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| Aufgabe | Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte, sofern diese existieren.
(1)
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\frac{n^2+2n-10}{2n^2+3\sqrt{n}+7}
[/mm]
(2)
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{6n})^{3n+1} [/mm]
(3)
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\frac{3n^2+(-1)^n n}{n^2}
[/mm]
(4)
[mm] \sum_{k=0}^\infty (\frac{2}{3})^k [/mm]
(5)
[mm] \sum_{k=3}^\infty (\frac{2}{3})^k [/mm] |
Hallo Leute,
könntet ihr mal bitte meine Ergebnisse überprüfen bzw. mir bei der 2. Aufgabe helfen? Das wäre super!
(1)
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\frac{n^2+2n-10}{2n^2+3\sqrt{n}+7}=\limes_{x\rightarrow\infty}\frac{n^2(1+\frac{2}{n}-\frac{10}{n^2})}{n^2(2+\frac{3\sqrt{n}}{n^2}+\frac{7}{n^2})}=\frac{1}{2}
[/mm]
Hier hätte ich direkt mal eine Frage, weil ich bekomme ja eigentlich durch das Ausklammern von [mm] n^2 [/mm] hier im Nenner einen unbestimmten Term von [mm] \frac{\sqrt{n}}{n^2} [/mm] oder? Kann ich einfach über Potenzgesetz dann sagen [mm] \frac{\sqrt{n}}{n^2}=n^{-3/2}=\frac{1}{n^{3/2}}=0 [/mm] ?
(2)
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{6n})^{3n+1} [/mm]
Hier habe ich große Probleme durch die Potenz, ich kenne [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n [/mm] = e, aber weiß leider nicht wie ich das hier umformen kann?
(3)
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\frac{3n^2+(-1)^nn}{n}=\limes_{x\rightarrow\infty}\frac{n^2(3+\frac{(-1)^n}{n})}{n^2(1)}=3
[/mm]
(4)
[mm] \sum_{k=0}^\infty (\frac{2}{3})^k =\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=3
[/mm]
(5)
[mm] \sum_{k=3}^\infty (\frac{2}{3})^k=\sum_{k=0}^\infty (\frac{2}{3})^k-(\frac{2}{3})^2-(\frac{2}{3})^1-(\frac{2}{3})^0=3-\frac{4}{9}-\frac{2}{3}-1=\frac{27}{9}-\frac{4}{9}-\frac{6}{9}-\frac{9}{9}=\frac{27-19}{9}=\frac{8}{9}
[/mm]
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo,
> Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte, sofern diese
> existieren.
>
> (1)
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\frac{n^2+2n-10}{2n^2+3\sqrt{n}+7}[/mm]
>
> (2)
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{6n})^{3n+1}[/mm]
>
> (3)
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\frac{3n^2+(-1)^n n}{n^2}[/mm]
>
> (4)
> [mm]\sum_{k=0}^\infty (\frac{2}{3})^k[/mm]
>
> (5)
> [mm]\sum_{k=3}^\infty (\frac{2}{3})^k[/mm]
>
> Hallo Leute,
> könntet ihr mal bitte meine Ergebnisse überprüfen bzw.
> mir bei der 2. Aufgabe helfen? Das wäre super!
>
>
> (1)
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\frac{n^2+2n-10}{2n^2+3\sqrt{n}+7}=\limes_{x\rightarrow\infty}\frac{n^2(1+\frac{2}{n}-\frac{10}{n^2})}{n^2(2+\frac{3\sqrt{n}}{n^2}+\frac{7}{n^2})}=\frac{1}{2}[/mm]
>
> Hier hätte ich direkt mal eine Frage, weil ich bekomme ja
> eigentlich durch das Ausklammern von [mm]n^2[/mm] hier im Nenner
> einen unbestimmten Term von [mm]\frac{\sqrt{n}}{n^2}[/mm] oder? Kann
> ich einfach über Potenzgesetz dann sagen
> [mm]\frac{\sqrt{n}}{n^2}=n^{-3/2}=\frac{1}{n^{3/2}}=0[/mm] ?
>
Das ist alles richtig, und undefiniert ist da auch nichts, da du ja [mm] n\to\infty [/mm] betrachtest. Das wäre natürlich völlig anders im Falle [mm] n\to{0}, [/mm] aber dann bräuchte man wiederum die Faktorisierung nicht.
