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Habe mal wieder eine Aufgabe, bei der ich einige Schritte nicht so richtig verstehe.
Aufgabe:
Berechnen Sie den Grenzwert von [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1 + \wurzel {2} + \wurzel{3} + ...+ \wurzel{n}}{n \wurzel{n}}
[/mm]
Lösung:
Wir betrachten die Folge [mm] a_n [/mm] = 1 + [mm] \wurzel{2} [/mm] + [mm] \wurzel{3} [/mm] + ...+ [mm] \wurzel{n}, [/mm] und [mm] b_n [/mm] = n [mm] \wurzel{n}.
[/mm]
Da [mm] b_n [/mm] > 0 für alle n, [mm] b_{n+1} [/mm] = (n+1) [mm] \wurzel{n+1} [/mm] > [mm] n\wurzel{n} [/mm] = [mm] b_n [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_n [/mm] = [mm] \infty [/mm] , kann man es so betrachten:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch {a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch {\wurzel{n}}{n \wurzel{n} - (n-1) \wurzel{n-1}} [/mm]
so hier schon mal meine erste Frage: ich versteh nicht ganz, wie der Zähler zustande kommt. bei dem Nenner versteh ich es noch, da wird ja genau das gemacht, was da steht, also [mm] b_n [/mm] - [mm] b_{n-1} [/mm] aber im Nenner kann ich es nicht nachvollziehen, denn nach diesem Scheme würde es bei mir so aussehen: [mm] a_n [/mm] - [mm] a_{n-1} [/mm] = [mm] \wurzel{n} [/mm] - [mm] \wurzel{n-1}
[/mm]
so dann wird umgeformt und bei der Umformung komme ich bei einem Schritt nicht hinterher:
wie vereinfachen die dies [mm] n^2+ [/mm] (n-1) [mm] \wurzel{n(n-1)} [/mm] zu [mm] 1+\wurzel{\bruch{(n-1)^3}{n^3}} [/mm] um?
das Ergebnis ist [mm] \bruch [/mm] {2}{3}
vielleicht ist es am besten, ich poste doch die ganze Rechnung, damit die anderen auch was davon haben.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch {\wurzel{n}}{n \wurzel{n} - (n-1) \wurzel{n-1}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch {\wurzel{n}(n\wurzel{n}+(n-1)\wurzel{n-1}}{n^3 - (n-1)^3} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch {n^2+ (n-1) \wurzel{n(n-1)}}{3n^2-3n+1} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch {1+\wurzel{\bruch{(n-1)^3}{n^3}}}{3-\bruch{3}{n}+\bruch{1}{n^2}} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
So hoffe ich habe mich nicht vertippt und mir kann vielleicht jemand helfen.
danke
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Hallo Steve,
> Habe mal wieder eine Aufgabe, bei der ich einige Schritte
> nicht so richtig verstehe.
>
> Aufgabe:
>
> Berechnen Sie den Grenzwert von [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1 + \wurzel {2} + \wurzel{3} + ...+ \wurzel{n}}{n \wurzel{n}}[/mm]
>
> Lösung:
>
> Wir betrachten die Folge [mm]a_n[/mm] = 1 + [mm]\wurzel{2}[/mm] + [mm]\wurzel{3}[/mm]
> + ...+ [mm]\wurzel{n},[/mm] und [mm]b_n[/mm] = n [mm]\wurzel{n}.[/mm]
> Da [mm]b_n[/mm] > 0 für alle n, [mm]b_{n+1}[/mm] = (n+1) [mm]\wurzel{n+1}[/mm] >
> [mm]n\wurzel{n}[/mm] = [mm]b_n[/mm] und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} b_n[/mm] =
> [mm]\infty[/mm] , kann man es so betrachten:
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch {a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch {\wurzel{n}}{n \wurzel{n} - (n-1) \wurzel{n-1}}[/mm]
>
> so hier schon mal meine erste Frage: ich versteh nicht
> ganz, wie der Zähler zustande kommt. bei dem Nenner versteh
> ich es noch, da wird ja genau das gemacht, was da steht,
> also [mm]b_n[/mm] - [mm]b_{n-1}[/mm] aber im Nenner kann ich es nicht
> nachvollziehen, denn nach diesem Scheme würde es bei mir so
> aussehen: [mm]a_n[/mm] - [mm]a_{n-1}[/mm] = [mm]\wurzel{n}[/mm] - [mm]\wurzel{n-1}[/mm]
Nee, es ist doch [mm] $a_n=1+\sqrt{2}+....+\sqrt{n-2}+\sqrt{n-1}+\sqrt{n}$ [/mm] und [mm] $a_{n-1}=1+\sqrt{2}+....+\sqrt{n-2}+\sqrt{n-1}$
[/mm]
Es bleibt bei [mm] $a_n-a_{n-1}$ [/mm] also genau [mm] $\sqrt{n}$ [/mm] übrig
Die Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] kannst du auch so schreiben: [mm] $(a_n)_{n\in\IN}=\left(\sum\limits_{i=1}^n\sqrt{i}\right)_{n\in\IN}$
[/mm]
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> so dann wird umgeformt und bei der Umformung komme ich bei
> einem Schritt nicht hinterher:
>
> wie vereinfachen die dies [mm]n^2+[/mm] (n-1) [mm]\wurzel{n(n-1)}[/mm] zu
> [mm]1+\wurzel{\bruch{(n-1)^3}{n^3}}[/mm] um?
