)}[/mm]
[mm]\gdw \limes_{n\rightarrow\infty}{\left(2a\left(n\right)+b\left(n\right)-c\left(n\right)\right)*\bruch{\left(2a\left(n\right)+b\left(n\right)+c\left(n\right)\right)}{\left(2a\left(n\right)+b\left(n\right)+c\left(n\right)\right)}}[/mm]
[mm]\gdw \limes_{n \rightarrow \infty}{\bruch{4*a^{2}\left(n\right)+b^{2}\left\n\right)-c^{2}\left(n\right)+4*a\left(n\right)*b\left(n\right)}{\left(2a\left(n\right)+b\left(n\right)+c\left(n\right)\right)}}[/mm]
Jetzt stellt der Ausdruck [mm]4*a\left(n\right)*b\left(n\right)[/mm] wiederum eine Wurzel dar, die es gilt zu eliminieren.
Überlege jetzt, was getan werden muß, um im Nenner die 3. binomische Formel anwenden zu können.
>
> Danke für die Hilfe schonmal.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Conker |
Hm, also irgendwie komme ich leider immer noch nicht so recht weiter.
Was nützen mir diese Umformungen? Ich weiß nicht, wie ich das 4ab da wegbekommen soll.
Ich sehe auch nicht, wie ich im Nenner die dritte binomische Formel anwenden könnte, ohne dabei wieder auf den Ausgangsausdruck zurückzukommen.
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Hallo Conker,
> Hm, also irgendwie komme ich leider immer noch nicht so
> recht weiter.
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> Was nützen mir diese Umformungen? Ich weiß nicht, wie ich
> das 4ab da wegbekommen soll.
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> Ich sehe auch nicht, wie ich im Nenner die dritte
> binomische Formel anwenden könnte, ohne dabei wieder auf
> den Ausgangsausdruck zurückzukommen.
Wir haben also
[mm]\limes_{n \rightarrow \infty}{\bruch{4\cdot{}a^{2}\left(n\right)+b^{2}\left(n\right)-c^{2}\left(n\right)+4\cdot{}a\left(n\right)\cdot{}b\left(n\right)}{\left(2a\left(n\right)+b\left(n\right)+c\left(n\right)\right)}} [/mm]
Um die dritte binomische Formel anwenden zu können, schreiben wir obiges etwas um:
[mm]\limes_{n \rightarrow \infty}{\bruch{4\cdot{}a^{2}\left(n\right)+b^{2}\left(n\right)-c^{2}\left(n\right)+4\cdot{}a\left(n\right)\cdot{}b\left(n\right)}{\left(2a\left(n\right)+b\left(n\right)+c\left(n\right)\right)}} [/mm]
[mm]=-\limes_{n \rightarrow \infty}{\bruch{-\left(4\cdot{}a^{2}\left(n\right)+b^{2}\left(n\right)-c^{2}\left(n\right)\right)-4\cdot{}a\left(n\right)\cdot{}b\left(n\right)}{\left(2a\left(n\right)+b\left(n\right)+c\left(n\right)\right)}} [/mm]
Ziel ist es ja den Wurzelausdruck [mm]4*a\left(n\right)*b\left(n\right)[/mm] im Zähler verschwinden zu lassen.
Dazu erweitern wir den Bruch:
[mm]=-\limes_{n \rightarrow \infty}{\bruch{-\left(4\cdot{}a^{2}\left(n\right)+b^{2}\left(n\right)-c^{2}\left(n\right)\right)-4\cdot{}a\left(n\right)\cdot{}b\left(n\right)}{\left(2a\left(n\right)+b\left(n\right)+c\left(n\right)\right)}} *\bruch{-\left(4\cdot{}a^{2}\left(n\right)+b^{2}\left(n\right)-c^{2}\left(n\right)\right)+4\cdot{}a\left(n\right)\cdot{}b\left(n\right)}{-\left(4\cdot{}a^{2}\left(n\right)+b^{2}\left(n\right)-c^{2}\left(n\right)\right)+4\cdot{}a\left(n\right)\cdot{}b\left(n\right)}[/mm]
Dann steht da:
[mm]=-\limes_{n \rightarrow \infty}{\bruch{\left(4\cdot{}a^{2}\left(n\right)+b^{2}\left(n\right)-c^{2}\left(n\right)\right)^{2}-\left(4\cdot{}a\left(n\right)\cdot{}b\left(n\right)\right)^{2}}{\left(2a\left(n\right)+b\left(n\right)+c\left(n\right)\right)*\left(-\left(4\cdot{}a^{2}\left(n\right)+b^{2}\left(n\right)-c^{2}\left(n\right)\right)+4\cdot{}a\left(n\right)\cdot{}b\left(n\right)\right)}} [/mm]
Davon kann nun der Grenzwert für [mm]n\to \infty[/mm] leichter bestimmt werden.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Conker |
Ach ja? O.o
Tut mir wirklich leid, aber wenn ich auf diesen Audruck blicke, durchschaue ich deine Taktik noch weniger: Oben kann ich zwar alles wieder nach n auflösen (dann steht im Zähler ein Polynom dritten Gerades mit Koeffizienten bis 4.000).
Und was mache ich mit dem Nenner? Da stehen immer noch einige Wurzeln.
Außerdem hast du im vorletzten Post gesagt, ich solle im Nenner die dritte Binomische Formel anwenden. Du hast Sie jetzt für den Zähler angewendet. War das ein Tippfehler oder muss ich das jetzt immer noch machen?
Ich sehe überhaupt nicht, was mir das alles bringt, was wir hier gerade gemacht haben.
...hm...
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Hallo Conker,
> Ach ja? O.o
>
> Tut mir wirklich leid, aber wenn ich auf diesen Audruck
> blicke, durchschaue ich deine Taktik noch weniger: Oben
> kann ich zwar alles wieder nach n auflösen (dann steht im
> Zähler ein Polynom dritten Gerades mit Koeffizienten bis
> 4.000).
>
> Und was mache ich mit dem Nenner? Da stehen immer noch
> einige Wurzeln.
Aus den Wurzeln kannst Du aber auch was ausklammern.
>
> Außerdem hast du im vorletzten Post gesagt, ich solle im
> Nenner die dritte Binomische Formel anwenden. Du hast Sie
> jetzt für den Zähler angewendet. War das ein Tippfehler
> oder muss ich das jetzt immer noch machen?
Das war ein Tippfehler, gemeint war natürlich der Zähler.
>
> Ich sehe überhaupt nicht, was mir das alles bringt, was wir
> hier gerade gemacht haben.
Ich habe das schon erwähnt, damit der Grenzwert einfacher berechnet werden kann.
Aus Zähler und Nenner kannst Du dann [mm]n^{3}[/mm] ausklammern und den Grenzübergang für [mm]n \to \infty [/mm] vollziehen.
>
> ...hm...
Gruss
MathePower
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