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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Di 01.11.2005 | | Autor: | Franzie |
Hallöchen!
ich soll in meiner übungsaufgabe jeweils entscheiden, ob es sich um eine nullfolge handelt und meine antwort begründen.
hier nur mal ein beispiel:
[mm] a_{n}= \wurzel{n^{2}+1}-n
[/mm]
ich weiß, dass das eine nullfolge ist, weiß aber nicht so recht, wie ich das begründen soll. bitte gebt mir einen anstoß, sodass ich die restlichen beispiele allein bewältigen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:53 Di 01.11.2005 | | Autor: | saxneat |
Moin Franzie!
[mm] a_{n}=\wurzel{n^{2}+1}- n=n\wurzel{1 +\bruch{1}{n^{2}}}-n
[/mm]
wegen [mm] 0\le \bruch{1}{n^{2}} \le1
[/mm]
[mm] 1=\wurzel{1}\le\wurzel{1 +\bruch{1}{n^{2}}}\le\wurzel{2}
[/mm]
da [mm] \wurzel{2}\to [/mm] 1 folgt [mm] \wurzel{1 +\bruch{1}{n^{2}}}\to [/mm] 1
[mm] \wurzel{n^{2}+1}- [/mm] n [mm] \to [/mm] n
also [mm] a_{n}\to [/mm] 0
hoffe das kann dir helfen
MfG
saxneat
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Franzie |
Danke für die idee, ist mir soweit auch alles einleuchtend, aber eine frage hab ich da noch:
wie kommst du zu folgender umformung?
[mm] \wurzel{n^{2}+1}-n=n*\wurzel{1+1/n^{2}}-n
[/mm]
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Hallo!
> Danke für die idee, ist mir soweit auch alles einleuchtend,
> aber eine frage hab ich da noch:
>
> wie kommst du zu folgender umformung?
> [mm]\wurzel{n^{2}+1}-n=n*\wurzel{1+1/n^{2}}-n[/mm]
der Term unter der Wurzel - also es wurde [mm] n^2 [/mm] ausgeklammert, dann steht da: [mm] n^2(1+\bruch{1}{n^2}) [/mm] und nun hast du ein Produkt unter der Wurzel stehen, so dass du aus den einzelnen Faktoren die Wurzel ziehen darfst, deswegen steht dann vor der Klammer [mm] \wurzel{n^2}=n [/mm] und der Rest halt eben noch unter der Wurzel.
Nun alles klar?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Do 03.11.2005 | | Autor: | Franzie |
Hallo nochmal!
Mach ich dann den Nachweis für
[mm] a_{n}= \wurzel{n^{2}+n}-n [/mm] analog?
Das würde dann für mich bedeuten, ich hätte:
[mm] a_{n}= \wurzel{n^{2}+n}-n=n* \wurzel{n+1/n}-n
[/mm]
wegen 0 [mm] \le [/mm] 1/n [mm] \le [/mm] 1
[mm] 0=\wurzel{0} \le [/mm] wurzel{1+1/n} [mm] \le \wurzel{2}
[/mm]
da [mm] \wurzel{2} \to [/mm] 1 folgt [mm] \wurzel{n+1/n} \to [/mm] 1
aber warum geht meine gesamte folge jetzt gegen grenzwert 1/2?
irgendwie fehlt da noch ein stück.
könnt ihr mir helfen, es zu finden? danke schon mal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:22 Do 03.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Franzie!
> [mm]a_{n}= \wurzel{n^{2}+n}-n[/mm] analog?
Nein, nicht ganz.
> Das würde dann für mich bedeuten, ich hätte:
> [mm]a_{n}= \wurzel{n^{2}+n}-n=n* \wurzel{n+1/n}-n[/mm]
Das ist falsch. Es müsste dann
[mm]a_{n}= \wurzel{n^{2}+n}-n=n* \wurzel{1+1/n}-n[/mm]
lauten.
Mache es aber besser so (Anwendung der 3. Binomischen Formel):
[mm] $a_n [/mm] = [mm] \sqrt{n^2+n} [/mm] - n = [mm] \frac{(\sqrt{n^2+n} - n) \cdot (\sqrt{n^2+n} + n)}{\sqrt{n^2 +n} + n} [/mm] = [mm] \frac{n^2+n - n^2}{n \cdot \left(\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1\right) } [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1}$.
[/mm]
Und jetzt siehst du bestimmt, dass das für $n [mm] \to \infty$ [/mm] gegen [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] konvergiert...
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:36 Do 03.11.2005 | | Autor: | Franzie |
danke, hast recht. so funktioniert es und der grenzwert ist eindeutig. danke für deine hilfe. jetzt bin ich schon ein stück weiter.
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Do 03.11.2005 | | Autor: | Franzie |
wenn das so ist, könnte ich das bei der vorhergehenden aufgabe doch genauso machen. das ist doch viel leichter. ich hätte dann:
[mm] a_{n}= \wurzel{ n^{2}+1}-n [/mm] und mit der 3. binomischen formel komme ich dann auf
(( [mm] \wurzel{ n^{2}+1}-n)*( \wurzel{ n^{2}+1}+n))/ [/mm] ( [mm] \wurzel{ n^{2}+1}+n) [/mm]
[mm] =1/(n*\wurzel{1+1/n}-1) [/mm] und da sieht man doch, dss es gegen 0 strebt für n gegen unendlich.
hab ich das jetzt richtig erfasst?
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
