Grenzwerte < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:48 Mo 24.05.2004 | | Autor: | Frosty |
Hallo,
könnte mir jemand bei den folgenden Aufgaben helfen?
Bestimme die Grenzwerte:
a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n!}{n^n}[/mm]
Hiermit komme ich überhaupt nicht zurecht. Man könnte eventuell [mm]\bruch{n!}{n^n}[/mm] zu [mm]\bruch{(n-1)!}{n^{n-1}}[/mm] kürzen, aber das bringt (so weit ich sehen kann) nichts.
b) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x^n}{n!}[/mm]
Ich glaube (oder hoffe), dass dies hier in etwa wie a) zu lösen ist, da ich aber bei a) keinen Ansatz finde, stehe ich auch hier auf dem Schlauch.
Zeige, dass die Folge konvergiert und bestimme den Grenzwert:
[mm]c_0 := x \in \IR, c_1 := y \in \IR, c_n := \bruch{1}{2} \left( c_{n-1} + c_{n-2} \right)[/mm] für [mm]n \ge 2[/mm]
Ich habe versucht eine nicht rekursive (was ist noch mal das Gegenteil von rekursiv) Folge zu finden, damit man den Ausdruck vereinfachen kann. Ich erhalte dann jedoch eine Zahlenreihe (1,3,5,11,21,43,85,... also in etwa 1,(n-1)*2+1,(n-1)*2-1,(n-1)*2+1,(n-1)*2-1,...), die ich auch nur rekursiv darstellen kann.
Danke für jede Hilfe
Bernhard
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:57 Di 25.05.2004 | | Autor: | Marc |
hallo Frosty,
> a) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n!}{n^n}[/mm]
> Hiermit
> komme ich überhaupt nicht zurecht. Man könnte eventuell
> [mm]\bruch{n!}{n^n}[/mm] zu [mm]\bruch{(n-1)!}{n^{n-1}}[/mm] kürzen, aber das
> bringt (so weit ich sehen kann) nichts.
Nicht viel, aber schon mal etwas.
Ich denke, es wird deutlicher, wenn du mal die einzelnen Faktoren hinschreibst:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n!}{n^n}$
[/mm]
[mm] $=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n*(n-1)*(n-2)*\ldots*2*1}{n*n*n*\ldots*n*n}$
[/mm]
[mm] $=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{n}*\bruch{n-1}{n}*\bruch{n-2}{n}*\ldots*\bruch{2}{n}*\bruch{1}{n}$
[/mm]
[mm] $=\limes_{n\rightarrow\infty} \underbrace{\bruch{n-1}{n}}_{<1}*\underbrace{\bruch{n-2}{n}}_{<1}*\ldots*\underbrace{\bruch{2}{n}}_{<1}*\bruch{1}{n}$
[/mm]
Nun hat man am ganz rechts eine Nullfolge stehen, bei der jedes Folgenglied mit einer Anzahl Faktoren <1 multipliziert wird; es gilt also:
[mm] $0<\bruch{n!}{n^n}<\bruch{1}{n}$ [/mm] für alle $n>1$.
Daraus folgt jetzt die Konvergenz und der Grenzwert...
> b) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x^n}{n!}[/mm]
> Ich glaube
> (oder hoffe), dass dies hier in etwa wie a) zu lösen ist,
> da ich aber bei a) keinen Ansatz finde, stehe ich auch hier
> auf dem Schlauch.
Vielleicht kommst du ja jetzt drauf (ich habe mich noch nicht damit beschäftigt, denn die folgende Aufgabe fand ich interessanter:
> Zeige, dass die Folge konvergiert und bestimme den
> Grenzwert:
> [mm]c_0 := x \in \IR, c_1 := y \in \IR, c_n := \bruch{1}{2} \left( c_{n-1} + c_{n-2} \right)[/mm]
> für [mm]n \ge 2[/mm]
> Ich habe versucht eine nicht rekursive (was
> ist noch mal das Gegenteil von rekursiv) Folge zu finden,
> damit man den Ausdruck vereinfachen kann. Ich erhalte dann
> jedoch eine Zahlenreihe (1,3,5,11,21,43,85,... also in etwa
> 1,(n-1)*2+1,(n-1)*2-1,(n-1)*2+1,(n-1)*2-1,...), die ich
> auch nur rekursiv darstellen kann.
