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Hi!
Tut mir leid, wenn ich noch ein neues Thema erstelle, aber ich hab dazu doch noch eine recht elementare Frage.
Wie kann ich den limes von Funktionen , wie etwa von f(x)=1/x errechnen?
Dass ein rechtsseitiger, bzw. linksseitiger herauskommt weiß ich, aber das Problem liegt darin solche Dinger auszurechnen und das nicht nur bei einer solchen Funktion. Muss man beispielsweise, wenn man eine gebrochen rationale Funktion hat und das x nicht aus dem Nenner herausbekommt, es graphisch lösen oder gibt es andere wege außer l'Hospital?
Lg Chris
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Hi!
> Tut mir leid, wenn ich noch ein neues Thema erstelle, aber
> ich hab dazu doch noch eine recht elementare Frage.
> Wie kann ich den limes von Funktionen , wie etwa von
> f(x)=1/x errechnen?
> Dass ein rechtsseitiger, bzw. linksseitiger herauskommt
> weiß ich, aber das Problem liegt darin solche Dinger
> auszurechnen und das nicht nur bei einer solchen Funktion.
> Muss man beispielsweise, wenn man eine gebrochen rationale
> Funktion hat und das x nicht aus dem Nenner herausbekommt,
> es graphisch lösen oder gibt es andere wege außer
> l'Hospital?
Ich fürchte, dass Du im Grunde zuviel erwartest: ein allgemeines, rein mechanisch und in jedem Falle funktionierendes Rezept, um Grenzwerte zu berechnen. - So etwas gibt es meines Wissens nicht.
Um aber auf den speziellen Fall von Grenzwerten gebrochen-rationaler Funktionen zu kommen: in diesem speziellen Fall gibt es tatsächlich ein Rezept. Angenommen, Du willst $\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{p(x)}{q(x)}$ berechnen (sofern dieser Grenzwert überhaupt existiert, wobei $x_0\in \IR$, $p(x),q(x)$ ganzrationale Funktionen), dann spaltest Du als erstes sowohl von $p(x)$ als auch von $q(x)$ eine möglichst hohe Potenz des Linearfaktors $x-x_0$ ab und sorgst durch Kürzen dafür, dass $x_0$ nicht (mehr) gleichzeitig eine Nullstelle des gekürzten Zählers $\tilde{p}(x)}$ und des gekürzten Nenners $\tilde{q}(x)$ ist. Es gilt $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{p(x)}{q(x)}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{\tilde{p}(x)}{\tilde{q}(x)}$. Das heisst: durch dieses Kürzen gemeinsamer Faktoren $x-x_0$ von Zähler- und Nennerpolynom ändert sich der Grenzwert nicht.
Nachdem Du also auf diese Weise gekürzt hast gibt es zwei Fälle:
1. Fall: $x_0$ ist Nullstelle des gekürzten Nenners $\tilde{q}(x)$. Dann liegt bei $x_0$ eine Polstelle vor. Es existiert somit lediglich ein uneigentlicher, eventuell auch nur einseitiger Grenzwert. Das Vorzeichen des (einseitigen) Grenzwertes kannst Du an dem Vorzeichen von $\tilde{p}(x_0)$ und der Ordnung von $x_0$ als Nullstelle von $\tilde{q}(x)$ ablesen. Unterscheidung von links- bzw. rechtseitigem Limes macht bei einer gebrochen-rationalen Funktion nur in diesem Falle überhaupt Sinn: im anderen Falle, $\tilde{q}(x_0)\neq 0$, existiert nämlich immer sogar der beidseitige Limes.
2. Fall: $x_0$ ist keine Nullstelle des gekürzten Nenners $\tilde{q}(x)}$. Dann ist $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{\tilde{p}(x_0)}{\tilde{q}(x_0)}$, d.h. der eigentliche und beidseitge Grenzwert existiert.
Fazit: Bei der Berechnung des Limes von gebrochen-rationalen Funktionen ist weder l'Hospital noch "graphisches Lösen" nötig. Ein wenig Algebra genügt vollauf.
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Und außer l'Hospital lernt man in der Schule keinen anderen Möglcihkeiten oder gibt es noch andere?
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> Und außer l'Hospital lernt man in der Schule keinen anderen
> Möglcihkeiten oder gibt es noch andere?
l'Hospital funktioniert sehr gut bei Funktionstermen, die als Brüche geschrieben werden können und bei denen Zähler und Nenner genügend oft differenzierbar sind. Man kann aber natürlich auch Grenzwerte von Funktionen betrachten, die diese Eigenschaft nicht haben. In diesem allgemeineren Fall gibt es meines Wissens keine mit l'Hospital vergleichbaren Verfahren.
Damit wirst Du Dich irgendwann abfinden müssen: dass es in vielen Bereichen der Mathematik keine rein mechanischen Verfahren gibt, gewisse Probleme zu lösen. Veilleicht bekanntestes Beispiel ist das Lösen von Gleichungen. Dann eben auch die Untersuchung von Konvergenz und die Bestimmung von Grenzwerten. Dann die Berechnung von Integralen (im allgemeinen Fall) usw. usf.
Probleme, für die es solche rein mechanischen, allgemein, d.h. in jedem Falle zum richtigen Ergebnis führende Verfahren gibt, sind in der sog. "höheren Mathematik" eher die Ausnahme als die Regel.
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