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Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
N'Abend,
ich versuche seit einiger Zeit den Grenzwert auszurechnen: [mm]lim_{x \rightarrow 0} \bruch{\wurzel{1+2xsin(2x)}-cos(2x)}{sin^2x}[/mm]
dies sollen wir mit Hilfe von Potenzreichen machen.
Wenn ich diese jedoch am Anfang einsetze und versuche auszurechnen bekomme ich beim ausrechenen zu große Brüche (Die Punkte hab ich weggelassen):
[mm]\bruch{(-1-\bruch{4x}{2!}+\bruch{16x^4}{4!})*( 1-\bruch{4x}{2!}+\bruch{16x^4}{4!})}{ (x- \bruch{x^3}{3!} + \bruch{x^5}{5!}-\bruch{x^7}{7!})^2 * (\wurzel{1+ 4x- \bruch{16x^4}{3!}} + 1 - \bruch{4x}{2!} + \bruch{16x^4}{4!})}[/mm]
Wenn ich das jetzt ausrechnen will oder kürzel will verliere ich immer schnell die übersicht, deswegen hab ich gedacht, ich forme erst die Gleichung um und setze dann die Potenzreihen ein:
[mm]\bruch{\wurzel{1+2xsin(2x)}-cos(2x)}{sin^2x}[/mm]
erweitert:
[mm]=\bruch{(\wurzel{1+2xsin(2x)}-cos(2x))(\wurzel{1+2xsin(2x)}+cos(2x))}{sin^2x *(\wurzel{1+2xsin(2x)}+cos(2x))}[/mm]
[mm]=\bruch{-cos(2x)*cos(2x)}{sin^2x(\wurzel{1+2xsin(2x)}+cos(2x))}[/mm]
So jetzt weiss ich nicht so recht weiter kann man sin^2x mit Hilfe der Additiontheoreme so darstellen das man ein cos(2x) bekommt und kürzen kann, oder lieber weiter mit der Wurzel zusammen fassen, auf anhieb etwas ausklammern kann ich auch nicht, und wenn ich jetzt schon die Potenzreihen einsetze bin ich auch nicht viel weiter wie oben.
Grüße,
Mareike
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:01 Mi 09.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mareike,
> Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
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> N'Abend,
> ich versuche seit einiger Zeit den Grenzwert auszurechnen:
> [mm]lim_{x \rightarrow 0} \bruch{\wurzel{1+2xsin(2x)}-cos(2x)}{sin^2x}[/mm]
>
> dies sollen wir mit Hilfe von Potenzreichen machen.
mir ist die Aufgabenstellung - ehrlich gesagt - noch nicht ganz klar. Musst Du nur hier irgendwie eine "Potenzreihe" reinbasteln, oder meinst Du mittels der Potenzreihendarstellung von [mm] $\sin(.)$ [/mm] und [mm] $\cos(.)$? [/mm] Muss man mit diesem Term arbeiten, oder darfst Du auch ggf. mit hinreichend vielen Umformungen (unter z.B. Benutzen von Additionstheremen) versuchen, den Term zu vereinfachen?
Und wenn ich Dich recht verstehe:
De L'Hospital dürft bzw. sollt ihr nicht verwenden?
(Ich würde es aber dennoch einmal tun; wenn Du dabei richtig rechnest, hast Du wenigstens eine Kontrolle, ob in Deinen Umformungen nicht irgendwo ein Fehler vorhanden ist, wenn Du mit Potenzreihen gerechnet hast.)
> Wenn ich diese jedoch am Anfang einsetze und versuche
> auszurechnen bekomme ich beim ausrechenen zu große Brüche
> (Die Punkte hab ich weggelassen):
> [mm]\bruch{(-1-\bruch{4x}{2!}+\bruch{16x^4}{4!})*( 1-\bruch{4x}{2!}+\bruch{16x^4}{4!})}{ (x- \bruch{x^3}{3!} + \bruch{x^5}{5!}-\bruch{x^7}{7!})^2 * (\wurzel{1+ 4x- \bruch{16x^4}{3!}} + 1 - \bruch{4x}{2!} + \bruch{16x^4}{4!})}[/mm]
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> Wenn ich das jetzt ausrechnen will oder kürzel will
> verliere ich immer schnell die übersicht, deswegen hab ich
> gedacht, ich forme erst die Gleichung um und setze dann die
> Potenzreihen ein:
> [mm]\bruch{\wurzel{1+2xsin(2x)}-cos(2x)}{sin^2x}[/mm]
> erweitert:
>
> [mm]=\bruch{(\wurzel{1+2xsin(2x)}-cos(2x))(\wurzel{1+2xsin(2x)}+cos(2x))}{sin^2x *(\wurzel{1+2xsin(2x)}+cos(2x))}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{-cos(2x)*cos(2x)}{sin^2x(\wurzel{1+2xsin(2x)}+cos(2x))}[/mm]
Wo ist hier im Zähler der Summand [mm] $\sqrt{1+2x\sin(2x)}^2=1+2x\sin(2x)$ [/mm] hin verschwunden?
> So jetzt weiss ich nicht so recht weiter kann man sin^2x
> mit Hilfe der Additiontheoreme so darstellen das man ein
> cos(2x) bekommt und kürzen kann, oder lieber weiter mit der
> Wurzel zusammen fassen, auf anhieb etwas ausklammern kann
> ich auch nicht, und wenn ich jetzt schon die Potenzreihen
> einsetze bin ich auch nicht viel weiter wie oben.
Mit dem trigonometrischen Pythagoras [mm] $\sin^2(r)+\cos^2(r)=1$ [/mm] ($r [mm] \in \IR$) [/mm] folgt unter Verwendung von [mm] $\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)$ [/mm] mit [mm] $\alpha=\beta=x$ [/mm] dann
[mm] $\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)=(1-\sin^2(x))-\sin^2(x)$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $\sin^2(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2}$
[/mm]
Ob Dir das hilft, musst Du selbst mal ein wenig rumprobieren. Ansonsten gibt es z.B. hier einen ganzen Haufen von Formeln für die Trigonometrie (Additionstheoreme, Halbwinkelformeln etc.):
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie
Vielleicht springt Dir da ja direkt was ins Auge, wo Du denkst, wenn Du das anwendest, vereinfacht sich das ganze.
Übrigens:
Wenn Du [mm] $(\sin(x))^2$ [/mm] in eine Potenzreihe entwickeln willst (diese ist ja auf [mm] $\IR$ [/mm] absolut konvergent), dann nimmst Du die Potenzreihe von [mm] $\sin(x)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
[/mm]
und berechnest
[mm] $\sin(x)*\sin(x)=\left(\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\right)*\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
[/mm]
mittels des Cauchy-Produktes:
http://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Produktformel
Nur, weil Du oben einfach quasi
[mm] $(\sin(x))^2=\left(\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\right)^2$
[/mm]
geschrieben hattest.
Und hier mal ein Schaubild des Graphen der Funktion $x [mm] \mapsto \bruch{\wurzel{1+2x\sin(2x)}-\cos(2x)}{\sin^2(x)}$
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich hoffe, es deckt sich mit dem, was Du mit der Potenzreihenentwicklung (hoffentlich) irgendwann erhälst und zudem, wenn man es mit de l'Hospital errechnet.
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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