Ich denke aber schon, dass man hier eine schöne Formel hinbekommt, ich versuche mal, deine Folge zu rekonstruieren:
[mm] c_0=x
[/mm]
[mm] c_1=y
[/mm]
[mm] c_2=(x+y)*\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] c_3=\left(y+(x+y)*\bruch{1}{2}\right)*\bruch{1}{2}=\left((2y+x+y)*\bruch{1}{2}\right)*\bruch{1}{2}=(x+3y)*\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] c_4=\left( (x+y)*\bruch{1}{2}+(3y+x)*\bruch{1}{4} \right)*\bruch{1}{2}=(2x+2y+3y+x)*\bruch{1}{8}=(3x+5y)*\bruch{1}{8}
[/mm]
[mm] c_5=\left((3y+x)*\bruch{1}{4}+(3x+5y)*\bruch{1}{8}\right)*\bruch{1}{2}=(6y+2x+3x+5y)*\bruch{1}{16}=(5x+11y)*\bruch{1}{16}
[/mm]
[mm] c_6=(6x+10y+5x+11y)*\bruch{1}{32}=(11x+21y)*\bruch{1}{32}
[/mm]
[mm] c_7=\ldots
[/mm]
Mmh, da bin ich zur Zeit auch überfragt... ich melde mich, sobald ich mehr herausgefunden habe...
Der augenblickliche Stand meiner Forschungen:
Es reicht, die Folge für x=0 und y=1 zu untersuchen, also [mm] $c_0=0, c_1=1, c_2=\bruch{1}{2},c_3=\bruch{3}{4},\ldots$, [/mm] denn für die Folge für beliebiges $x,y$ mit $x<y$ (ich nenne sie mal [mm] $d_0=x,d_1=y,d_2=\bruch{x+y}{2},\ldots$) [/mm] gilt:
[mm] $\limes_{n\to\infty} d_n=x+(y-x)*\limes_{n\to\infty} c_n$
[/mm]
Aber wie zeigt man, dass [mm] $\limes_{n\to\infty} c_n=\bruch{2}{3}$?
[/mm]
[mm] c_0=0
[/mm]
[mm] c_1=1
[/mm]
[mm] c_2=\bruch{1}{2}=1*2^{-2+1}
[/mm]
[mm] c_3=\bruch{3}{4}=3*2^{-3+1}
[/mm]
[mm] c_4=\bruch{5}{8}=5*2^{-4+1}
[/mm]
Die Folge der Zähler verhält sich so:
[mm] z_0=0
[/mm]
[mm] z_1=1
[/mm]
[mm] z_n=2*z_{n-2}+z_{n-1}
[/mm]
[mm] z_{n+1}=2*z_{n-1}+z_{n}=2*z_{n-1}+2*z_{n-2}+z_{n-1}=2*z_{n-2}+3z_{n-1}
[/mm]
[mm] z_{n+2}=2*z_{n}+z_{n+1}=2*(
[/mm]
Damit ist [mm] $c_n=z_n*2^{-n+1}$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Di 25.05.2004 | | Autor: | Frosty |
> Nicht viel, aber schon mal etwas.
> Ich denke, es wird deutlicher, wenn du mal die einzelnen
> Faktoren hinschreibst:
> [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n!}{n^n}$
[/mm]
> [mm] $=\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm]
> [mm] \bruch{n*(n-1)*(n-2)*\ldots*2*1}{n*n*n*\ldots*n*n}$
[/mm]
> [mm] $=\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm]
> [mm] \bruch{n}{n}*\bruch{n-1}{n}*\bruch{n-2}{n}*\ldots*\bruch{2}{n}*\bruch{1}{n}$
[/mm]
> [mm] $=\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm]
> [mm] \underbrace{\bruch{n-1}{n}}_{<1}*\underbrace{\bruch{n-2}{n}}_{<1}*\ldots*\underbrace{\bruch{2}{n}}_{<1}*\bruch{1}{n}$
[/mm]
>
> Nun hat man am ganz rechts eine Nullfolge stehen, bei der
> jedes Folgenglied mit einer Anzahl Faktoren <1
> multipliziert wird; es gilt also:
>
> [mm] $0<\bruch{n!}{n^n}<\bruch{1}{n}$ [/mm] für alle $n>1$.
