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Grenzwertberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:32 Do 08.06.2017
Autor: DerPinguinagent

Moin liebe Community,

ich möchte bei folgender Aufgabe die L'Hospitalregel anwenden. Komme da aber nicht weiter. Kann mir jemand helfen?

[mm] \limes_{n\rightarrow\ infty } x*ln(\bruch{x-1}{x+1}) [/mm] = [mm] "\infty*0" [/mm]

Jetzt wandel ich die Gleichung um durch u*v => [mm] \bruch{x}{\bruch{1}{ln(\bruch{x-1}{x+1})}}. [/mm] Hieraus sehe ich das [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] x = infty ist wie zeige ich das auch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} {\bruch{1}{ln(\bruch{x-1}{x+1})}}=infty [/mm] ist

LG DerPinguinagent

        
Bezug
Grenzwertberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:45 Do 08.06.2017
Autor: Diophant

Hallo,

>

> ich möchte bei folgender Aufgabe die L'Hospitalregel
> anwenden. Komme da aber nicht weiter. Kann mir jemand
> helfen?

>

> [mm]\limes_{n\rightarrow\ infty } x*ln(\bruch{x-1}{x+1})[/mm] =
> [mm]"\infty*0"[/mm]

>

> Jetzt wandel ich die Gleichung um durch u*v =>

Mal eine ganz blöde Frage: was heißt der obige Satz 'Jetzt wandel ich die Gleichung um durch u*v'? Für mich: Bahnhof!

> [mm]\bruch{x}{\bruch{1}{ln(\bruch{x-1}{x+1})}}.[/mm] Hieraus sehe
> ich das [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] x = infty ist wie zeige
> ich das auch [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} {\bruch{1}{ln(\bruch{x-1}{x+1})}}=0[/mm]
> ist

>

Das ist völlig falsch (weshalb hast du den Nenner nicht abgeleitet?) , und auch dein Ansatz ist der falsche., der Ansatz ist jedoch möglich.

Probiere (alternativ):

[mm] \lim_{x\rightarrow\infty}\left(x*ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right)\right)= \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}{\frac{1}{x}} [/mm]

Dies führt bereits nach einmaliger Anwendung der Regel von de l'Hospital zum Erfolg (wie dein Ansatz natürlich auch).


Gruß, Diophant
 

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Grenzwertberechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:00 Do 08.06.2017
Autor: DerPinguinagent

Moin Diophant,

vielen dank für deine schnelle Rückmeldung. Bei uns in der Vorlesung wurde gesagt, dass wenn wir [mm] 0*\infty [/mm] oder [mm] 0*\infty [/mm] haben, müssen wir das entweder auf 0/0 oder [mm] \infty/\infty [/mm] bringen um L'Hospital anwenden zu können. Dazu haben wir folgende Formel bekommen u*v => u/(1/v). Nun habe ich x als mein u und ln(...) als mein v gewählt. Deshalb habe ich den Ausdruck x/(1/ln(...)) erhalten. Warum darf ich das den so nicht machen?

LG DerPinguinagent

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Grenzwertberechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:04 Do 08.06.2017
Autor: Diophant

Hallo,

dieser Beitrag hat sich erledigt. Weiter geht es hier.

Gruß, Diophant

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Grenzwertberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:02 Do 08.06.2017
Autor: DerPinguinagent

Moin Diophant,

vielen dank für deine schnelle Rückmeldung. Bei uns in der Vorlesung wurde gesagt, dass wenn wir $ [mm] 0\cdot{}\infty [/mm] $ oder $ [mm] 0\cdot{}\infty [/mm] $ haben, müssen wir das entweder auf 0/0 oder $ [mm] \infty/\infty [/mm] $ bringen um L'Hospital anwenden zu können. Dazu haben wir folgende Formel bekommen u*v => u/(1/v). Nun habe ich x als mein u und ln(...) als mein v gewählt. Deshalb habe ich den Ausdruck x/(1/ln(...)) erhalten. Warum darf ich das den so nicht machen?

LG DerPinguinagent


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Grenzwertberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:06 Do 08.06.2017
Autor: Diophant

Hallo,

>

> vielen dank für deine schnelle Rückmeldung. Bei uns in
> der Vorlesung wurde gesagt, dass wenn wir $ [mm] 0\cdot{}\infty [/mm] $ oder
> $ [mm] 0\cdot{}\infty [/mm] $ haben, müssen wir das entweder auf 0/0 oder
> $ [mm] \infty/\infty [/mm] $ bringen um L'Hospital anwenden zu können.
> Dazu haben wir folgende Formel bekommen u*v => u/(1/v).

Wenn du dazu eine Formel brauchst...

> Nun habe ich x als mein u und ln(...) als mein v gewählt.
> Deshalb habe ich den Ausdruck x/(1/ln(...)) erhalten. Warum
> darf ich das den so nicht machen?

Achtung, ich habe meine Antwort nachgebessert. Es geht so herum, wie du es angesetzt hast. Aber auch dann müssen Zähler und Nenner abgeleitet werden, letzteres hast du vergessen.


