Grenzwert von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:06 Di 01.12.2009 | | Autor: | kolmi |
| Aufgabe | Berechnen sie bei den nachstehenden Folgen die Grenzwerte [mm] a [/mm] und bestimmen sie ein [mm] N=N(\varepsilon) [/mm] derart, dass [mm] |a_n -a| < \varepsilon [/mm] für alle [mm] n > N(\varepsilon) [/mm] gilt:
[mm] a) [/mm] [mm] a_n= \bruch {sin n + cos^3 n} {\wurzel n} [/mm]
[mm] b) [/mm] [mm] a_n=\left( 1 + \bruch {1} {n} \right) ^{10} [/mm]
[mm] c) [/mm] [mm] a_n= \bruch{n-1} {n+1} [/mm] |
1. was beteutet [mm] n>N(\varepsilon) [/mm] genau?
2. kann mir jemmand villeicht eine der drei Teilaufgaben Schritt für Schritt vorrechnen, habe nämlich echt keinen Plan wie man da ran geht
Vielen Dank im voraus
Gruß Simon
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Berechnen sie bei den nachstehenden Folgen die Grenzwerte [mm]a[/mm]
> und bestimmen sie ein [mm]N=N(\varepsilon)[/mm] derart, dass [mm]|a_n -a| < \varepsilon[/mm]
> für alle [mm]n > N(\varepsilon)[/mm] gilt:
> [mm]a)[/mm] [mm]a_n= \bruch {sin n + cos^3 n} {\wurzel n}[/mm]
>
> [mm]b)[/mm] [mm]a_n=\left( 1 + \bruch {1} {n} \right) ^{10}[/mm]
>
> [mm]c)[/mm] [mm]a_n= \bruch{n-1} {n+1}[/mm]
Hallo,
sicher weißt Du, daß der gesuchte Grenzwert der Wert ist, dem sich die Folge annähert, wenn n sehr groß wird.
Kannst Du denn mal in einer Kombination aus Intuition, Lebenserfahrung, Rechenkunst und Rateglück feststellen, welches jeweils der Grenzwert ist?
damit hätte man nämlich die Behauptung, die man dann zu beweisen versuchen kann.
> 1. was beteutet
> [mm]n>N(\varepsilon)[/mm] genau?
Schau Dir mal im Skript die Definition für "Grenzwert" an.
Da steht: a heißt Grenzwert der Folge [mm] (a_n) [/mm] genau dann, wenn dies gilt:
zu jedem beliebigen (damit auch: beliebig kleinen) positiven [mm] \varepsilon [/mm] findet man einen passenden Schwellenwert N, ab welchem alle darauffolgenden Folgenglieder (also die [mm] a_n [/mm] mit n>N) dichter als [mm] \varepsilon [/mm] an dem Wert a dranliegen [mm] (|a_n-a|<\varepsilon [/mm] für alle n mit n>N).
[mm] N(\varepsilon) [/mm] soll uns sagen, daß dieser Schwellenwert N abhängig ist von dem vorher gewählten [mm] \varepsilon.
[/mm]
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> 2. kann mir jemmand villeicht eine der drei Teilaufgaben
> Schritt für Schritt vorrechnen, habe nämlich echt
> keinen Plan wie man da ran geht
[mm] a_n= \bruch{sin n + cos^3 n}{\wurzel n}
[/mm]
Erstmal muß ich einen Grenzwert erraten:
die Beträge von sin und cos sind niemals größer als 1, also kann man im Zähler allerhöchstens 2 haben. [mm] \wurzel{n} [/mm] wird unendlich groß, wenn n unendlich groß wird.
Also lautet mein Verdacht: der Grenzwert ist a=0.
Beweis:
Sei [mm] \varepsilon>0. [/mm] Setze [mm] N(\varepsilon):= [/mm] ... (das lasse ich erstmal offen, weil ich noch überlegen muß.)
Für alle [mm] n>N(\varepsilon) [/mm] gilt
[mm] |a_n-a|=| \bruch{sin n + cos^3 n}{\wurzel n}-0|
[/mm]
=| [mm] \bruch{sin n + cos^3 n}{\wurzel n}|
[/mm]
[mm] =\bruch{|sin n + cos^3 n|}{|\wurzel n|}
[/mm]
[mm] =\bruch{|sin n + cos^3 n|}{\wurzel n}
[/mm]
[mm] <\bruch{2}{\wurzel n} <\bruch{2}{\wurzel{N}} [/mm] < ---
Jetzt überlege ich, wie ich mein N hätte wählen müssen, damit [mm] \bruch [/mm] {2} [mm] {\wurzel{N}} <\varepsilon [/mm] ist.
Ergebnis: [mm] N>(\bruch{2}{varepsilon})^2. [/mm] Die würde ich jetzt ganz oben eintragen, und nun die Ungleichungskette fortführen:
[mm] ....<\bruch{2}{\wurzel{N}} [/mm] < [mm] \bruch{2}{\wurzel{(\bruch{2}{varepsilon})^2}}=\varepsilon.
[/mm]
Gruß v. Angela
P.S.: Vielleicht kannst Du in Deinem Profil mal Dein Studienfach in der korrekten Rechtschreibung eintragen. So wirkt's etwas seltsam.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:23 Mi 02.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> P.S.: Vielleicht kannst Du in Deinem Profil mal Dein
> Studienfach in der korrekten Rechtschreibung eintragen. So
> wirkt's etwas seltsam.
Hallo Angela,
wo hast Du Probleme ? Simon baut eine, aber auch nur eine, Maschiene
FRED
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> Simon baut eine, aber auch nur eine,
> Maschiene
Achso!
Das ist wohl so 'nen neuer kurzer Bachelor-Studiengang.
Ich leb' ja im Wald und sehe außer meinen Kochtöpfen und vielen Bäumen sonst wenig: was ist denn das für eine Schiene, für welche man ein (wenn auch kurzes) Studium absolvieren muß?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:38 Mi 02.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Vielleicht das
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Fred
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