>
> Daraus folgt jetzt die Konvergenz und der Grenzwert...
Das habe ich doch hoffentlich soweit verstanden. Jetzt ist eigentlich nur noch zu sagen, dass [mm]\bruch{1}{n}[/mm] gegen 0 konvergiert und somit [mm]\bruch{n!}{n^n}[/mm] erst recht, weil es ja kleiner ist...
> Ich denke aber schon, dass man hier eine schöne Formel
> hinbekommt, ich versuche mal, deine Folge zu
> rekonstruieren:
>
> [mm] c_0=x
[/mm]
> [mm] c_1=y
[/mm]
> [mm] c_2=(x+y)*\bruch{1}{2}
[/mm]
>
> [mm] c_3=\left(y+(x+y)*\bruch{1}{2}\right)*\bruch{1}{2}=\left((2y+x+y)*\bruch{1}{2}\right)*\bruch{1}{2}=(x+3y)*\bruch{1}{4}
[/mm]
> [mm] c_4=\left( (x+y)*\bruch{1}{2}+(3y+x)*\bruch{1}{4}
> \right)*\bruch{1}{2}=(2x+2y+3y+x)*\bruch{1}{8}=(3x+5y)*\bruch{1}{8}
[/mm]
>
> [mm] c_5=\left((3y+x)*\bruch{1}{4}+(3x+5y)*\bruch{1}{8}\right)*\bruch{1}{2}=(6y+2x+3x+5y)*\bruch{1}{16}=(5x+11y)*\bruch{1}{16}
[/mm]
>
> [mm] c_6=(6x+10y+5x+11y)*\bruch{1}{32}=(11x+21y)*\bruch{1}{32}
[/mm]
> [mm] c_7=\ldots
[/mm]
Das hatte ich auch :)
> Mmh, da bin ich zur Zeit auch überfragt...
Was soll ich dann erst sagen?
> ich melde mich,
> sobald ich mehr herausgefunden habe...
>
> Der augenblickliche Stand meiner Forschungen:
> Es reicht, die Folge für x=0 und y=1 zu untersuchen, also
> [mm] $c_0=0, c_1=1, c_2=\bruch{1}{2},c_3=\bruch{3}{4},\ldots$, [/mm]
> denn für die Folge für beliebiges $x,y$ mit $x<y$ (ich
> nenne sie mal [mm] $d_0=x,d_1=y,d_2=\bruch{x+y}{2},\ldots$)
[/mm]
Ist das nicht die gleiche Folge wie das ursprüngliche [mm]c_n[/mm]???
> gilt:
>
> [mm] $\limes_{n\to\infty} d_n=x+(y-x)*\limes_{n\to\infty} c_n$
[/mm]
Wieso gilt das?
> Aber wie zeigt man, dass [mm] $\limes_{n\to\infty} [/mm]
> [mm] c_n=\bruch{2}{3}$?
[/mm]
>
> [mm] c_0=0
[/mm]
> [mm] c_1=1
[/mm]
> [mm] c_2=\bruch{1}{2}=1*2^{-2+1}
[/mm]
> [mm] c_3=\bruch{3}{4}=3*2^{-3+1}
[/mm]
> [mm] c_4=\bruch{5}{8}=5*2^{-4+1}
[/mm]
>
> Die Folge der Zähler verhält sich so:
> [mm] z_0=0
[/mm]
> [mm] z_1=1
[/mm]
>
> [mm] z_n=2*z_{n-2}+z_{n-1}
[/mm]
>
> [mm] z_{n+1}=2*z_{n-1}+z_{n}=2*z_{n-1}+2*z_{n-2}+z_{n-1}=2*z_{n-2}+3z_{n-1}
[/mm]
>
> [mm] z_{n+2}=2*z_{n}+z_{n+1}=2*(
[/mm]
>
> Damit ist [mm] $c_n=z_n*2^{-n+1}$
[/mm]
Ich glaube ich kann Dir leider nicht ganz folgen :( Aufgabe a) habe ich aber auf jeden Fall erst mal verstanden. Bei der 3. Aufgabe hat Paulus eine geschlossene Darstellung gefunden. Vielleicht kann ich damit als Matheneuling erst mal arbeiten :) Aber auf jeden Fall Danke für Deine Bemühungen. Ich setze mich dann mal an Aufgabe b) (da hast Du mir ja auch schon einen Ansatz oder ich glaube schon sogar fast die Lösung geschrieben :) )...
