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| Aufgabe | [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{1+9x^4}}{x^2+1}
[/mm]
Bestimmen Sie, ob der Grenzwert existiert und berechnen Sie ggf. diesen Grenzwert. |
Hallo,
eine ähnliche Aufgabe habe ich bereits durch Ausklammern und Kürzen lösen können. Hier macht mir die Wurzel Probleme. Ist es auch hier möglich, den Grenzwert per Ausklammern und Kürzen zu ermitteln, oder könnte mich die Regel von LHospital hier weiterbringen? Ich habe auch schon darüber nachgedacht, den Bruch zu erweitern, damit sich die Wurzel wegkürzt, was jedoch nicht zum Erfolg führte.
Gibt es ein allgemeines Lösungsverfahren für die Bestimmung der Existenz eines Grenzwertes?
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Hallo Martin,
> [mm] $\limes_{\red{x}\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{1+9x^4}}{x^2+1}$
[/mm]
> Bestimmen Sie, ob der Grenzwert existiert und berechnen
> Sie ggf. diesen Grenzwert.
> Hallo,
>
> eine ähnliche Aufgabe habe ich bereits durch Ausklammern
> und Kürzen lösen können. Hier macht mir die Wurzel
> Probleme. Ist es auch hier möglich, den Grenzwert per
> Ausklammern und Kürzen zu ermitteln, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> oder könnte mich die
> Regel von LHospital hier weiterbringen?
Ja, beides geht, de l'Hôpital kannst du anwenden, da der Quotient für [mm] $x\to\infty$ [/mm] gegen den unbestimmten Ausdruck Edit: [mm] $\frac{\infty}{\infty}$ [/mm] <-- danke an Loddar, den Luchs strebt
> Ich habe auch
> schon darüber nachgedacht, den Bruch zu erweitern, damit
> sich die Wurzel wegkürzt, was jedoch nicht zum Erfolg
> führte.
>
> Gibt es ein allgemeines Lösungsverfahren für die Bestimmung
> der Existenz eines Grenzwertes?
Ein Pauschalverfahren gibt es nicht, aber da hier im Zähler unter der Wurzel [mm] $9x^4$ [/mm] steht, also "rausgezogen" quasi [mm] $3x^2$ [/mm] bietet sich die Methode mit dem Ausklammern an (und Verwendung der Grenzwertsätze).
Klammern wir unter der Wurzel mal [mm] $9x^4$ [/mm] und im Nenner [mm] $x^2$ [/mm] aus:
[mm] $\frac{\sqrt{9x^4\cdot{}\left(\frac{1}{9x^4}+1\right)}}{x^2\cdot{}\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}=\frac{\sqrt{9x^4}\cdot{}\sqrt{\frac{1}{9x^4}+1}}{x^2\cdot{}\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}=\frac{3x^2\cdot{}\sqrt{\frac{1}{9x^4}+1}}{x^2\cdot{}\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}$
[/mm]
Nun kürzen und dann den Grenzübergang [mm] $x\to\infty$ [/mm] machen
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:26 Mo 11.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo schachuzipus!
> Ja, beides geht, de l'Hôpital kannst du anwenden, da der Quotient
> für [mm]x\to\infty[/mm] gegen den unbestimmten Ausdruck [mm]\frac{0}{0}[/mm] strebt
Ist es nicht eher ein Ausdruck der Form [mm] $\bruch{\infty}{\infty}$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
ja natürlich, das meinte ich auch eigentlich, ich bessere es schnell aus, vllt. merkt's keiner ![[pfeif]](/images/smileys/pfeif.gif "[pfeif]")
Danke füres Aufpassen
LG
schachuzipus
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Also geht [mm] \wurzel{\bruch{1}{9x^4}+1} [/mm] und [mm] 1+\bruch{1}{x^2} [/mm] bei der Grenzwertbetrachtung gegen 0 und der Rest kürz sich bis auf 3, den Grenzwert, weg.
Danke für deine Antwort! Wie ich mit der Wurzel umgehe kann ich gleich bei der nächsten Aufgabe auf dem Blatt üben.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:51 Mo 11.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Martin!
> Also geht [mm]\wurzel{\bruch{1}{9x^4}+1}[/mm] und [mm]1+\bruch{1}{x^2}[/mm] bei der Grenzwertbetrachtung gegen 0
Nein, jeweils gegen 1 !
Gruß
Loddar
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