Grenzwertbestimmung mit L'H < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Einen schönen guten Abend allerseits.
Ich weiß nicht, ob meine Frage präzise in dieses Forum passt, aber ich hoffe ich habe das Thema nicht allzu sehr verfehlt.
Ich habe Probleme mit 3 verschiedenen Aufgaben die ich in Eigenarbeit lösen wollte.
Also eine Übungsaufgabe ist folgendermaßen gestellt
Bestimmen Sie den folgenden Grenzwert.
[mm] \lim_{n \to 0} \bruch {tan(x^2)}{log(1+x) - x}
[/mm]
Wenn ich also L'Hospital anwende komme ich auf
[mm] \bruch {2x * \bruch {1}{cos^2(x^2)}} {1* \bruch {1}{1+x} -1} [/mm]
wobei ich mir bei diesem Ergebnis schon sehr Unsicher bin ob ich es richtig gemacht habe. Falls es richtig ist habe ich wieder ein Typ [mm] \bruch {0}{0} [/mm] raus. Das bedeutet ich muss wieder L'H anwenden, weiß aber nicht wie ich in diesem Fall die Ableitung von der ersten Ableitung bilde.
Generell bin ich aber auf dem richtigen weg es mit L'H zu versuchen oder?
Die Zweite Aufgabe ist folgende. Untersuchen sie folgende Reihe auf Konvergenz.
[mm] \summe_{k=1}^{N} \bruch {1}{n+log(n)} [/mm]
Da ich gerade wenig Zeit habe und mit dem Tex noch etwas langsam bin schaffe ich es nicht meine Berechnung grade aufzuschreiben. Generell würde ich nur gerne wissen ob ich durch Anwendung des Quotientenkriteriums auf ein Ergebnis komme? Oder ist die Anwendung eines anderen Kriteriums von Nöten?
Die dritte Aufgabe ist folgende.
Untersuchen sie folgende Reihe auf Konvergenz.
[mm] \summe_{k=1}^{N} \bruch {1}{2n^2 + 3} [/mm]
Ist es erlaubt hier das Majorantenkriterium zu verwenden? Ich weiß ja
[mm] \summe_{k=1}^{N} \bruch {1}{n^2} [/mm] konvergiert (Dies haben wir in einer Übung beweisen müssen).
Da aber [mm] \summe_{k=1}^{N} \bruch {1}{2n^2 + 3} [/mm]
in jedem Fall kleiner ist als [mm] \summe_{k=1}^{N} \bruch {1}{n^2} [/mm]
muss auch [mm] \summe_{k=1}^{N} \bruch {1}{2n^2 + 3} [/mm] konvergieren.
Ich bedanke mich schonmal bei allen die sich meiner annehmen, und wünsche einen schönen Samstag Abend :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Mann mit Hut,
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> Bestimmen Sie den folgenden Grenzwert.
>
> [mm]\lim_{n \to 0} \bruch {tan(x^2)}{log(1+x) - x}[/mm]
>
> Wenn ich also L'Hospital anwende komme ich auf
>
> [mm]\bruch {2x * \bruch {1}{cos^2(x^2)}} {1* \bruch {1}{1+x} -1}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> wobei ich mir bei diesem Ergebnis schon sehr Unsicher bin
dazu besteht kein Grund, es stimmt 
> ob ich es richtig gemacht habe. Falls es richtig ist habe
> ich wieder ein Typ [mm]\bruch {0}{0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
raus. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
echt?
Forme doch ein bisschen um und vereinfache;
$\frac{\frac{2x}{\cos^2(x^2)}}{\frac{1}{1+x}-1}=\frac{\frac{2x}{\cos^2(x^2)}}{-\frac{x}{1+x}}=-\frac{2x}{\cos^2(x^2)}\cdot{}\frac{1+x}{x}}=-\frac{2(1+x)}{\cos^2(x^2)}$
Und das strebt für $x\to 0$ gegen ...
Das bedeutet ich
> muss wieder L'H anwenden, weiß aber nicht wie ich in diesem
> Fall die Ableitung von der ersten Ableitung bilde.
> Generell bin ich aber auf dem richtigen weg es mit L'H zu
> versuchen oder?
Jepp
>
>
> Die Zweite Aufgabe ist folgende. Untersuchen sie folgende
> Reihe auf Konvergenz.
>
> [mm]\summe_{k=1}^{N} \bruch {1}{n+log(n)}[/mm]
>
> Da ich gerade wenig Zeit habe und mit dem Tex noch etwas
> langsam bin schaffe ich es nicht meine Berechnung grade
> aufzuschreiben. Generell würde ich nur gerne wissen ob ich
> durch Anwendung des Quotientenkriteriums auf ein Ergebnis
> komme?
