Grenzwerte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 Mi 18.03.2009 | | Autor: | Stoffi88 |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{n-7}-\wurzel{n-5}}{\wurzel{n-10}-\wurzel{n-13}} [/mm] |
Ich kann diese Aufgabe nicht lösen, obwohl ich schon ziemlich viel probiert habe. Also sämtliche varianten zum erweitern habe ich meiner Meinung nach durch und ich komme trotzdem nicht auf die Lösung von - [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
Wäre nett wenn mir jemand den Rechenweg erklären könnte
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Stoffi, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Du erweiterst den Bruch erst einmal mit [mm] (\wurzel{n-10}+\wurzel{n-13}). [/mm] Dann bekommst Du einen hübsch einfachen Zähler, um den Du Dich nicht mehr kümmern musst.
Dafür scheint der Zähler unangenehm. Da stehen dann vier Wurzeln, z.B. [mm] \wurzel{n^2-20n+91}.
[/mm]
Nun gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\+\infty}\wurzel{n^2-20n+91}=\limes_{n\rightarrow\+\infty}\wurzel{n^2-20n+100-9}=\limes_{n\rightarrow\+\infty}\wurzel{(n-10)^2-9}=n-10
[/mm]
Das sieht noch wenig hilfreich aus, weil ja n gegen Unendlich läuft. Aber wenn Du Deine vier Wurzeln hübsch beieinander hältst und eine passendere Schreibweise wählst (aus allen Wurzeln ein n vor die Wurzel ziehen), dann findest Du Deinen Grenzwert schnell.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:03 Do 19.03.2009 | | Autor: | Stoffi88 |
Danke für die schnelle Antwort.
Ich hab nur ab dem Punkt noch Probleme beim Auflösen [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{(n-10)²-9}
[/mm]
Ich kann das ja nicht einfach zu n-10-3 auflösen weil das erstens immernoch eine Summe unter der Wurzel ist und zweitens wäre da ja eine negative Wurzel in Form von [mm] \wurzel{-9}.
[/mm]
Ich glaube da offenbaren sich wieder Defizite in der mittelstufen Mathematik, aber wie es richtig geht weiß ich in dem Fall wirklich nicht.
Mir muss man den Teil nochmal von der Methodik am besten mit Beispiel erklären.
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Hallo Stoffi,
mir ist reverends Erklärung nicht ganz einleuchtend.
Der erste Schritt mit dem Erweitern ist sicher richtig, dann erhältst du
[mm] $\frac{(\sqrt{n-7}-\sqrt{n-5})\cdot{}(\sqrt{n-10}+\sqrt{n-13})}{n-10-n+13}=\frac{(\sqrt{n-7}-\sqrt{n-5})\cdot{}(\sqrt{n-10}+\sqrt{n-13})}{3}$
[/mm]
Und hier "stresst" der Zähler ein wenig, diesbzgl. kann ich reverends weitere Erklärung nicht verstehen.
Auch verstehe ich nicht, wie er auf die Umformung [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{(n-10)^2-9}=n-10$ [/mm] kommt
Vielleicht kann er - wenn er dies liest - noch einige Worte dazu sagen - wahrscheinlich übersehe ich mal wieder irgendetwas .. 
M.E ergibt sich mit dem beschriebenen Verfahren im Zähler nach dem Grenzübergang [mm] $\infty\cdot{}0$, [/mm] also ein unbestimmter Ausdruck
Was du aber machen kannst (und was auch zu deinem GW im ersten post führt) ist, den Ausdruck, den du nach der ersten Erweiterung erhältst, also [mm] $\frac{(\sqrt{n-7}-\sqrt{n-5})\cdot{}(\sqrt{n-10}+\sqrt{n-13})}{3}$ [/mm] nochmal zu erweitern mit [mm] $(\sqrt{n-7}\red{+}\sqrt{n-5})$
[/mm]
Damit bekommst du nämlich: (wieder die 3. binom. Formel beachten!)
[mm] $...=\frac{(n-7-n+5)\cdot{}(\sqrt{n-10}+\sqrt{n-13})}{3\cdot{}(\sqrt{n-7}+\sqrt{n-5})}$
[/mm]
[mm] $=-\frac{2}{3}\cdot{}\frac{\sqrt{n-10}+\sqrt{n-13}}{\sqrt{n-7}+\sqrt{n-5}}$
[/mm]
Nun klammere mal unter jeder Wurzel n aus und ziehe es als [mm] \sqrt{n} [/mm] raus (gem. der Regel [mm] $\sqrt{a\cdot{}b}=\sqrt{a}\cdot{}\sqrt{b}$)
[/mm]
Dann in Zähler und Nenner [mm] $\sqrt{n}$ [/mm] ausklammern und wegkürzen.
