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| Aufgabe | Sei f : [0,1] [mm] \to \IR [/mm] eine stetige Funktion. Zeigen Sie:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1}{f(x^{k}) dx} [/mm] = $f(0)$ |
Hallo Leute,
ich bin bisher wie folgt vorgegangen:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1}{f(x^{k}) dx} [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}f(\gamma^{k}) \integral_{0}^{1}{dx} [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}f(\gamma^{k}) [/mm] = [mm] f(\limes_{k\rightarrow\infty}\gamma^{k}) [/mm] = [mm] \begin{cases} f(0), & \mbox{für } \gamma \mbox{ aus [0,1)} \\ f(1), & \mbox{für } \gamma=1 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Im ersten Schritt habe ich dabei den Mittelwertsatz der Integralrechnung benutzt (mit [mm] \gamma \in [/mm] [0,1] geeignet), was möglich ist, da f stetig.
Ebenso darf ich aufgrund der Stetigkeit den Limes ins Argument der Funktion reinziehen.
Störend ist jetzt allerdings, dass auch f(1) als Ergebnis vorkommen kann, wenn [mm] \gamma [/mm] = 1 gilt. Meine Idee war jetzt, die Funktion f auf x=1 so abzuändern, dass dieses Problem umgangen werden kann, da ja Abänderungen auf Lebesguen Nullmengen keinen Einfluss auf den Wert des Integrals haben.
Ich habe dazu f zur Funktion [mm] \overline{f} [/mm] wie folgt abgeändert:
f(x) = [mm] \overline{f(x)} [/mm] für x [mm] \in [/mm] [0,1)
f(1) = [mm] \overline{f(0)}
[/mm]
Es gilt dann [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{\overline{f(x)} dx}.
[/mm]
Allerdings muss [mm] \overline{f} [/mm] ja dann nicht mehr stetig sein, was ein Problem ist, da ich die Stetigkeit dringend für die obige Rechnung brauche.
Bin ich auf dem falschen Weg oder habe ich hier nur eine Kleinigkeit übersehen? Wäre nett, wenn mir hier jemand helfen könnte.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:20 Di 22.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei f : [0,1] [mm]\to \IR[/mm] eine stetige Funktion. Zeigen Sie:
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1}{f(x^{k}) dx}[/mm]
> = [mm]f(0)[/mm]
> Hallo Leute,
>
> ich bin bisher wie folgt vorgegangen:
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1}{f(x^{k}) dx}[/mm]
> = [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}f(\gamma^{k}) \integral_{0}^{1}{dx}[/mm]
> = [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}f(\gamma^{k})[/mm] =
> [mm]f(\limes_{k\rightarrow\infty}\gamma^{k})[/mm] = [mm]\begin{cases} f(0), & \mbox{für } \gamma \mbox{ aus [0,1)} \\ f(1), & \mbox{für } \gamma=1 \mbox{} \end{cases}[/mm]
Das kannst Du so nicht machen. Nach dem MWS gibt es zu jedem k [mm] \in \IN [/mm] ein [mm] \gamma_k \in [/mm] [0,1] mit:
[mm] \integral_{0}^{1}{f(x^k) dx}= f(\gamma_k)
[/mm]
Dass aber mit einem festen [mm] \gamma \in [/mm] [0,1]
[mm] \gamma_k=\gamma^k
[/mm]
für jedes k gilt, kann Dir niemand garantieren.
Auf die schnelle fällt mir ein: probiers mal mit dem Konvergenzsatz von Lebesgue.
FRED
>
> Im ersten Schritt habe ich dabei den Mittelwertsatz der
> Integralrechnung benutzt (mit [mm]\gamma \in[/mm] [0,1] geeignet),
> was möglich ist, da f stetig.
> Ebenso darf ich aufgrund der Stetigkeit den Limes ins
> Argument der Funktion reinziehen.
>
> Störend ist jetzt allerdings, dass auch f(1) als Ergebnis
> vorkommen kann, wenn [mm]\gamma[/mm] = 1 gilt. Meine Idee war jetzt,
> die Funktion f auf x=1 so abzuändern, dass dieses Problem
> umgangen werden kann, da ja Abänderungen auf Lebesguen
> Nullmengen keinen Einfluss auf den Wert des Integrals
> haben.
>
> Ich habe dazu f zur Funktion [mm]\overline{f}[/mm] wie folgt
> abgeändert:
>
> f(x) = [mm]\overline{f(x)}[/mm] für x [mm]\in[/mm] [0,1)
> f(1) = [mm]\overline{f(0)}[/mm]
>
> Es gilt dann [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{1}{\overline{f(x)} dx}.[/mm]
> Allerdings muss
> [mm]\overline{f}[/mm] ja dann nicht mehr stetig sein, was ein
> Problem ist, da ich die Stetigkeit dringend für die obige
> Rechnung brauche.
>
> Bin ich auf dem falschen Weg oder habe ich hier nur eine
> Kleinigkeit übersehen? Wäre nett, wenn mir hier jemand
> helfen könnte.
>
> Liebe Grüße
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Hallo Fred,
da hast du natürlich Recht, hab das vollkommen außer Acht gelassen.
Ich werde dann mal einen neuen Versuch mit deinem Hinweis starten.
Vielen Dank!
Liebe Grüße
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