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Man soll Grenzwert der Folge [mm] (a_{n}) n\in\IN:
[/mm]
[mm] a_{n}=(-1)^{n} \bruch{ b^{n}}{ \wurzel{n}} [/mm] ,b>0 bestimmen, soweit sie existieren.
ich weiß, dass wenn b=1 =>
[mm] a_{n}=(-1)^{n} \bruch{1}{ \wurzel{n}} [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0, [/mm] da [mm] \wurzel{n} \to \infty,
[/mm]
was passiert bei 0<b<1 und bei b>1?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:18 Mo 24.01.2005 | | Autor: | Marsei |
moin!
probier es mal mit dem leibnitz-kriterium für reihen.
brauchst dann nur zeigen, dass das teil eine alternierende, monoton fallende nullfolge ist, und das machte einfach mit dem quotienten aus [mm] a_{n+1} [/mm] und [mm] a_{n} [/mm] für die monotonie und alternierend ist druch [mm] (-1)^n [/mm] gegeben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:49 Mo 24.01.2005 | | Autor: | taura |
> moin!
> probier es mal mit dem leibnitz-kriterium für reihen.
Das macht hier überhaupt keinen Sinn, da es sich hier nicht um eine Reihe handelt, sondern um eine Folge...
> brauchst dann nur zeigen, dass das teil eine
> alternierende, monoton fallende nullfolge ist, und das
> machte einfach mit dem quotienten aus [mm]a_{n+1}[/mm] und [mm]a_{n}[/mm] für
> die monotonie und alternierend ist druch [mm](-1)^n[/mm] gegeben.
>
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:11 Mo 24.01.2005 | | Autor: | taura |
Also, wie du schon richtig festgestellt hast, musst du zwei Fälle unterscheiden:
Fall 1: 0<b<1
Hier gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b^n=0[/mm]
Also gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{ b^{n}}{ \wurzel{n}}= \limes_{n\rightarrow\infty}b^n*\bruch{1}{\wurzel{n}}=0*0=0[/mm]
Also gehen sowohl die positive, alsauch die negative Teilfolge gegen 0, also ist dein Grenzwert 0.
Fall 2: b>1
Hier hast du den Fall [mm]"\bruch{\infty}{\infty}"[/mm], also kannst du de l'Hospital anwenden und bekommst für den Grenzwert [mm]\infty[/mm] raus, deine Folge läuft also gegen [mm]\pm\infty[/mm]
Hoffe ich hab mich nicht verrechnet...
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