www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Folgen und Reihen" - Grenzwert von Folge bestimmen
Grenzwert von Folge bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Grenzwert von Folge bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:57 Di 26.01.2010
Autor: davidone

Aufgabe
Die Aufgabe bezieht sich auf ein Beispiel aus der Mathe-Vorlesung:
Dabei wurde für ein Beispiel als Nebenrechnung postuliert, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2(1+\bruch{1}{n})-2}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}-1}=4 mit n \in N[/mm]
Allerdings ist mir der Weg dahin völig schleierhaft...

(Mein erster Post; ich hoffe das ist das richtige Subforum und ich habe auch den Rest richtig gemacht.)

Ich habe schon versucht selber drauf zu kommen, allerdings klappts überhaupt nicht:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2(1+\bruch{1}{n})-2}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}-1}= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2+\bruch{2}{n}-2}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}-1}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{2}{n}}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}-1} [/mm]

Aber was mache ich mit der Wurzel? Ich weiß, dass sie mit zunehmendem n immer näher an 1 herankommt, aber dann würde ich ja 0 im Nenner bekommen und das ist ja nicht definiert. Man könnte ja auch mit dem Kehrwert multiplizieren, aber das kriegt die Wurzel ja auch nicht weg.

Meine Frage ist jetzt, wo ich da genau den Knoten im Hirn habe und ich wäre sehr verbunden, wenn mir dabei jemand auf die Sprünge helfen könnte.

Mit freundlichen Grüßen
davidone

PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Ich zähle auf eure geballte Kompetenz :)

        
Bezug
Grenzwert von Folge bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:12 Di 26.01.2010
Autor: schachuzipus

Hallo davidone,

> Die Aufgabe bezieht sich auf ein Beispiel aus der
> Mathe-Vorlesung:
>  Dabei wurde für ein Beispiel als Nebenrechnung
> postuliert, dass
>  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2(1+\bruch{1}{n})-2}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}-1}=4 mit n \in N[/mm]
>  
> Allerdings ist mir der Weg dahin völig schleierhaft...
>  (Mein erster Post;

Na dann erstmal herzlich [willkommenmr]

> ich hoffe das ist das richtige Subforum
> und ich habe auch den Rest richtig gemacht.)

Jo, passt schon

>  
> Ich habe schon versucht selber drauf zu kommen, allerdings
> klappts überhaupt nicht:
>  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2(1+\bruch{1}{n})-2}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}-1}= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2+\bruch{2}{n}-2}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}-1}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{2}{n}}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}-1}[/mm]
>  
> Aber was mache ich mit der Wurzel? Ich weiß, dass sie mit
> zunehmendem n immer näher an 1 herankommt, aber dann
> würde ich ja 0 im Nenner bekommen und das ist ja nicht
> definiert. Man könnte ja auch mit dem Kehrwert
> multiplizieren, aber das kriegt die Wurzel ja auch nicht
> weg.
>  
> Meine Frage ist jetzt, wo ich da genau den Knoten im Hirn
> habe und ich wäre sehr verbunden, wenn mir dabei jemand
> auf die Sprünge helfen könnte.

Es gibt bei Summen und Differenzen von Wurzeltermen einen "Trick", den es sich lohnt zu merken.

Erweitere so, dass du die 3.binomische Formel bekommst.

So wirst du die Wurzeln los.

Hier erweitere also mit [mm] $\sqrt{1+\frac{1}{n}}\red{+}1$ [/mm]

Das gibt dir nach deinem ersten Zusammenfassen im Zähler:

[mm] $\frac{\frac{2}{n}\cdot{}\left[\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1\right]}{\left[\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1\right]\cdot{}\left[\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1\right]} [/mm] \ = \ [mm] \frac{\frac{2}{n}\cdot{}\left[\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1\right]}{\left[\sqrt{1+\frac{1}{n}}\right]^2-1^2} [/mm] \ \ $ dritte binom. Formel im Nenner

Nun kannst du's weiter bis zum Schluss, oder? ...

>  
> Mit freundlichen Grüßen
>  davidone
>  
> PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt. Ich zähle auf eure geballte
> Kompetenz :)

;-)

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Grenzwert von Folge bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:04 Mi 27.01.2010
Autor: davidone

Vielen Dank erstmal. Das hat mich ein ganzes Stück weiter gebracht.
Allerdings denke ich, dass ich jetzt am letzten Schritt hänge.
(Ich knüpfe mal an deine Formeln an, dann muss ich die nicht nochmal tippen...)

[mm] [...] = \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{2}{n}\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+\bruch{2}{n}}{1+\bruch{1}{n}-1}= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{2}{n}\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+\bruch{2}{n}}{\bruch{1}{n}}=\limes_{n\rightarrow\infty}2\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+\bruch{2}{n}=\limes_{n\rightarrow\infty}2*\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{1+\bruch{1}{n}}*\limes_{n\rightarrow\infty}2*\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n} [/mm]

Wenn jetzt 4 rauskommen würden, wärs richtig :)
Allerdings streben die ja so mit n nach unendlich:
[mm]2 * 1 + 2 * 0 [[/mm]
Oder seh ich das falsch.

Kannst du mir da nochmal zur Seite stehen und mich auf meinen Fehler hinweisen (ich geh mal davon aus, dass einer drin ist).

MfG
davidone

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert von Folge bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:43 Mi 27.01.2010
Autor: qsxqsx

Du hast einen "ungewollten" Fehler beim Erweitern mit n gemacht...

