Grenzwert von teleskopreihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:51 Do 06.12.2007 | | Autor: | alpakas |
| Aufgabe | Grenzwertberechnung:
1. [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] ( [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n} [/mm] )
2. [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] ( [mm] \bruch{1}{n(n+1)} [/mm] )
3. [mm] \summe_{n=2}^{\infty} [/mm] ( [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n-1} [/mm] )
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Ich habe ja auf "meine Art" die Grenzwerte berechnet
1. -1
2. 1
3. -3/2
aber wie berechnet man die richtig? Ich meine einen korrekten Lösungsweg.
Könnt ihr mir vielleicht bei den 3 reihen mal eine Lösungsweg aufschreiben??
lg alpakas
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo alpakas,
der Reihenwert [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ [/mm] ist ja der Grenzwert der Partialsummen [mm] S_k, [/mm] also
[mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n=\lim\limits_{k\to\infty}\underbrace{\sum\limits_{n=1}^ka_n}_{=S_k}$
[/mm]
Stelle also mal eine solche k-te Partialsumme [mm] S_k [/mm] auf, das gibt eine "schöne" Teleskopsumme, in der sich die meisten Summanden wegheben.
Danach mache den Grenzübergang [mm] $k\to\infty$ [/mm] und du erhältst den Reihenwert
Das wäre also bei der ersten Reihe:
[mm] $S_k=\sum\limits_{n=1}^{k}\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\right)$
[/mm]
[mm] $=\left(\frac{1}{2}-1\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\right)+....+\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k-1}\right)+\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k}\right)$
[/mm]
[mm] $=-1+\frac{1}{k+1}\longrightarrow [/mm] -1$ für [mm] $k\to\infty$
[/mm]
Bei der 2.Reihe mache zuerst eine Partialbruchzerlegung, dann nach demselben Schema.
Die 3. auch nach Schema 
LG
schachuzipus
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Aber was ist eine Partialbruchzerlegung? kannst du mir das am 1. Bsp. vielleicht mal zeigen??
