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Grenzwert von Summe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:23 Fr 23.03.2018
Autor: Jellal

Guten Abend,

ich bin mir bei dieser Grenzwertbetrachtung nicht ganz sicher, ob das theoretisch 100% richtig ist.

[mm] \limes_{\lambda\rightarrow 0}(-n*log(\lambda)-a-\bruch{1}{\lambda}*b) [/mm] mit a,b,n reelle Zahlen ungleich 0.

Der erste Summand divergiert nun gegen [mm] +\infty, [/mm] der dritte Summand gegen [mm] -\infty. [/mm] Daher kann nicht gleich gesehen werden, ob und wohin die komplette Summe divergiert.

Deswegen schreibe ich um:
[mm] \limes_{\lambda\rightarrow 0}(-n \bruch{log(\lambda)}{\bruch{1}{\lambda}}-\lambda*a-b) [/mm]

Der zweite Term geht gegen 0, also bleibt

...=-n * [mm] \limes_{\lambda\rightarrow 0}\bruch{log(\lambda)}{\bruch{1}{\lambda}} [/mm] -b

Das ist ein Term der Art [mm] \bruch{-\infty}{\infty}. [/mm]
Frage: Darf man hier l'hospital anwenden? Auf Wikipedia stehen nur die Fälle 0/0 oder [mm] \infty/\infty. [/mm]

Mit l'hospital würde folgen:
[mm] ...=-n*\limes_{\lambda\rightarrow 0}\bruch{\bruch{1}{\lambda}}{\bruch{1}{\lambda^{2}}} [/mm] -b= [mm] -n*\limes_{\lambda\rightarrow 0}\lambda [/mm] -b=-b.

Stimmt das so?

Gruß Jellal

        
Bezug
Grenzwert von Summe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:36 Fr 23.03.2018
Autor: fred97


> Guten Abend,
>  
> ich bin mir bei dieser Grenzwertbetrachtung nicht ganz
> sicher, ob das theoretisch 100% richtig ist.
>  
> [mm]\limes_{\lambda\rightarrow 0}(-n*log(\lambda)-a-\bruch{1}{\lambda}*b)[/mm]
> mit a,b,n reelle Zahlen ungleich 0.
>  
> Der erste Summand divergiert nun gegen [mm]+\infty,[/mm] der dritte
> Summand gegen [mm]-\infty.[/mm] Daher kann nicht gleich gesehen
> werden, ob und wohin die komplette Summe divergiert.
>  
> Deswegen schreibe ich um:
>  [mm]\limes_{\lambda\rightarrow 0}(-n \bruch{log(\lambda)}{\bruch{1}{\lambda}}-\lambda*a-b)[/mm]


Du hast den obigen Ausdruck nicht umgeformt, sondern mit [mm] \lambda [/mm] multipliziert !

Setze x= 1/ [mm] \lambda, [/mm] nenne den resultierenden Ausdruck f(x) und betrachte [mm] e^{f(x)} [/mm]  für x [mm] \to \infty [/mm]


>  
> Der zweite Term geht gegen 0, also bleibt
>  
> ...=-n * [mm]\limes_{\lambda\rightarrow 0}\bruch{log(\lambda)}{\bruch{1}{\lambda}}[/mm]
> -b
>  
> Das ist ein Term der Art [mm]\bruch{-\infty}{\infty}.[/mm]
>  Frage: Darf man hier l'hospital anwenden? Auf Wikipedia
> stehen nur die Fälle 0/0 oder [mm]\infty/\infty.[/mm]
>  
> Mit l'hospital würde folgen:
>  [mm]...=-n*\limes_{\lambda\rightarrow 0}\bruch{\bruch{1}{\lambda}}{\bruch{1}{\lambda^{2}}}[/mm]
> -b= [mm]-n*\limes_{\lambda\rightarrow 0}\lambda[/mm] -b=-b.
>  
> Stimmt das so?
>  
> Gruß Jellal


Bezug
                
Bezug
Grenzwert von Summe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:33 Fr 23.03.2018
Autor: Jellal

Hallo Fred,

stimmt, du hast Recht!! Vielen Dank.
Den Trick kannte ich gar nicht.

Aber an sich stimmt es schon, dass man im ursprünglichen Term nichts über Konvergenz oder Divergenz sagen konnte, oder?
Und was ist mit l'hospital bei [mm] -\infty [/mm] / [mm] \infty? [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert von Summe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:56 Fr 23.03.2018
Autor: Diophant

Hallo,

siehe meine Mitteilung. Ob du aus dem gegebenen Term den Grenzwert direkt ersehen kannst, hängt davon ab, ob die Vorzeichen von n und b gleich oder unterschiedlich sind.

[mm] \lambda>0 [/mm] ergibt sich ja aus dem Definitionsbereich der Logarithmusfunktion. Also hängt es von den Vorzeichen von n und b ab, ob überhaupt der nicht definierbare Fall [mm] \infty-\infty [/mm] eintritt oder nicht.

Und nein: diesen Fall kann man nicht (ohne Umformung) mit der Regel von de l'Hospital behandeln, denn diese gilt (streng genommen) nur für den Fall 0/0.

Jedenfalls führt der Ansatz von FRED auf jeden Fall zu der Erkenntnis, dass der Grenzwert nicht Null sein kann.


Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Grenzwert von Summe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:45 Fr 23.03.2018
Autor: Diophant

Hallo,

du schreibst

[mm]a, b, n\in\IR[/mm]

(und alle ungleich Null).

Dann muss man aber meiner Ansicht eine Fallunterscheidung für die Vorzeichen von n und b machen. Sofern man den (uneigentlichen) Grenzwert bestimmen möchte zumindest.

Wenn es wirklich nur darum geht, zu zeigen, dass der Grenzwert ungleich Null ist, dann mache es genau so, wie FRED es vorgeschlagen hat.


Gruß, Diophant



Bezug
                
Bezug
Grenzwert von Summe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:07 Sa 24.03.2018
Autor: Jellal

Hallo Diophant,

ja, die Vorzeichen kenne ich, da a und b kompliziertere Terme (konstant mit bekanntem Vorzeichen) sind. Ich habe wieder mal versucht sinnvoll zu abstrahieren, aber die VZ hätte ich schon angeben sollen.

Danke für den Hinweis!

Bezug
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