Danach kannst du "gefahrlos" den Grenzübergang machen und kommst auf den gewünschten GW
LG
schachuzipus
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Hallo schachuzipus, hallo Stoffi,
ich mache letztlich nichts anderes, finde aber keinen Weg, der mathematisch "sauber" ist. Mein vorher abschließender Tipp reicht da leider auch nicht. Ich brauche einen zweistufigen Grenzübergang, und das geht nicht.
Trotzdem hier eine Skizze dessen, was ich mir gedacht hatte, auch wenn nach dem Vorwort klar ist, dass das falsch ist.
Wenn wir hier stehen:
[mm] \frac{(\sqrt{n-7}-\sqrt{n-5})\cdot{}(\sqrt{n-10}+\sqrt{n-13})}{n-10-n+13}=\frac{(\sqrt{n-7}-\sqrt{n-5})\cdot{}(\sqrt{n-10}+\sqrt{n-13})}{3}
[/mm]
wollte ich ausmultiplizieren:
[mm] =\bruch{1}{3}(\wurzel{n^2-17n+70}+\wurzel{n^2-20n+91}-\wurzel{n^2-15n+50}-\wurzel{n^2-18n+65})
[/mm]
nun [mm] n^2 [/mm] ausklammern, binomisch zusammenfassen und entsprechend ergänzen:
[mm] =\bruch{1}{3}n\left(\wurzel{\left(1-\bruch{17}{2n}\right)^2-\bruch{9}{4n^2}}+\wurzel{\left(1-\bruch{10}{n}\right)^2-\bruch{9}{n^2}}-\wurzel{\left(1-\bruch{15}{2n}\right)^2-\bruch{25}{4n^2}}-\wurzel{\left(1-\bruch{9}{n}\right)^2-\bruch{16}{n^2}}\right)
[/mm]
Bis dahin alles erlaubt, aber ab jetzt nicht mehr.
Ich wollte nun im Grenzübergang die jeweils letzten Glieder unter der Wurzel vernachlässigen - und nur diese!
Dann wäre das Ergebnis gewesen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}[...]=\bruch{1}{3}n\left(\left(1-\bruch{17}{2n}\right)+\left(1-\bruch{10}{n}\right)-\left(1-\bruch{15}{2n}\right)-\left(1-\bruch{9}{n}\right)\right)=
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{3}n\left(-\bruch{2}{2n}-\bruch{1}{n}\right)=\bruch{1}{3}*n*\bruch{-2}{n}=-\bruch{2}{3}
[/mm]
Das ist nun ohne Zweifel das geforderte Ergebnis, aber so ist es nicht zu begründen.
Da habe ich nicht weit genug gedacht, und vor allem das Gedachte nicht für mich ausgeschrieben, sonst wäre es ja aufgefallen...
Der Weg von schachuzipus dagegen ist sauber.
Liebe Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 Do 19.03.2009 | | Autor: | Stoffi88 |
> [mm]=-\frac{2}{3}\cdot{}\frac{\sqrt{n-10}+\sqrt{n-13}}{\sqrt{n-7}+\sqrt{n-5}}[/mm]
>
> Nun klammere mal unter jeder Wurzel n aus und ziehe es als
> [mm]\sqrt{n}[/mm] raus (gem. der Regel
> [mm]\sqrt{a\cdot{}b}=\sqrt{a}\cdot{}\sqrt{b}[/mm])
>
> Dann in Zähler und Nenner [mm]\sqrt{n}[/mm] ausklammern und
> wegkürzen.
>
> Danach kannst du "gefahrlos" den Grenzübergang machen und
> kommst auf den gewünschten GW
Soweit verstehe ich das...Mit dem Ausklammern von n habe ich allerdings erneut Probleme. gemäß der Regel dürfte ich das n ausklammern wenn unter der Wurzel ein Produkt stehen würde. Allerdings ist es ja jeweils vier mal eine Summe...darf ich das dann trotzdem?
Und was passiert mit den negativen Wurzeln die dann übrig blieben wenn n weggekürzt wäre? Die würden das ergebnis doch auch noch beeinflussen
Falls ich es nicht darf brächte es auch nichts jetzt schon n gegen unendlich laufen zu lassen weil das ergebnis ja dann - [mm] \bruch{2}{3} \* \bruch{\infty}{\infty} [/mm] wäre, was so auch nicht sein darf.
Auf ein neues oder auch nicht
schöne Grüße
Stoffi
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Hallo nochmal,
>
> >
> [mm]=-\frac{2}{3}\cdot{}\frac{\sqrt{n-10}+\sqrt{n-13}}{\sqrt{n-7}+\sqrt{n-5}}[/mm]
> >
> > Nun klammere mal unter jeder Wurzel n aus und ziehe es als
> > [mm]\sqrt{n}[/mm] raus (gem. der Regel
> > [mm]\sqrt{a\cdot{}b}=\sqrt{a}\cdot{}\sqrt{b}[/mm])
> >
> > Dann in Zähler und Nenner [mm]\sqrt{n}[/mm] ausklammern und
> > wegkürzen.
