Grenzwert von Verknüpfung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:06 Di 28.08.2012 | | Autor: | mgh89 |
| Aufgabe | 1) Wie kommt der unten genannte Grenzwert so zustande?
2) Wie verhalten sich die Integrale für schrittweise n?
3) Wie könnten die Fragen 1) und 2) im Sinne der Allgemeinheit f(a,b,x) formuliert werden?
4) In wie fern gibt es hier einen Zusammenhang mit der Stochastik? |
Sei f(a,b,x) = [mm] a*e^{-b*x^2} [/mm] | a,b [mm] \in \IR
[/mm]
Nun ist f(1,1,x) = f(1,1, f(1,1,x))
wahr für x = [mm] \pm \wurzel{ \bruch{W(2)}{2} }
[/mm]
Mit W(z) als Lambert'sche Omegafunktion.
Def: [mm] F_{n} [/mm] := [mm] f_{0} \circ f_{1} \circ [/mm] ... [mm] \circ f_{n} [/mm] | a,b = 1 n [mm] \in \IN
[/mm]
Zu Frage 1:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} F_{n} [/mm] = [mm] \wurzel{ \bruch{W(2)}{2} }
[/mm]
[mm] \forall [/mm] x
Seien [mm] x_{0} [/mm] und [mm] x_{1} [/mm] Schnittstellen für [mm] F_{n} [/mm] mit [mm] F_{n+1} [/mm] und [mm] x_{0} [/mm] < [mm] x_{1}.
[/mm]
Zu Frage 2:
[mm] \integral_{x_{0}}^{x_{1}}{F_{n+1}(x) - F_{n}(x) dx}
[/mm]
Habe diese Frage nur auf matheraum.de gepostet.
Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Wozu schleppst du die Parameter [mm]a,b[/mm] mit, wenn sie sowieso immer mit 1 belegt werden? Zumindest für die Belange deiner Frage braucht man sie nicht. Kurzum, es geht um die Funktion
[mm]f(x) = \operatorname{e}^{-x^2}[/mm]
Und jetzt verstehe ich deine Frage nicht so recht. Was sollen z.B. die Indizes bei den [mm]f[/mm]? Ich vermute, daß eher die [mm]n[/mm]-fache Verkettung von [mm]f[/mm] mit sich selbst betrachtet werden soll, also
[mm]F_n = f \circ f \circ \ldots \circ f[/mm] (mit [mm]n[/mm] Gliedern [mm]f[/mm])
Denn jetzt ist die Frage nach [mm]\lim_{n \to \infty} F_n(x)[/mm] auch sinnvoll gestellt. Und letztlich ist es dann eine Anwendung des Banachschen Fixpunktsatzes. Denn für ein fest gewähltes [mm]a \geq 1[/mm] ist
[mm]f: \ [0,a] \to [0,a] \, , \ \ f(x) = \operatorname{e}^{-x^2}[/mm]
eine kontrahierende Selbstabbildung von [mm]I_a=[0,a][/mm]. Daß die Bilder tatsächlich wieder in [mm]I_a[/mm] liegen, folgt daraus, daß [mm]f[/mm] streng monoton fällt, sowie durch Berechnung von [mm]f(0)[/mm] und [mm]f(a)[/mm]. Und daß [mm]f[/mm] kontrahierend ist, sieht man an
[mm]\left| f'(x) \right| \leq \sqrt{2} \cdot \operatorname{e}^{- \frac{1}{2}} < 1 \, , \ \ x \in I_a[/mm]
Das Maximum von [mm]\left| f'(x) \right|[/mm] kann man z.B. mittels [mm]f''(x)[/mm] bestimmen. Nach dem Banachschen Fixpunktsatz muß daher [mm]F_n(x)[/mm] bei jeder Wahl von [mm]x \in I_a[/mm] gegen den Fixpunkt [mm]\xi[/mm] von [mm]f[/mm] konvergieren. Da man [mm]a[/mm] beliebig groß wählen kann, gilt das für jedes [mm]x \geq 0[/mm]. Und da [mm]x_1=f(x)[/mm] für [mm]x<0[/mm] positiv ausfällt, folgt das, indem man das Bisherige auf [mm]x_1[/mm] anwendet, auch für negative x-Werte. Zusammengefaßt:
[mm]\lim_{n \to \infty} F_n(x) = \xi \ \ \mbox{für alle} \ x \in \mathbb{R}[/mm]
Zu bestimmen ist jetzt nur noch [mm]\xi[/mm]. Ein Blick auf den Graphen von [mm]f[/mm] zeigt, daß eine Lösung von [mm]f(\xi) = \xi[/mm] positiv sein muß. Dann kann man rechnen:
[mm]f(\xi) = \xi \ \ \Rightarrow \ \ \operatorname{e}^{-\xi^2} = \xi \ \ \Rightarrow \ \ \operatorname{e}^{-2 \xi^2} = \xi^2 \ \ \Rightarrow \ \ 2 \xi^2 \operatorname{e}^{2 \xi^2} = 2[/mm]
Und wenn man jetzt [mm]\tau = 2 \xi^2[/mm] substituiert, kommt man auf
[mm]\tau \operatorname{e}^{\tau} = 2[/mm]
was man mit der Lambertschen [mm]W[/mm]-Funktion nach [mm]\tau[/mm] auflösen kann.
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