Bernhard
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:31 Mi 26.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Frosty,
> Das habe ich doch hoffentlich soweit verstanden. Jetzt ist
> eigentlich nur noch zu sagen, dass [mm]\bruch{1}{n}[/mm] gegen 0
> konvergiert und somit [mm]\bruch{n!}{n^n}[/mm] erst recht, weil es
> ja kleiner ist...
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm] c_6=(6x+10y+5x+11y)*\bruch{1}{32}=(11x+21y)*\bruch{1}{32}
[/mm]
> > [mm] c_7=\ldots
[/mm]
> Das hatte ich auch :)
Ja, das ist mir dann auch aufgefallen, als ich das mit deiner Folge von Zahl verglich...
> > Mmh, da bin ich zur Zeit auch überfragt...
> Was soll ich dann erst sagen?
Du bist doch noch jung (und bist zu so später Stunde zu besseren Leistungen fähig als ich  )
> > ich melde mich,
> > sobald ich mehr herausgefunden habe...
> >
> > Der augenblickliche Stand meiner Forschungen:
> > Es reicht, die Folge für x=0 und y=1 zu untersuchen,
> also
> > [mm] $c_0=0, c_1=1, c_2=\bruch{1}{2},c_3=\bruch{3}{4},\ldots$, [/mm]
>
> > denn für die Folge für beliebiges $x,y$ mit $x<y$ (ich
>
> > nenne sie mal [mm] $d_0=x,d_1=y,d_2=\bruch{x+y}{2},\ldots$)
[/mm]
> Ist das nicht die gleiche Folge wie das ursprüngliche
> [mm]c_n[/mm]???
Ja, klar, aber den Namen c hatte ich oben leider schon für die Folge mit den Startwerten x=0 und y=1 vergeben.
> > gilt:
> >
> > [mm] $\limes_{n\to\infty} d_n=x+(y-x)*\limes_{n\to\infty} [/mm]
> [mm] c_n$
[/mm]
> Wieso gilt das?
Das sieht man recht schnell, wenn man d:=y-x (angenommen, y>x) und dann diese Folge entwickelt:
[mm] $c_0=x$
[/mm]
[mm] $c_1=x+d$
[/mm]
[mm] $c_2=(x+x+d)/2 [/mm] = x + d/2 = [mm] x+d*\bruch{1}{2}$
[/mm]
[mm] $c_3=(x+d+x+d/2)/2 [/mm] = x + 3d/2 = [mm] x+d*\bruch{3}{2}$
[/mm]
> > Damit ist [mm] $c_n=z_n*2^{-n+1}$
[/mm]
> Ich glaube ich kann Dir leider nicht ganz folgen :(
Das Ende meines letzten Beitrags war auch eher eine Sammlung verschiedener Versuche, ich hatte gehofft, man könnte darauf aufbauen.
> Aufgabe a) habe ich aber auf jeden Fall erst mal
> verstanden. Bei der 3. Aufgabe hat Paulus eine geschlossene
> Darstellung gefunden. Vielleicht kann ich damit als
> Matheneuling erst mal arbeiten :) Aber auf jeden Fall Danke
Ja, das war genial von ihm 
Für die Lösung der Aufgabe "reicht" aber auch GrafZahls Ansatz, da du (wie du ja selbst geschrieben hast mittlerweile) dich nicht so gut mit Paulus' stofflichen Voraussetzungen auskennst.