>
> (2)
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{6n})^{3n+1}[/mm]
>
> Hier habe ich große Probleme durch die Potenz, ich kenne
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n[/mm] = e, aber
> weiß leider nicht wie ich das hier umformen kann?
Betrachte zunächst den Grenzwert des Quadrats.
>
>
> (3)
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\frac{3n^2+(-1)^nn}{n}=\limes_{x\rightarrow\infty}\frac{n^2(3+\frac{(-1)^n}{n})}{n^2(1)}=3[/mm]
>
Das ist (bis auf den Tippfehler) richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> (4)
> [mm]\sum_{k=0}^\infty (\frac{2}{3})^k =\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=3[/mm]
>
Ebenfalls richtig.
>
> (5)
> [mm]\sum_{k=3}^\infty (\frac{2}{3})^k=\sum_{k=0}^\infty (\frac{2}{3})^k-(\frac{2}{3})^2-(\frac{2}{3})^1-(\frac{2}{3})^0=3-\frac{4}{9}-\frac{2}{3}-1=\frac{27}{9}-\frac{4}{9}-\frac{6}{9}-\frac{9}{9}=\frac{27-19}{9}=\frac{8}{9}[/mm]
>
Und auch das ist richtig.
Gruß, Diophant
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> > (2)
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{6n})^{3n+1}[/mm]
> >
> > Hier habe ich große Probleme durch die Potenz, ich
> kenne
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n[/mm] = e, aber
> > weiß leider nicht wie ich das hier umformen kann?
>
> Betrachte zunächst den Grenzwert des Quadrats.
>
Hallo,
vielen Dank für deine Antwort.
Ich verstehe leider deinen Hinweis gar nicht. Was genau meinst du mit dem Grenzwert des "Quadrats"? [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{6n})^{2} [/mm] oder [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{6n})^{2n} [/mm] ??
Was genau meintest du damit?
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo,
es ist
[mm] \left(\left(1+\bruch{1}{6n}\right)^{3n+1}\right)^2=\left(1+\bruch{1}{6n}\right)^{6n+2}=\left(1+\bruch{1}{6n}\right)^{6n}*\left(1+\bruch{1}{6n}\right)^2
[/mm]
Jetzt klarer?
Gruß, Diophant
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Ahh, jetzt verstehe ich das, aber hatte das vorher leider nicht gesehen. Wenn ich hier jetzt quadriere und meinen Grenzwert berechne von
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=\left(1+\bruch{1}{6n}\right)^{6n}\cdot{}\left(1+\bruch{1}{6n}\right)^2 [/mm] =e
muss ich das sicherlich auchwieder rückgängig machen für meinen eigentlichen Grenzwert, also entsprechend wäre Grenzwert die Wurzel daraus oder??
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo,
> Ahh, jetzt verstehe ich das, aber hatte das vorher leider
> nicht gesehen. Wenn ich hier jetzt quadriere und meinen
> Grenzwert berechne von
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}=\left(1+\bruch{1}{6n}\right)^{6n}\cdot{}\left(1+\bruch{1}{6n}\right)^2[/mm]
> =e
>
> muss ich das sicherlich auchwieder rückgängig machen für
> meinen eigentlichen Grenzwert, also entsprechend wäre
> Grenzwert die Wurzel daraus oder??
Genau so ist es:
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty}\left ( 1+ \frac{1}{6n} \right )^{3n+1}= \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt{\left ( 1+ \frac{1}{6n} \right )^{6n}*\left ( 1+ \frac{1}{6n} \right )^2}=\sqrt{e*1}=\sqrt{e}
[/mm]
Beachte auch die andere Antwort von reverend. Falls die Voraussetzungen gegeben sind, den dort vorgeschlagenen Weg zu verwenden, dann verküruzt sich die Rechnung natürlich deutlich.
Gruß, Diophant
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Hallo,
vielleicht einfacher zu durchschauen ist eine Rechnung per Substitution.
Sei also k:=3n
Dann ist [mm] \left(1+\br{1}{6n}\right)^{3n+1}=\left(1+\br{\br{1}{2}}{k}\right)^k
[/mm]
Das ist ja ganz gut handhabbar. 
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:40 Sa 15.02.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo reverend,
> Hallo,
>
> vielleicht einfacher zu durchschauen ist eine Rechnung per
> Substitution.