Gruss

Bezug
                                
Bezug
Grenzwert von Folge bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:22 Mi 27.01.2010
Autor: davidone

Ich kann dir da leider nicht folgen.

Wo genau ist denn der Fehler bzw wo hab ich mit n erweitert? Ich hab nochmal alle nachgerechnet, aber ich finde ihn nicht.

Könntest du mir vielleicht die genaue Stelle "zeigen"?

Mittlerweile Steh ich mit Mathe echt auf dem Krigsfuß :(

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert von Folge bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:36 Mi 27.01.2010
Autor: fencheltee


> Ich kann dir da leider nicht folgen.
>  
> Wo genau ist denn der Fehler bzw wo hab ich mit n
> erweitert? Ich hab nochmal alle nachgerechnet, aber ich
> finde ihn nicht.
>  
> Könntest du mir vielleicht die genaue Stelle "zeigen"?
>  
> Mittlerweile Steh ich mit Mathe echt auf dem Krigsfuß :(

habe mir nur deine letzten gleichungen angeschaut, beim erweitern denk ich aber nix gefunden, jedoch hier:
$ [...] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{2}{n}\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+\bruch{2}{n}}{1+\bruch{1}{n}-1}= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{2}{n}\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+\bruch{2}{n}}{\bruch{1}{n}}=\limes_{n\rightarrow\infty}2\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+\bruch{2}{n}=\limes_{n\rightarrow\infty}2\cdot{}\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{1+\bruch{1}{n}}\cdot{}\limes_{n\rightarrow\infty}2\cdot{}\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n} [/mm] $
in der 2. gleichung von links ist noch alles in butter, eine weiter rechts hast du ja in zähler und nenner 1/n ausgeklammert und gekürzt, so dass ja im nenner nun eine 1 stehen würde, im zähler jedoch [mm] 2\sqrt{1+1/n}+2 [/mm]
und da kommt direkt 4 raus

gruß tee

Bezug
                                                
Bezug
Grenzwert von Folge bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:44 Mi 27.01.2010
Autor: davidone

Oh, Vielen Dank.
Das man da 1/n ausklammern kann ist mir völlig entgangen. Ich dachte ich kann vorne kürzen, aber hinten nicht, weils ja eine Summe ist...
Jetzt hab ich es verstanden.
Danke nochmal.

Kurze andere Frage noch:
Das zur 3. binom. Formel erweitern ist ja ein ziemlich ausgefuchster Trick. Gibts noch andere Tricks bei Grenzwertbestimmungen, die man sich merken sollte?
Also ich kenne noch [mm] n^2 [/mm] ausklammern, damit man [mm] 1/n^2 [/mm] kriegt, aber sonst ist das bei mir immer eine Würgerei...

Ich danke nochmal für die Lösung des Problems.
Ciao
davidone

Bezug
                                                        
Bezug
Grenzwert von Folge bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:51 Mi 27.01.2010
Autor: fencheltee


> Oh, Vielen Dank.
>  Das man da 1/n ausklammern kann ist mir völlig entgangen.
> Ich dachte ich kann vorne kürzen, aber hinten nicht, weils
> ja eine Summe ist...

grad WEIL der zähler aus der summe besteht, musst du beide summanden kürzen!
[mm] \frac{10+20}{5}=\frac{5*(2+4)}{5}=2+4 [/mm]

>  Jetzt hab ich es verstanden.
>  Danke nochmal.
>  
> Kurze andere Frage noch:
>  Das zur 3. binom. Formel erweitern ist ja ein ziemlich
> ausgefuchster Trick. Gibts noch andere Tricks bei
> Grenzwertbestimmungen, die man sich merken sollte?
>  Also ich kenne noch [mm]n^2[/mm] ausklammern, damit man [mm]1/n^2[/mm]

na da gehts wohl eher allgemein ums ausklammern der höchsten potenz, um die wegzukürzen (wohlgemerkt bei grenzwerten gen unendlich; bei x gegen 0 wärs ja nicht so prickeln, ne 0 in nem nenner zu haben)

> kriegt, aber sonst ist das bei mir immer eine Würgerei...

mh auf anhieb wüsst ich keine, aber wie man ne frage auf "teilweise beantwortet" stellt, weiss ich leider auch nicht, damit andere sich dazu noch äussern können

>  
> Ich danke nochmal für die Lösung des Problems.
>  Ciao
>  davidone

gruß tee

Bezug
                                                
Bezug
Grenzwert von Folge bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:43 Mi 27.01.2010
Autor: qsxqsx

Das hab ich ja gemeint! Auf beiden Seiten (oben und unten) mit n multiplizieren, das nennt man doch erweitern, oder ?

Bezug
                                                        
Bezug
Grenzwert von Folge bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:47 Mi 27.01.2010
Autor: fencheltee


> Das hab ich ja gemeint! Auf beiden Seiten (oben und unten)
> mit n multiplizieren, das nennt man doch erweitern, oder ?

achso, das meintest du.. ja kann man erweitern mit n nennen, (oder wie ich dachte: ausklammern von 1/n)
hatte es so aufgefasst, als wäre ein fehler beim erweitern über die 3. binomische formel passiert :-)

gruß tee

Bezug
                                                                
Bezug
Grenzwert von Folge bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:58 Mi 27.01.2010
Autor: qsxqsx

Ich war mir fast wirklich nicht mehr sicher was denn Erweitern ist...ist schon so lange her, wo ich noch wissen musste wie man das nennt...
...is ja egal, Hauptsache es stimmt.

Ich hab noch nie fencheltee getrunken!

Gruss Christian

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de