Grenzwertdefinition e^x < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:50 Mi 19.12.2012 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für x [mm] \ge [/mm] 0 die Identität [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{x}{n})^{n}=exp [/mm] x gilt.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass stets [mm] (1+\bruch{x}{n})^{n} \le \summe_{k=0}^{n} \bruch{x^{k}}{k!} [/mm] gilt. Als nächstes beweisen Sie, dass für n [mm] \ge [/mm] j immer [mm] (1+\bruch{x}{n})^{n} \ge \summe_{k=0}^{j} \bruch{n!}{(n-k)!n^{k}} \bruch{x^{k}}{k!} [/mm] |
Hallo Leute,
brauche ne Tipp für den Beweis des ersten Teils des Hinweises.
Beweis über Induktion:
Induktionsanfang: n=0
[mm] (1+\bruch{x}{0})^{0}= (1+0)^{0}=1 \le \summe_{k=0}^{0} \bruch{x^{0}}{0!}=\bruch{x^{0}}{0!}=\bruch{1}{1}=1
[/mm]
Induktionsvoraussetzung:
[mm] (1+\bruch{x}{n})^{n} \le \summe_{k=0}^{n} \bruch{x^{k}}{k!} [/mm] gilt
Induktionsschritt: n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] (1+\bruch{x}{n+1})^{n+1}=(1+\bruch{x}{n+1})^{n}*(1+\bruch{x}{n+1}) \le \summe_{k=0}^{n+1} \bruch{x^{k}}{k!}=\le \summe_{k=0}^{n} \bruch{x^{k}}{k!}+\bruch{x^{n+1}}{n+1!}
[/mm]
So und hier komme ich nicht weiter...
Weiß jemand Rat?
Silfide
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 Mi 19.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass für x [mm]\ge[/mm] 0 die Identität
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{x}{n})^{n}=exp[/mm] x
> gilt.
>
> Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass stets
> [mm](1+\bruch{x}{n})^{n} \le \summe_{k=0}^{n} \bruch{x^{k}}{k!}[/mm]
> gilt. Als nächstes beweisen Sie, dass für n [mm]\ge[/mm] j immer
> [mm](1+\bruch{x}{n})^{n} \ge \summe_{k=0}^{j} \bruch{n!}{(n-k)!n^{k}} \bruch{x^{k}}{k!}[/mm]
>
> Hallo Leute,
>
> brauche ne Tipp für den Beweis des ersten Teils des
> Hinweises.
>
> Beweis über Induktion:
>
> Induktionsanfang: n=0
> [mm](1+\bruch{x}{0})^{0}= (1+0)^{0}=1 \le \summe_{k=0}^{0} \bruch{x^{0}}{0!}=\bruch{x^{0}}{0!}=\bruch{1}{1}=1[/mm]
>
> Induktionsvoraussetzung:
> [mm](1+\bruch{x}{n})^{n} \le \summe_{k=0}^{n} \bruch{x^{k}}{k!}[/mm]
> gilt
>
> Induktionsschritt: n [mm]\to[/mm] n+1
>
> [mm](1+\bruch{x}{n+1})^{n+1}=(1+\bruch{x}{n+1})^{n}*(1+\bruch{x}{n+1}) \le \summe_{k=0}^{n+1} \bruch{x^{k}}{k!}=\le \summe_{k=0}^{n} \bruch{x^{k}}{k!}+\bruch{x^{n+1}}{n+1!}[/mm]
>
>
> So und hier komme ich nicht weiter...
ich würde das nicht mit Induktion machen !
Nimm den bin. Satz:
[mm] (1+x/n)^n=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}\bruch{x^k}{n^k}
[/mm]
FRED
> Weiß jemand Rat?
>
> Silfide
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Mi 19.12.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo FRED,
> > Zeigen Sie, dass für x [mm]\ge[/mm] 0 die Identität
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{x}{n})^{n}=exp[/mm] x
> > gilt.
> >
> > Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass stets
> > [mm](1+\bruch{x}{n})^{n} \le \summe_{k=0}^{n} \bruch{x^{k}}{k!}[/mm]
> > gilt. Als nächstes beweisen Sie, dass für n [mm]\ge[/mm] j immer
> > [mm](1+\bruch{x}{n})^{n} \ge \summe_{k=0}^{j} \bruch{n!}{(n-k)!n^{k}} \bruch{x^{k}}{k!}[/mm]
>
> >
> > Hallo Leute,
> >
> > brauche ne Tipp für den Beweis des ersten Teils des
> > Hinweises.
> >
> > Beweis über Induktion:
> >
> > Induktionsanfang: n=0
> > [mm](1+\bruch{x}{0})^{0}= (1+0)^{0}=1 \le \summe_{k=0}^{0} \bruch{x^{0}}{0!}=\bruch{x^{0}}{0!}=\bruch{1}{1}=1[/mm]
>
> >
> > Induktionsvoraussetzung:
> > [mm](1+\bruch{x}{n})^{n} \le \summe_{k=0}^{n} \bruch{x^{k}}{k!}[/mm]
> > gilt
> >
> > Induktionsschritt: n [mm]\to[/mm] n+1
> >
> >
> [mm](1+\bruch{x}{n+1})^{n+1}=(1+\bruch{x}{n+1})^{n}*(1+\bruch{x}{n+1}) \le \summe_{k=0}^{n+1} \bruch{x^{k}}{k!}=\le \summe_{k=0}^{n} \bruch{x^{k}}{k!}+\bruch{x^{n+1}}{n+1!}[/mm]
>
> >
> >
> > So und hier komme ich nicht weiter...
