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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:50 Fr 12.06.2009 | | Autor: | jani29 |
| Aufgabe | Sei [mm] f:D\to \IR [/mm] mit [mm] f(x)=\bruch{1}{x}. [/mm] Untersuchen Sie, ob
der Grenzwert existiert, wenn x gegen Null strebt. |
Hallo, schön, das es dieses Forum gibt.
Ich würde mich freuen, wenn sich jemand
meinen Ansatz für die kleine Aufgabe
anschauen würde:
Behauptung:
[mm] \limes_{x\rightarrow\0}f(x)=\bruch{1}{x} [/mm] existiert nicht.
Beweis: Es ist [mm] (a_{n})= \bruch{1}{n} [/mm] eine Nullfolge in D ohne {0}.
Die Folge [mm] (f(a_{n} [/mm] )) = [mm] (\bruch{1}{\bruch{1}{n}} [/mm] ) =n
jedoch konvergiert nicht. Es folgt die Behauptung.
Danke und lieben Gruss
jani
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo jani29 und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Sei [mm]f:D\to \IR[/mm] mit [mm]f(x)=\bruch{1}{x}.[/mm] Untersuchen Sie, ob
> der Grenzwert existiert, wenn x gegen Null strebt.
> Hallo, schön, das es dieses Forum gibt.
> Ich würde mich freuen, wenn sich jemand
> meinen Ansatz für die kleine Aufgabe
> anschauen würde:
>
> Behauptung:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0}f(x)=\bruch{1}{x}[/mm] existiert nicht.
> Beweis: Es ist [mm](a_{n})= \bruch{1}{n}[/mm] eine Nullfolge in D
> ohne {0}.
> Die Folge [mm](f(a_{n}[/mm] )) = [mm](\bruch{1}{\bruch{1}{n}}[/mm] ) =n
> jedoch konvergiert nicht. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Es folgt die Behauptung.
Erstmal folgt, dass du $f$ in [mm] $x_0=0$ [/mm] nicht stetig ergänzen kannst und damit die Beh.
>
> Danke und lieben Gruss
> jani
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Fr 12.06.2009 | | Autor: | jani29 |
Hallo schachuzipus,
danke fuer die nette Begruessung und schnelle
Reaktion auf meine Frage. Ich muss noch mal
allerdings nachhaken. Ist mein Ansatz richtig?
Auch ohne den Hinweis darauf, dass sich
f nicht stetig ergänzen lässt?
Dank und Gruss
jani
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus,
>
> danke fuer die nette Begruessung und schnelle
> Reaktion auf meine Frage. Ich muss noch mal
> allerdings nachhaken. Ist mein Ansatz richtig?
> Auch ohne den Hinweis darauf, dass sich
> f nicht stetig ergänzen lässt?
Ich würde es dazu schreiben, schließlich hast du in deinem Beweis das Folgenkriterium der Stetigkeit benutzt, um zu widerlegen, dass sich $f$ in 0 stetig fortsetzen lässt ...
>
> Dank und Gruss
> jani
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Fr 12.06.2009 | | Autor: | jani29 |
Hallo,
das Folgekriterium der Stetigkeit habe ich nicht benutzt.
Unsere Definition des Grenzwertes einer Funktion lautet:
"Es sei D Teilmenge IR, und es sei a aus IR ein Berührungspunkt
von D ohne {a}. Eine reelle Funktion f: D->IR heisst konvergent
in a, wenn für jede Testfolge [mm] (a_{n}) [/mm] in D ohne {a}
für a die Bildfolge [mm] (f(a_{n})) [/mm] konvergent ist.
Im Fall, das f:D->IR konvergent in a ist, haben die Bildfolgen
[mm] (f(a_{n})) [/mm] aller Testfolgen [mm] (a_{n}) [/mm] in D ohne a für a den selben
Grenzwert: b [mm] \in [/mm] IR . Dieses b heisst Grenzwert von f in a."
Ich habe also nur gezeigt, dass es eine Testfolge aus D ohne {a}
gibt, die gegen a konvergiert, so dass die Bildfolge [mm] (f(a_{n})) [/mm] nicht
konvergiert, insbesondere dann nich gegen b.
Oder reicht das nicht? Was meinst Du?
LG
jani
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Hallo nochmal,
> Hallo,
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> das Folgekriterium der Stetigkeit habe ich nicht benutzt.
> Unsere Definition des Grenzwertes einer Funktion lautet:
> "Es sei D Teilmenge IR, und es sei a aus IR ein
> Berührungspunkt
> von D ohne {a}. Eine reelle Funktion f: D->IR heisst
> konvergent
> in a, wenn für jede Testfolge [mm](a_{n})[/mm] in D ohne {a}
> für a die Bildfolge [mm](f(a_{n}))[/mm] konvergent ist.
>
> Im Fall, das f:D->IR konvergent in a ist, haben die
> Bildfolgen
> [mm](f(a_{n}))[/mm] aller Testfolgen [mm](a_{n})[/mm] in D ohne a für a den
> selben
> Grenzwert: b [mm]\in[/mm] IR . Dieses b heisst Grenzwert von f in
> a."
Das ist doch genau das Folgenkriterium 
>
> Ich habe also nur gezeigt, dass es eine Testfolge aus D
> ohne {a}
> gibt, die gegen a konvergiert, so dass die Bildfolge
> [mm](f(a_{n}))[/mm] nicht
> konvergiert, insbesondere dann nich gegen b.
>
> Oder reicht das nicht? Was meinst Du?
Ja, dein Beweis ist vollkommen i.O.
Ich persönlich würde nur den kleinen Kommentar dazuschreiben, wenn du nicht willst, lass ihn weg
Ich meine, du hast ja explizit gezeigt, dass es ne "Test"folge gibt, die gegen 0 konvergiert, deren Bild unter f aber nicht konvergiert ...
>
> LG
> jani
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:13 Fr 12.06.2009 | | Autor: | jani29 |
Hallo nochmal,
ahja, Ok, ich verstehe. Vielen lieben
Dank fuer Deine Mühe.
LG und bis bald
jani
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