Hmm, ich denke, du bist besser mit dem Vergleichskriterium bedient.
Benutze die Abschätzung [mm] $\ln(n)
> Oder ist die Anwendung eines anderen Kriteriums von
> Nöten?
>
>
> Die dritte Aufgabe ist folgende.
> Untersuchen sie folgende Reihe auf Konvergenz.
>
> [mm]\summe_{k=1}^{N} \bruch {1}{2n^2 + 3}[/mm]
>
> Ist es erlaubt hier das Majorantenkriterium zu verwenden?
Aber immer, das ist sogar erwünscht
> Ich weiß ja
>
> [mm]\summe_{k=1}^{N} \bruch {1}{n^2}[/mm] konvergiert (Dies haben
> wir in einer Übung beweisen müssen).
Das ist gut, denn dann kannst du das verwenden !
>
> Da aber [mm]\summe_{k=1}^{N} \bruch {1}{2n^2 + 3}[/mm]
> in jedem Fall kleiner ist als [mm]\summe_{k=1}^{N} \bruch {1}{n^2}[/mm]
Ist das denn so? Das musst du zeigen oder zumindest glaubhaft begründen.
Darauf fußt ja das Majorantenkriterium, also Beweise, Watson
>
> muss auch [mm]\summe_{k=1}^{N} \bruch {1}{2n^2 + 3}[/mm]
> konvergieren.
Das wäre dann richtig, wie gesagt, die Abschätzung bedarf des einen oder anderen Kommentars
>
> Ich bedanke mich schonmal bei allen die sich meiner
> annehmen, und wünsche einen schönen Samstag Abend :)
Ebenso und keine Ursache 
LG
schachuzipus
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> Forme doch ein bisschen um und vereinfache;
>
> [mm]\frac{\frac{2x}{\cos^2(x^2)}}{\frac{1}{1+x}-1}=\frac{\frac{2x}{\cos^2(x^2)}}{-\frac{x}{1+x}}=-\frac{2x}{\cos^2(x^2)}\cdot{}\frac{1+x}{x}}=-\frac{2(1+x)}{\cos^2(x^2)}[/mm]
>
> Und das strebt für [mm]x\to 0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
gegen ...
Da sollte es dann gegen -2 laufen, aber ich frage mich wo hier das x im Divisor geblieben ist? Müsste es nicht sein?
$ -\frac{2x}{\cos^2(x^2)}\cdot{}\frac{1+x}{x}}=-\frac{2(1+x)}{\cos^2(x^2)*x} $
--- Ah mir ist gerade selber aufgefallen, dass sich das x einfach wegkürzt. Hatte wohl nicht genau genug hingeschaut. Natürlich müsste es heißen---
$ -\frac{2x}{\cos^2(x^2)}\cdot{}\frac{1+x}{x}}=-\frac{2(1+x)*x}{\cos^2(x^2)*x} $
was ja das gleiche ist wie
$ -\frac{2x}{\cos^2(x^2)}\cdot{}\frac{1+x}{x}}=-\frac{2(1+x)}{\cos^2(x^2)*} $
>
> $ \summe_{k=1}^{N} \bruch {1}{n+log(n)} $
>
> Benutze die Abschätzung [mm]\ln(n)
> alt- und gut bekannte divergente Minorante finden
Durch die Abschätzung [mm]\ln(n)
$ [mm] \summe_{k=1}^{N} \bruch [/mm] {1}{n+log(n)} $
ist Größer als
$ [mm] \summe_{k=1}^{N} \bruch [/mm] {1}{2n} $
Da ich bereits weiß, dass die Harmonische Reihe divergiert kann ich also anhand des Minorantenkriteriums sagen, dass auch
$ [mm] \summe_{k=1}^{N} \bruch [/mm] {1}{n+log(n)} $
divergiert. In einer Klausur könnte man natürlich noch ein Sätzchen der Erklärung mit Einlfießen lassen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:25 So 10.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Man mit Hut!
> Da sollte es dann gegen -2 laufen
> aber ich frage mich wo hier das x im Divisor geblieben ist?
Das $x_$ wurde gekürzt:
$$ ... \ = \ [mm] -\frac{2*\red{x}}{\cos^2(x^2)}*\frac{1+x}{\red{x}} [/mm] \ = \ [mm] -\frac{2*(1+x)}{\cos^2(x^2)}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:36 So 10.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mann mit Hut!
Richtig gelöst und abgeschätzt!
Gruß
Loddar
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