Gruß, Diophant

PS: bitte stelle auch innerhalb von Threads Fragen jeweils nur einmal. Wenn du aus Versehen ein falsches Artikel-Format (also bspw. Mitteilung anstelle von Frage) gewählt hast, dann bitte einen Moderator darum, dies umzuwandeln.

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Grenzwertberechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:32 Fr 09.06.2017
Autor: DerPinguinagent

Kann es sein, ohne jetzt aufzuzeigen wie ich drauf gekommen bin, dass der Grenzwert 1 ist?


LG der Pinguinagent

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Grenzwertberechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:36 Fr 09.06.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Kann es sein, ohne jetzt aufzuzeigen wie ich drauf gekommen
> bin, dass der Grenzwert 1 ist?

>

ohne aufzuzeigen: nein


Gruß, Diophant

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Grenzwertberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:43 Fr 09.06.2017
Autor: fred97

Mein Senf:

wir machen die Substitution $x=1/t$ und definieren für $t [mm] \in [/mm] (-1,1)$:

[mm] $f(t)=\ln (1-t)-\ln [/mm] (1+t)$ und beachten weiterhin $ x [mm] \to \infty \gdw [/mm] t [mm] \to [/mm] 0$.

Rechne nach:

$  [mm] x\cdot{}\ln(\bruch{x-1}{x+1}) =\frac{f(t)-f(0)}{t-0} [/mm] $

Damit bekommen wir: $  [mm] \lim_{x \to \infty}x\cdot{}\ln(\bruch{x-1}{x+1}) [/mm] = [mm] \lim_{t \to0}\frac{f(t)-f(0)}{t-0} [/mm] =f'(0)$.



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Grenzwertberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:34 Fr 09.06.2017
Autor: DerPinguinagent


Kann es sein, ohne jetzt aufzuzeigen wie ich drauf gekommen bin, dass der Grenzwert 1 ist?


LG der Pinguinagent


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Grenzwertberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:39 Fr 09.06.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Kann es sein, ohne jetzt aufzuzeigen wie ich drauf gekommen
> bin, dass der Grenzwert 1 ist?

>

ohne aufzuzeigen: nein

Es ist


[mm] \lim_{x\rightarrow\infty}\left(x*ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right)\right)=-2[/mm]


Rechne selbst nach!


Gruß, Diophant

PS: Könntest du dich eventuell dazu durchringen, dich an die Forenregeln zu halten und jede Frage nur einmal zu stellen, wie bereits mehrfach erwähnt?

Bezug
        
Bezug
Grenzwertberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:12 So 11.06.2017
Autor: angela.h.b.


> Moin liebe Community,
>  
> ich möchte bei folgender Aufgabe die L'Hospitalregel
> anwenden. Komme da aber nicht weiter. Kann mir jemand
> helfen?
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ infty } x*ln(\bruch{x-1}{x+1})[/mm] =
> [mm]"\infty*0"[/mm]

Hallo,

Du erkennst richtig, daß Du hier einen Ausdruck der Form [mm] "\infty*0" [/mm] hast.
Um diesem mit l'Hospital zu bearbeiten, muß er umgewandelt werden in einen Ausdruck der Form [mm] "\bruch{0}{0}" [/mm] oder [mm] "\bruch{\infty}{\infty}". [/mm]

Hier hast Du zwei Möglichkeiten.

1.
Die von Dir gewählte:

[mm] x*ln(\bruch{x-1}{x+1})=\bruch{x}{\bruch{1}{ln(\bruch{x-1}{x+1})}} [/mm]

für [mm] x\to \infty [/mm] hast Du hier [mm] "\bruch{\infty}{-\infty} [/mm] "


2.
Die von Diophant vorgeschlagene:

[mm] x*ln(\bruch{x-1}{x+1})=\bruch{ln(\bruch{x-1}{x+1})}{\bruch{1}{x}} [/mm]

für [mm] x\to \infty [/mm] hast Du hier [mm] "\bruch{0}{0}" [/mm]


Da Du nun zur Anwendung der Regel von l'Hospital Zähler und Nenner ableiten mußt, würde ich es erstmal mit der Darstellung versuchen, bei der mir das Ableiten am leichtesten fällt.


>  
> Jetzt wandel ich die Gleichung um durch u*v =>
> [mm]\bruch{x}{\bruch{1}{ln(\bruch{x-1}{x+1})}}.[/mm] Hieraus sehe
> ich das [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] x = infty ist wie zeige
> ich das auch [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} {\bruch{1}{ln(\bruch{x-1}{x+1})}}=infty[/mm]
> ist

Naja, Du hast ja schon erkannt, daß für [mm] x\to \infty [/mm] der Ausdruck [mm] ln(\bruch{x-1}{x+1}) [/mm] gegen 0 strebt. Der Kehrwert muß dann zwangläufig gegen [mm] \infty [/mm] oder [mm] -\infty [/mm] laufen.

LG Angela


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