>
> das Ergebnis ist [mm]\bruch[/mm] {2}{3}
>
> vielleicht ist es am besten, ich poste doch die ganze
> Rechnung, damit die anderen auch was davon haben.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch {\wurzel{n}}{n \wurzel{n} - (n-1) \wurzel{n-1}}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch {\wurzel{n}(n\wurzel{n}+(n-1)\wurzel{n-1}}{n^3 - (n-1)^3}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch {n^2+ (n-1) \wurzel{n(n-1)}}{3n^2-3n+1}[/mm]
Hier wird [mm] $n^2$ [/mm] ausgeklammert und gekürzt, ich mach mal nen Zwischenschritt und bringe erstmal alles unter die Wurzel (nur der Zähler)
[mm] $n^2+(n-1)\cdot{}\sqrt{n\cdot{}(n-1)}=n^2+\sqrt{n\cdot{}(n-1)^3}=n^2+\sqrt{\blue{\frac{n^4}{n^4}}\cdot{}n\cdot{}(n-1)^3}$
[/mm]
[mm] $=n^2+\sqrt{n^4\cdot{}\frac{n\cdot{}(n-1)^3}{n^4}}=n^2+n^2\cdot{}\sqrt{\frac{(n-1)^3}{n^3}}$
[/mm]
Nun halt im Zähler und Nenner [mm] $n^2$ [/mm] ausklammern und rauskürzen, dann bekommst du genau den Ausdruck, der unten steht
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch {1+\wurzel{\bruch{(n-1)^3}{n^3}}}{3-\bruch{3}{n}+\bruch{1}{n^2}}[/mm]
> = [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
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> So hoffe ich habe mich nicht vertippt und mir kann
> vielleicht jemand helfen.
>
> danke
>
LG
schachuzipus
>
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Hi. vielen dank für die Info, jetzt habe ich es sogar verstanden. nur müsste ich dich dennoch eine kleine sache fragen.
ich habe öfter noch schwierigkeiten, wenn man z.B. bei summen und so das letzte oder die letzten glieder/ summanden angeben muss.
weil irgendwie versteh ich noch nicht ganz, wie du das hier machst:
[mm] a_n=1+\sqrt{2}+....+\sqrt{n-2}+\sqrt{n-1}+\sqrt{n}
[/mm]
[mm] a_{n-1}=1+\sqrt{2}+....+\sqrt{n-2}+\sqrt{n-1}
[/mm]
woran sieht man, dass man bei der ersten folge z.B. so weitermacht [mm] ....+\sqrt{n-2}+\sqrt{n-1}+\sqrt{n}
[/mm]
wieso ziehst du dann in der wurzel die zahlen ab? denn würde ich [mm] a_{100} [/mm] angeben, wäre es doch auch [mm] a_{100} [/mm] = [mm] \wurzel{100} [/mm] und da müsste ich nichts abziehen.
danke und gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:08 Mi 12.03.2008 | | Autor: | jaruleking |
ok, jetzt habe ich es verstanden 
danke
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