Das schöne ist doch, dass du hier zwei komplett verschiedene Ansätze von GrafZahl und Paulus vorgestellt bekommen hast, die es sich zu merken/verstehen lohnt. Jedenfalls gilt das für mich
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:40 Di 25.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Bernhard,
da ich die dritte Aufgabe schon nicht lösen konnte, hier wenigstens Ideen für die zweite:
> b) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x^n}{n!}[/mm]
> Ich glaube
> (oder hoffe), dass dies hier in etwa wie a) zu lösen ist,
> da ich aber bei a) keinen Ansatz finde, stehe ich auch hier
> auf dem Schlauch.
Aus den Eigenschaften der natürlichen Zahlen folgt, dass es eine Zahl $m$ gibt mit $|x|<m$, die also größer als der Betrag von x ist.
Für alle n>m gilt dann (der Einfachheit halber betrachte ich x>0):
[mm] $\bruch{x^n}{n!}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{x^{n-m}*x^m}{n*(n-1)*\ldots*m*(m-1)*\ldots*2*1}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{x^{n-m}}{n*(n-1)*\ldots*m}*\bruch{x^m}{(m-1)*\ldots*2*1}$
[/mm]
[mm] $\le \bruch{m^{n-m}}{n*(n-1)*\ldots*m}*\bruch{x^m}{(m-1)*\ldots*2*1}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{m}{n}*\bruch{m}{n-1}*\ldots*\bruch{m}{m}*\bruch{x^m}{(m-1)*\ldots*2*1}$
[/mm]
Und nun folgt eine ähnliche (oder besser: genau die gleiche Argumentation wie bei a))
Wie lauten jetzt die letzten Schlußfolgerungen?
Bin gespannt,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 Di 25.05.2004 | | Autor: | Frosty |
Hallo marc,
> Aus den Eigenschaften der natürlichen Zahlen folgt, dass es
> eine Zahl $m$ gibt mit $|x|<m$, die also größer als der
> Betrag von x ist.
>
> Für alle n>m gilt dann (der Einfachheit halber betrachte
> ich x>0):
>
> [mm] $\bruch{x^n}{n!}$
[/mm]
> [mm] $=\bruch{x^{n-m}*x^m}{n*(n-1)*\ldots*m*(m-1)*\ldots*2*1}$
[/mm]
> [mm] $=\bruch{x^{n-m}}{n*(n-1)*\ldots*m}*\bruch{x^m}{(m-1)*\ldots*2*1}$
[/mm]
> [mm] $\le \bruch{m^{n-m}}{n*(n-1)*\ldots*m}*\bruch{x^m}{(m-1)*\ldots*2*1}$
[/mm]
> [mm] $=\bruch{m}{n}*\bruch{m}{n-1}*\ldots*\bruch{m}{m}*\bruch{x^m}{(m-1)*\ldots*2*1}$
[/mm]
Müsste das nicht [mm] $=\bruch{1}{n}*\bruch{m}{n-1}*\ldots*\bruch{m}{m}*\bruch{x^m}{(m-1)*\ldots*2*1}$ [/mm] heißen? Ich glaube sonst ist da ein m zuviel...
> Und nun folgt eine ähnliche (oder besser: genau die gleiche
> Argumentation wie bei a))
> Wie lauten jetzt die letzten Schlußfolgerungen?
Ich würde sagen, dass [mm] $\bruch{1}{n}*\bruch{m}{n-1}*\ldots*\bruch{m}{m}$ [/mm] gegen 0 wandert und somit auch der ganze Ausdruck [mm] $=\bruch{1}{n}*\bruch{m}{n-1}*\ldots*\bruch{m}{m}*\bruch{x^m}{(m-1)*\ldots*2*1}$, [/mm] also auch [mm] $\bruch{x^n}{n!}$, [/mm] weil das ja kleiner oder gleich ist. Ich habe nur noch eine Frage. Wie zeige ich das Ganze für [mm]x<0[/mm]. Da nähert sich der Ausdruck ja von beiden Seiten an 0 an und das [mm] $\le$ [/mm] gilt dann nicht mehr. Dann kann ich doch auch nicht mehr schließen, dass [mm] $\bruch{x^n}{n!}$ [/mm] gegen 0 geht, weil es ja gar nicht immer kleiner ist als [mm] $=\bruch{1}{n}*\bruch{m}{n-1}*\ldots*\bruch{m}{m}*\bruch{x^m}{(m-1)*\ldots*2*1}$? [/mm] Oder habe ich da etwas falsch verstanden? Bis hierhin aber erst mal ein ganz dickes Dankeschön.