>
> Sei also k:=3n
>
> Dann ist
> [mm]\left(1+\br{1}{6n}\right)^{3n+1}=\left(1+\br{\br{1}{2}}{k}\right)^k[/mm]
>
> Das ist ja ganz gut handhabbar.
>
Hm, so ganz stimmt das aber nicht. Wenn man es als Gleichheit schreibt, dann sollte man den hinteren Faktor schon auch noch notieren, auch wenn er gegen 1 strebt:
[mm] \left(1+\bruch{1}{6n}\right)^{3n+1}=\left(1+\bruch{1/2}{k}\right)^{k}*\left(1+\bruch{1/2}{k}\right)
[/mm]
Außerdem benötigt man dann
[mm] e^x= \lim_{n\rightarrow\infty} \left ( 1+ \frac{x}{n} \right )^n
[/mm]
wobei die Ausgangsfrage immerhin nahelegt, dass dies noch nicht zur Verfügung steht. Aber das ist natürlich jetzt eine Spekulation meinerseits.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:55 Sa 15.02.2014 | | Autor: | reverend |
Hallo Diophant,
wie wahr, wie wahr.
Danke fürs gründliche Gegenlesen!
Liebe Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:07 Sa 15.02.2014 | | Autor: | mtr-studi |
Vielen Dank für den Hinweis, das klappt auch gut.
EDIT: Das sollte eigentlich eine Mitteilung sein, wie kann ich das ändern?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Sa 15.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo mtr-studi,
> [mm]\sum_{k=3}^\infty (\frac{2}{3})^k=\sum_{k=0}^\infty (\frac{2}{3})^k-(\frac{2}{3})^2-(\frac{2}{3})^1-(\frac{2}{3})^0=3-\frac{4}{9}-\frac{2}{3}-1=\frac{27}{9}-\frac{4}{9}-\frac{6}{9}-\frac{9}{9}=\frac{27-19}{9}=\frac{8}{9}[/mm]
Das ist, wie Diophant schon bestätigt hat, richtig, aber du
solltest dir überlegen was du bei großen Startindizes machst.
Für [mm] $x\in\IC$ [/mm] und [mm] $x\not=1$ [/mm] gilt:
[mm] \summe_{n=0}^{N}x^n=\frac{1-x^{N+1}}{1-x} [/mm] für alle [mm] N\in\IN_0.
[/mm]
Wir betrachten nun einen allgemeinen Startindex. Dabei gilt,
analog zu oben, für [mm] $x\in\IC$ [/mm] und [mm] $x\not=1$, [/mm] folgende Eigenschaft:
[mm] \summe_{n=n_0}^{N}x^n=\summe_{n=0}^{N}x^n-\summe_{n=0}^{n_0-1}x^n=\frac{1-x^{N+1}}{1-x}-\left(\frac{1-x^{n_0-1+1}}{1-x}{}\right)=\frac{x^{n_0}-x^{N+1}}{1-x} [/mm] für alle [mm] n,N\in\IN_0 [/mm] und [mm] $N\ge [/mm] n$.
Sei nun $|x|<1$, dann gilt, analog zu oben, für alle [mm] n,N\in\IN_0 [/mm] und [mm] $N\ge [/mm] n$:
[mm] \summe_{n=n_0}^{\infty}x^n=\limes_{N\rightarrow\infty}\summe_{n=n_0}^{N}x^n=\limes_{N\rightarrow\infty}\frac{x^{n_0}-x^{N+1}}{1-x}=\frac{x^{n_0}}{1-x}.
[/mm]
Testen wir das doch mal direkt mit deiner Aufgabe!
Für [mm] $0
[mm] \sum_{n=n_0}^\infty x^n=\frac{x^{n_0}}{1-x}=\frac{(\frac{2}{3})^{3}}{1-\frac{2}{3}}=\frac{\frac{8}{27}}{\frac{1}{3}}=\frac{8}{9}.
[/mm]
Hier sieht man, dass das viel einfacher ist. Vor Allem wenn
wir zum Beispiel folgendes ausrechnen wollen würden:
[mm] \sum_{k=108}^\infty (\frac{2}{3})^k
[/mm]
Ich hoffe, dass ich dir damit helfen könnte.
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:10 Sa 15.02.2014 | | Autor: | mtr-studi |
Das ist sehr gut zu wissen, denn es erspart bei großen Indexanfängen wirklich eine Menge Arbeit. Somit also direkt notiert.
Vielen Dank!
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