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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 Fr 10.01.2014 | | Autor: | capri |
| Aufgabe | Berechne folgende Grenzwerte:
a) [mm] \limes_{x \to 1} x^\bruch{1}{x-1} [/mm] |
Hallo,
erstens sorry wegen der schreibweise aber anders hat es nicht funktioniert. :(
soll heißen: x hoch 1 durch x-1.
ich habe hier die Lösung aber ich verstehe das nicht genau.
Lösung: (a) Wir schreiben den Ausdruck mittels exp und ln-Funktion um und ziehen den Limes in den
Exponenten (exp ist stetig). Mit Logarithmusgesetzen und der Regel von
L’Hospital gilt:
[mm] \limes_{x \to 1} x^\bruch{1}{x-1} [/mm] = [mm] e^\limes_{x \to 1} x^\bruch{ln(x)}{x-1}
[/mm]
ich verstehe diesen schritt nicht, danach machen wir ja L´Hospital und das Ergebnis ist e. aber diesen ersten schritt verstehe ich nicht.
warum machen wir daraus ein e hoch und woher kommt das Ln?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 Fr 10.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Berechne folgende Grenzwerte:
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> a) [mm]\limes_{x \to 1} x^\bruch{1}{x-1}[/mm]
> Hallo,
>
> erstens sorry wegen der schreibweise aber anders hat es
> nicht funktioniert. :(
>
> soll heißen: x hoch 1 durch x-1
Sieht prima aus. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> ich habe hier die Lösung aber ich verstehe das nicht
> genau.
>
> Lösung: (a) Wir schreiben den Ausdruck mittels exp und
> ln-Funktion um und ziehen den Limes in den
> Exponenten (exp ist stetig). Mit Logarithmusgesetzen und
> der Regel von
> L’Hospital gilt:
>
> [mm]\limes_{x \to 1} x^\bruch{1}{x-1}[/mm] = [mm]e^\limes_{x \to 1} x^\bruch{ln(x)}{x-1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
>
> ich verstehe diesen schritt nicht, danach machen wir ja
> L´Hospital und das Ergebnis ist e. aber diesen ersten
> schritt verstehe ich nicht.
>
> warum machen wir daraus ein e hoch und woher kommt das Ln?
>
Es gilt:
$e^{\ln(x)}=\ln(e^x})=x*\ln(e)=x$
Beachte dabei:
$\ln(x^{a})=a\ln(x)$
$\ln(e)=1$
Demnach gilt:
$x^\bruch{1}{x-1}=e^{\ln{x^\bruch{1}{x-1}}}=e^{\bruch{1}{x-1}\ln(x)}=e^{\bruch{\ln(x)}{x-1}}$
Für $x\to1$ hast du im Exponenten den Fall \frac{0}{0} und dieses kannst du dann, wie du schon gesagt hast, mit L'Hospital verarzten.
>
> Liebe Grüße
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:14 Fr 10.01.2014 | | Autor: | capri |
ok dankee
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