Grenzwertbestimmung bei Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:46 Di 30.03.2010 | | Autor: | kiwibox |
Hallo...
ich habe eine Frage zur Limesbestimmung:
wie bestimme ich den Limes von:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{2}{n-3})^{4n} [/mm] ?
Soll ich erst den Limes von [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{2}{n-3}^{n} [/mm] und das dann später das Ergebnis 4 mal miteinander multiplizieren? Und wie kann ich am besten den Grenzwert betrachten?
Hat jemand Tipps für mich? Ich bin total ratlos bei dieser Aufgabe...
MFG
kiwibox
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Hallo...
> ich habe eine Frage zur Limesbestimmung:
> wie bestimme ich den Limes von:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{2}{n-3})^{4n}[/mm] ?
>
> Soll ich erst den Limes von
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{2}{n-3}^{n}[/mm] und das
> dann später das Ergebnis 4 mal miteinander multiplizieren?
Das ist schon eine gute Idee ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und wie kann ich am besten den Grenzwert betrachten?
Was dir auf jeden Fall bekannt sein muss ist folgender Grenzwert:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} [/mm] = e = [mm] \exp(1)$
[/mm]
Noch besser wäre es, du würdest auch den folgenden kennen:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{a}{n}\right)^{n} [/mm] = [mm] e^{a} [/mm] = [mm] \exp(a)$
[/mm]
Ist das der Fall?
Weiter geht's dann so: Die Idee ist, dass
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n-3}\right)^{n-3} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$
[/mm]
Ist dir das klar?
Forme dann so um:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \left(1+\bruch{2}{n-3}\right)^{4n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left(\left(1+\bruch{2}{n-3}\right)^{n-3}\right)^{4}*\left(1+\bruch{2}{n-3}\right)^{12}$
[/mm]
Vom linken Faktor kannst du den Grenzwert bestimmen: Erst Grenzwert der Basis, danach noch die Potenz auswerten (Grenzwert Multiplikation bei endlichen Produkten, d.h. Exponent ist nicht 'n' oder ein Term mit 'n'!). Beim rechten Faktor gelten ebenfalls die Grenzwertsätze: Die Basis konvergiert gegen 1, deswegen auch Basis hoch 12 gegen 1.
Grüße,
Stefan
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Hallo,
> d.h. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (1+ [mm]\bruch{2}{n-3})^{n-3}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (1+ [mm]\bruch {2}{n})^{n}=e^{2}[/mm]
>
> das muss ich dann hoch 4 nehmen: [mm](e^{2})^{4}=e^{8}[/mm] ist dann
> mein Grenzwert, oder?
Exakt 
Es mutet gerade so an, als hättest du den Faktor mit hoch 12 vergessen (wahrscheinlich mutet es aber nur so an; dessen Grenzwert ist sowieso 1)
Grüße,
Stefan
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