> >
> > Danach kannst du "gefahrlos" den Grenzübergang machen und
> > kommst auf den gewünschten GW
>
>
> Soweit verstehe ich das...Mit dem Ausklammern von n habe
> ich allerdings erneut Probleme. gemäß der Regel dürfte ich
> das n ausklammern wenn unter der Wurzel ein Produkt stehen
> würde. Allerdings ist es ja jeweils vier mal eine
> Summe...darf ich das dann trotzdem?
Darum sollst du es ja ausklammern, so ohne darfst du es aus der Summe nicht rausziehen, klar
>
> Und was passiert mit den negativen Wurzeln die dann übrig
> blieben wenn n weggekürzt wäre? Die würden das ergebnis
> doch auch noch beeinflussen
Es bleiben keine negativen Wurzeln:
Ich mach's mal für eine Wurzel vor, dann siehst du, wie ich's meine:
[mm] $\sqrt{n-10}=\sqrt{n\cdot{}\left(1-\frac{10}{n}\right)}=\sqrt{n}\cdot{}\sqrt{1-\frac{10}{n}}$
[/mm]
Das mache mit jeder Wurzel analog und klammere anschließend [mm] $\sqrt{n}$ [/mm] in Zähler und Nenner aus ...
>
> Falls ich es nicht darf brächte es auch nichts jetzt schon
> n gegen unendlich laufen zu lassen weil das ergebnis ja
> dann - [mm]\bruch{2}{3} \* \bruch{\infty}{\infty}[/mm] wäre, was so
> auch nicht sein darf.
Eben, das käme bei direktem Grenzübergang heraus, wobei aber leider [mm] $\frac{\infty}{\infty}$ [/mm] ein unbestimmter Ausdruck ist, das kann alles sein
>
> Auf ein neues oder auch nicht
Jetzt aber ...
>
> schöne Grüße
>
> Stoffi
>
Dito
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:29 Do 19.03.2009 | | Autor: | Stoffi88 |
Ich glaube ich habe die Lösung
Wenn ich nach oben zitiertem Term mit [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] erweitere kürzt sich das bei den [mm] -\bruch{2}{3} [/mm] wieder raus und sorgt dafür das der Term mit den Wurzeln gegen [mm] \bruch{2}{2} [/mm] läuft und verändert das Ergebnis somit nicht weiter
Ist das die korrekte Lösung?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:34 Do 19.03.2009 | | Autor: | Stoffi88 |
Da war ich wohl zu langsam
Aber wenn meine erweiterung sauber ist, dann kommt es ja genau aufs gleiche raus.
Aber deinen schritt mit dem ausklammern habe ich Blindfisch jetzt auch verstanden.
Somit wäre die Aufgabe gelöst
Ich danke euch für die Hilfe
und wünscht mir Glück für die Prüfung;)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 Do 19.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Da die Aufgabe nun gelöst ist, hätte ich noch einen Lösungsvorschlag (der den Mittelwertsatz benutzt):
Sei [mm] $a_n [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{n-7}-\wurzel{n-5}}{\wurzel{n-10}-\wurzel{n-13}} [/mm] $
Für n > 13 (zunächst fest) sei [mm] f_n(x) [/mm] : = [mm] \wurzel{n-x} [/mm] .
Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein [mm] t_n \in [/mm] [5,7] und ein [mm] s_n \in [/mm] [10,13] mit:
[mm] $\wurzel{n-7}-\wurzel{n-5} [/mm] = [mm] f_n(7)-f_n(5)=2f_n'(t_n) [/mm] = [mm] \bruch{-1}{\wurzel{n-t_n}}$
[/mm]
und
[mm] $\wurzel{n-10}-\wurzel{n-13} [/mm] =- [mm] (f_n(13)-f_n(10))=-3f_n'(s_n) [/mm] = [mm] \bruch{3}{2\wurzel{n-s_n}}$.
[/mm]
Damit ist
[mm] $a_n [/mm] = [mm] -\bruch{2}{3}\bruch{\wurzel{n-s_n}}{\wurzel{n-t_n}} [/mm] = [mm] -\bruch{2}{3} \bruch{\wurzel{1-\bruch{s_n}{n}}}{\wurzel{1-\bruch{t_n}{n}}} [/mm] $
Da die Folgen [mm] (t_n) [/mm] und [mm] (s_n) [/mm] beschränkt sind, folgt:
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] = [mm] -\bruch{2}{3}$
[/mm]
FRED
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