Grenzwert von Summen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 Sa 10.06.2006 | | Autor: | Jan85 |
| Aufgabe | Berechnen Sie für die Folge an:= [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] 1/(n(n+1)) den Grenzwert a!
Zeigen Sie damit: Auch die Folge bn:= [mm] \summe_{i=1}^{n}1/(n^2) [/mm] ist konvergent! |
Hikann mir vielelicht jemand bei der Aufgaben helfen?
also vom Gefühl her würd ich sagen der Grenzwert der Folge an ist 1
hab das mal folendermaßen umgeschrieben:
an:= [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] 1/(n(n+1)) = 1/n - 1/(n+1)
= [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] 1/n - [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] 1/(n+1)
jetzt komm ich abe rnicht mehr so richtig weiter...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
vielen dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:29 Sa 10.06.2006 | | Autor: | Jan85 |
den ersten Teil der Aufgabe habe ich alleine geschafft. war gar nicht so wild
meine Überlegung zum zweiten Beweis:
also die Folge bn ist beschränkt, da
[mm] \summe_{i=1}^{n}1/n^2 [/mm] = 1+ [mm] \summe_{i=1}^{n-1}1/(k+1)^2 [/mm] < 1 + [mm] \summe_{i=1}^{n-1} [/mm] n(n+1) < 2
wenn ich jetzt noch die monotonie nachweisen folgt daraus dass bn konvergent oder?
kann mir jemand erklären wie so ein Montoniebeweis geht?
danke
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Hallo,
s. Loddars Mitteilung
VG Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:15 Sa 10.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Daniel!
Im Zusammenhang mit der 2. Teilreihe bzw. dem Term [mm] $-\bruch{1}{n+1}$ [/mm] handelt es sich hier um eine Teleskopsumme, die sehr wohl konvergiert.
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
ja richtig, ich habe die Aufgabe nicht richtig gelesen. Das sind ja Folgen.
Viele Grüße
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:21 Sa 10.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Daniel!
Aber auch bei Reihen würde das nichts ändern und es Teleskopsummen bleiben .
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:33 Sa 10.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jan! Bei der 2. aufgabe musst Du die nachgewisen konvergente Reih für [mm] $a_k [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{k*(k+1)}$ [/mm] geschickt abschätzen gegenüber [mm] $\bruch{1}{k^2}$ [/mm] (Majorantenkriterium):
[mm] $\bruch{1}{k*(k+1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{k^2+k}$
[/mm]
Und nun kann man z.B. den Term $k_$ abschätzen gegenüber [mm] $k^2$ [/mm] ...
Gruß
Loddar
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