Bernhard
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:10 Mi 26.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Frosty,
> > Aus den Eigenschaften der natürlichen Zahlen folgt, dass
> es
> > eine Zahl $m$ gibt mit $|x|<m$, die also größer als der
>
> > Betrag von x ist.
> >
> > Für alle n>m gilt dann (der Einfachheit halber betrachte
>
> > ich x>0):
> >
> > [mm] $\bruch{x^n}{n!}$
[/mm]
> >
> [mm] $=\bruch{x^{n-m}*x^m}{n*(n-1)*\ldots*m*(m-1)*\ldots*2*1}$
[/mm]
> >
> [mm] $=\bruch{x^{n-m}}{n*(n-1)*\ldots*m}*\bruch{x^m}{(m-1)*\ldots*2*1}$
[/mm]
> > [mm] $\le [/mm]
> [mm] \bruch{m^{n-m}}{n*(n-1)*\ldots*m}*\bruch{x^m}{(m-1)*\ldots*2*1}$
[/mm]
> >
> [mm] $=\bruch{m}{n}*\bruch{m}{n-1}*\ldots*\bruch{m}{m}*\bruch{x^m}{(m-1)*\ldots*2*1}$
[/mm]
> Müsste das nicht
> [mm] $=\bruch{1}{n}*\bruch{m}{n-1}*\ldots*\bruch{m}{m}*\bruch{x^m}{(m-1)*\ldots*2*1}$ [/mm]
> heißen? Ich glaube sonst ist da ein m zuviel...
Das m macht die Suppe auch nicht mehr fett, ausserdem steht ja [mm] $\le$ [/mm]
Nein, das kann tatsächlich sein, dass ich mich da verzählt habe; hier ein Korrekturversuch:
[mm] $\bruch{x^n}{n!}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{x^{n-m}*x^m}{n*(n-1)*\ldots*m*(m-1)*\ldots*2*1}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{x^{n-m\red{+1}}}{n*(n-1)*\ldots*m}*\bruch{x^{m\red{-1}}}{(m-1)*\ldots*2*1}$
[/mm]
[mm] $\le \bruch{m^{n-m\red{+1}}}{n*(n-1)*\ldots*m}*\bruch{x^{m\red{-1}}}{(m-1)*\ldots*2*1}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{m}{n}*\bruch{m}{n-1}*\ldots*\bruch{m}{m}*\bruch{x^{m\red{-1}}}{(m-1)*\ldots*2*1}$
[/mm]
Jetzt müßte es stimmen.
> > Wie lauten jetzt die letzten Schlußfolgerungen?
> Ich würde sagen, dass
> [mm] $\bruch{1}{n}*\bruch{m}{n-1}*\ldots*\bruch{m}{m}$ [/mm] gegen 0
> wandert
Aber ich würde gerne genau wissen, warum.
> und somit auch der ganze Ausdruck
> [mm] $=\bruch{1}{n}*\bruch{m}{n-1}*\ldots*\bruch{m}{m}*\bruch{x^m}{(m-1)*\ldots*2*1}$, [/mm]
Und warum dann auch dieser Ausdruck? Was hat der daranmultiplizierte Teil nämlich für eine Eigenschaft?
> also auch [mm] $\bruch{x^n}{n!}$, [/mm] weil das ja kleiner oder
> gleich ist.
Okay, diese Schlußfolgerung lass' ich gelten.
> Ich habe nur noch eine Frage. Wie zeige ich das
> Ganze für [mm]x<0[/mm]. Da nähert sich der Ausdruck ja von beiden
> Seiten an 0 an und das [mm] $\le$ [/mm] gilt dann nicht mehr. Dann
> kann ich doch auch nicht mehr schließen, dass
> [mm] $\bruch{x^n}{n!}$ [/mm] gegen 0 geht, weil es ja gar nicht immer
> kleiner ist als
> [mm] $=\bruch{1}{n}*\bruch{m}{n-1}*\ldots*\bruch{m}{m}*\bruch{x^m}{(m-1)*\ldots*2*1}$? [/mm]
> Oder habe ich da etwas falsch verstanden?
