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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Kenne bisher ein paar Ansätze, um trigonometr. Grenzwertaufgaben zu lösen (l'Hospital, Umstellen, E-Funktionen), aber hier habe ich Probleme:
a)
[mm] \limes_{x\rightarrow\pi/2} [/mm] ((1-sin x)*tan x)
Durch Umstellen:
[mm] \limes_{x\rightarrow\pi/2} [/mm] (tan x [mm] \* \bruch{sin x}{tan x})
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\pi/2} [/mm] (tan x [mm] \* \bruch{sin x}{\bruch{sin x}{cos x}})
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\pi/2} [/mm] (tan x [mm] \* [/mm] cos x)
Nun kann ich leider kein [mm] \pi/2 [/mm] vom Tangens einsetzen, auch mit L'Hospital klappt es an dieser Stelle nicht (die Anforderungen an den Bruch sind ja nicht gegeben). Bin ich bis hierhin eigentlich in die richtige Richtung gerannt? Das Lösungsbuch gibt mir hier schlicht "0" an.
b) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] (2x [mm] \* [/mm] sin [mm] \bruch{1}{x} [/mm] )
Hier würde ich folgendes tun:
[mm] \bruch{1}{\infty} [/mm] = 0
sin (0) = 0
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] (2x [mm] \* [/mm] 0 ) = 0, da [mm] \infty \* [/mm] 0 doch 0 ist, oder?
Die Lösung gibt aber als Ergebnis "2" vor
c) [mm] \limes_{x\rightarrow +0} [/mm] (sin x [mm] \* [/mm] ln x)
Der Sinus geht natürlich gegen 0 von rechts angenähert und der LN gegen [mm] -\infty [/mm] (bei grafischer Betrachtung), was wieder 0 ergeben würde (lt. Lösung richtig). Aber wie gelangt man rechnerisch dorthin?
Danke!
Ich vermute mal, dass die Lösungsansätze zu den 3 Aufgaben von unterschiedlicher Form sind, daher gleich 3 davon.
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Danke Loddar!
zu Aufgabe a) Meine Umstellung war nicht korrekt, statt dem /* sollte wohl eher ein Minus-Zeichen da stehen. Sorry, ich hadere noch ein wenig mit den Boardcodes.
Die Lösungsansätze zu b) und c) sind sehr interessant, ich denke, so kann ich noch ein paar weitere Aufgaben lösen. Nochmals vielen Dank!!
Gibt es eigentlich eine Seite im Web, wo diverse solcher Fertigkeiten (speziell Grenzwerte) vorgestellt werden?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:54 Do 08.09.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> b) [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] (2x [mm]\*[/mm] sin [mm]\bruch{1}{x}[/mm] )
Führe hier mal folgende Substitution durch: $z \ := \ [mm] \bruch{1}{x}$
[/mm]
Dann wird ja:
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\left[2x*\sin\left(\bruch{1}{x}\right)\right] \ = \ \limes_{\red{z}\rightarrow\red{0}}\left[2*\bruch{1}{z}*\sin(z)\right] \ = \ 2*\limes_{z\rightarrow 0}\bruch{\sin(z)}{z}[/mm]
Und nun mal wieder de l'Hospital!
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:02 Do 08.09.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo zum dritten  ...
> c) [mm]\limes_{x\rightarrow +0}[/mm] (sin x [mm]\*[/mm] ln x)
Auch hier benötigen wir zunächst einen Bruch ...
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\left[\sin(x)*\ln(x)\right] [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\ln(x)}{\bruch{1}{\sin(x)}} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\ln(x)}{\left[\sin(x)\right]^{-1}}$
[/mm]
Und mal wieder de l'Hospital, allerdings musst Du diesen gleich zweimal anwenden (nach einer kurzen Umformung nach dem 1. Durchgang)!
Gruß
Loddar
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
Grenzwertsatz nach de l'Hospital