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| Aufgabe | Untersuchen Sie die Zahlenfolgen auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. den Grenzwert:
a) [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{6 n^{2} - 2 n} {n^{2} + 1}
[/mm]
b) [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3n} [/mm] sin( [mm] n^{2} [/mm] )
c) [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{ 3^{n} }{n!} [/mm] |
a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{6 n^{2} - 2 n} {n^{2} + 1} \to [/mm] 6.
Aber wie ich dort herangehen soll, ist mir unklar.
b) hat keinen Grenzwert, als Beweis würde ich hierbei annehmen, dass sin( [mm] n^{2} [/mm] ) einmal -1 und 1 als Grenzwerte besitzt und die Folge daher mehr als einen Grenzwert hat.
c) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{ 3^{n} }{n!} \to [/mm] 0. Denn [mm] 3^{n} [/mm] strebt gegen unendlich und n! doch auch, ist das ein Beweis?
Vielen lieben Dank! :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 So 11.11.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Pflaume!
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{6 n^{2} - 2 n} {n^{2} + 1} \to[/mm] 6.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aber wie ich dort herangehen soll, ist mir unklar.
Klammere in Zähler und Nenner mal jeweils [mm] $n^2$ [/mm] aus. Anschließend Grenzwertbetrachtung.
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:47 So 11.11.2012 | | Autor: | Pflaume007 |
Jetzt fühle ich mich doof, aber es wird alles klar.
Wie zeige ich denn hierbei, dass die Folge konvergiert?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:50 So 11.11.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Was denn nun? Ist Dir "alles klar"? Wasist dann noch unklar an der Vorgehensweise, welche ich in der ersten Antwort beschrieben habe.
Wie weit bist Du damit gekommen?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:57 So 11.11.2012 | | Autor: | Pflaume007 |
Also das mit dem Grenzwert von a hat sich dann fast von alleine gelöst. Wenn ich das [mm] n^2 [/mm] ausklammere, kürzt sich das weg und der Limes der beiden harmonischen Folgen, die sich dann ergeben, ist ja 0, so dass ich dann im Zähler meine 6 und im Nenner meine 1 habe und schließlich als Limes der gesamten Folge 6 erhalte.
Problem ist bloß, dass ich mir die 6 als Grenzwert mithilfe einer Funktion erarbeitet habe und nicht mithilfe einer Epsilon-Umgebung, was mir Probleme bereitet, da ich das nicht verstehe.
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Ah, ok, danke! :)
Sage ich dann, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{3n} \to [/mm] 0 strebt, und daher [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sin [mm] (n^{2}) [/mm] egal ist, da die gesamte Folge damit gegen 0 strebt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 So 11.11.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> Sage ich dann, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{3n} \to[/mm] 0 strebt, und daher [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sin [mm](n^{2})[/mm]
> egal ist, da die gesamte Folge damit gegen 0 strebt?
Wenn Du "egal" durch "Beschränktheit von [mm] $\sin(n^2)$ [/mm] " (s.o.) ersetzst, stimmt es nahezu.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 So 11.11.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Pflaume!
> c) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{ 3^{n} }{n!} \to[/mm] 0.
Der Grenzwert stimmt.
> Denn [mm]3^{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
strebt gegen unendlich und n! doch auch, ist das
> ein Beweis?
Das ist alles andere als ein Beweis.
Demnach müssten $a_n \ = \ \bruch{n^2+1}{1}$ , $b_n \ = \ \bruch{n}{n+1}$ und $c_n \ = \ \bruch{n+1}{n^3$ auch jeweils den selben Grenzwert haben, was offensichtlich nicht stimmt.
Gruß
Loddar
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Jetzt bombardiere ich Sie mit Fragen, aber erst einmal danke für die Antworten! :)
Wie kann ich denn damit umgehen, wenn Zähler und Nenner eines Bruchs gegen unendlich streben?
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Abend,
> Jetzt bombardiere ich Sie
> mit Fragen, aber erst einmal
> danke für die Antworten! :)
> Wie kann ich denn damit umgehen, wenn Zähler und Nenner
> eines Bruchs gegen unendlich streben?
Du könntest zeigen, dass die Folge [mm] c_n [/mm] ab einem [mm] n_0 [/mm] monoton fällt. Beschränkt ist die Folge offensichtlich durch die Null. Daher existiert ein Grenzwert und dieser ist eben Null.
Um die Monotonie nachzuweisen betrachte die Ungleichung
[mm] \bruch{3^{n+1}}{(n+1)!}<\bruch{3^{n}}{n!}
[/mm]
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Das stimmt nicht.