>
> ich würde das nicht mit Induktion machen !
>
> Nimm den bin. Satz:
>
> [mm](1+x/n)^n=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}\bruch{x^k}{n^k}[/mm]
>
Okay, das hilft mir nicht wirklich weiter, weil ich nicht weiß was ich damit tun soll...ich meine nun müsste ich ja trotzdem zeigen, dass
[mm] (1+x/n)^n=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}\bruch{x^k}{n^k}=\summe_{k=0}^{n} \bruch{n!*x^{k}}{(n-k)!k!n^{k}} \le \summe_{k=0}^{n} \bruch{x^{k}}{k!}
[/mm]
Und da würde ich nun wieder mit Induktion rangehen - also ist es für mich gehuppt wie gesprungen.
Silfide
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Hallo silfide,
die vollständige Induktion ist ein mächtiges Instrument, mit dem man oft erstaunliche Aussagen beweisen kann. Manchmal aber ist sie auch sperrig zu handhaben, oder für die betreffende Aussage einfach überdimensioniert.
Stell Dir vor, Du müsstest ein Streichholz in zwei ungleich lange Teile aufteilen (z.B., um "Hölzchen zu ziehen"). Natürlich kannst Du dafür eine CNC-Säge bemühen, also ein computergesteuertes Werkzeug. Da musst Du für eine exakte Lage des Werkstücks sorgen und natürlich für ein entsprechendes Programm, das die Säge steuert. Zuvor aber solltest Du Dein Werkstück (das Streichholz) hinreichend genau vermessen. Hier sollte eine gewöhnliche optische Abtastung genügen, aber Du kannst natürlich auch mit Feinmessschrauben agieren oder mit hochauflösenden Lasermessungen.
Die meisten Leute würden allerdings "pi mal Daumen" das Hölzchen entzweibrechen, und für die meisten Zwecke wäre das auch vollkommen hinreichend.
Also nichts gegen Deine Induktionsversuche, aber da schießt du mit Kanonen auf Spatzen.
> > > Zeigen Sie, dass für x [mm]\ge[/mm] 0 die Identität
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{x}{n})^{n}=exp[/mm] x
> > > gilt.
> > >
> > > Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass stets
> > > [mm](1+\bruch{x}{n})^{n} \le \summe_{k=0}^{n} \bruch{x^{k}}{k!}[/mm]
> > > gilt. Als nächstes beweisen Sie, dass für n [mm]\ge[/mm] j immer
> > > [mm](1+\bruch{x}{n})^{n} \ge \summe_{k=0}^{j} \bruch{n!}{(n-k)!n^{k}} \bruch{x^{k}}{k!}[/mm]
Na, da steht doch schon fast alles.
Deswegen schrieb Fred:
> > ich würde das nicht mit Induktion machen !
> >
> > Nimm den bin. Satz:
> >
> > [mm](1+x/n)^n=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\
k}\bruch{x^k}{n^k}[/mm]
> >
> Okay, das hilft mir nicht wirklich weiter, weil ich nicht
> weiß was ich damit tun soll...ich meine nun müsste ich ja
> trotzdem zeigen, dass
>
> [mm](1+x/n)^n=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\
k}\bruch{x^k}{n^k}=\summe_{k=0}^{n} \bruch{n!*x^{k}}{(n-k)!k!n^{k}} \le \summe_{k=0}^{n} \bruch{x^{k}}{k!}[/mm]
Ja, das müsstest Du trotzdem tun.
> Und da würde ich nun wieder mit Induktion rangehen - also
> ist es für mich gehuppt wie gesprungen.
Das wird mühsam. Du müsstest die Summen überall durchschleppen und womöglich eine explizite summenfreie Formel finden. Dabei reicht hier doch ein gliedweiser Vergleich vollkommen: wenn für alle x,n,k
[mm] \bruch{n!*x^k}{(n-k)!k!*n^k}\le\bruch{x^k}{k!} [/mm] ist, dann stimmts doch auch für die Summe.
Da kann man erstmal kürzen. Dann ist noch zu zeigen:
[mm] \bruch{n!}{(n-k)!n^k}\le{1} [/mm] bzw. [mm] n!\le(n-k)!n^k
[/mm]
...und das geht am besten direkt.
Links stehen n Faktoren, rechts auch. Die kannst Du direkt miteinander vergleichen.
Grüße
reverend
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> Silfide
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Mi 19.12.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo reverend,
ja, du hast Recht... ich habe mit Kanonen auf Spatzen geschossen...
Dank Denkanstoss von dir und von anderer Seite... habe ich es jetzt auch schon fast gepackt...
Also, Danke.
Silfide
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