Nein, das ist gut beobachtet.
Für $x<0$ bzw. beliebiges $x$ gilt aber doch:
[mm] $-\bruch{|x|^n}{n!}\le\bruch{x^n}{n!}\le\bruch{|x|^n}{n!}$
[/mm]
Das heißt, die eigentlich zu untersuchenden Folgenglieder (in der Mitte) liegen immer zwischen den Folgengliedern zweier Folgen, die gegen 0 konvergieren, deswegen auch die zu untersuchende Folge.
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Mi 26.05.2004 | | Autor: | Frosty |
Hallo
> [mm] $\bruch{1}{n}*\bruch{m}{n-1}*\ldots*\bruch{m}{m}*\bruch{x^m}{(m-1)*\ldots*2*1}$, [/mm]
> Und warum dann auch dieser Ausdruck? Was hat der daranmultiplizierte Teil nämlich für eine
> Eigenschaft?
x, m sind konstant, also auch der ganze Ausdruck.
Ich habe mit einem Mitstudenten noch eine Lösung gefunden (wenn sie falsch ist, dann sag noch mal kurz Bescheid):
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x^n}{n!}
=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{x}{n}*\bruch{x}{n-1}*\cdots*\bruch{x}{2}*\bruch{x}{1})
=\underbrace{\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x}{n}}_{= 0}*\underbrace{\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x}{n-1}*\cdots*\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x}{2}*\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x}{1}}_{es\ gilt\ immer\ 0\le\ limes\ \le x}
[/mm]
Und da ein Produkt 0 ist, wenn ein Faktor 0 ist, ist [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x^n}{n!}=0[/mm]
Vielleicht ist er nicht besonders gut, aber einfach (und hoffentlich nicht falsch).
Danke für die ganze Hilfe.
Bernhard
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Mi 26.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Frosty,
> > Und warum dann auch dieser Ausdruck? Was hat der
> daranmultiplizierte Teil nämlich für eine
> > Eigenschaft?
> x, m sind konstant, also auch der ganze Ausdruck.
Ja, genau, das meinte ich. Wollte nur sichergehen
> Ich habe mit einem Mitstudenten noch eine Lösung gefunden
> (wenn sie falsch ist, dann sag noch mal kurz Bescheid):
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x^n}{n!}
> =\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{x}{n}*\bruch{x}{n-1}*\ldots*\bruch{x}{2}*\bruch{x}{1})
> =\underbrace{\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x}{n}}_{= 0}*\underbrace{\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x}{n-1}*\ldots*\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x}{2}*\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x}{1}}_{es\ gilt\ immer\ 0\le\ limes\ \le x}
> [/mm]
>
> Und da ein Produkt 0 ist, wenn ein Faktor 0 ist, ist
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x^n}{n!}=0[/mm]
> Vielleicht ist er nicht besonders gut, aber einfach (und
> hoffentlich nicht falsch).
Das ist natürlich eine naheliegende Argumentation, die ich aber für problematisch halte, weil es ja ein unendliches Produkt ist und die Grenzwertsätze da nicht ohne weiteres gelten (falls das zulässig wäre, würde doch auch [mm] a_n=\bruch{2^n}{n} [/mm] konvergieren: [mm] $\limes_{n\to\infty} \bruch{2^n}{n}=\underbrace{\limes_{n\to\infty} \bruch{2}{n}}_{=0}*\limes_{n\to\infty} 2*\ldots*\limes_{n\to\infty} [/mm] 2=0$)
Vor allem verstehe ich den Hinweis unter den geschweiften Klammern nicht, also dieses 0<limes<x. Damit ist doch gar nichts gezeigt, wenn jeder Faktor [mm] $\le [/mm] x$ ist, dann ist das ganze rechte Produkt ohne den ersten Faktor [mm] $\le x^m$ [/mm] und dann? Für $x>1$ wird das doch unendlich groß...
Oder du erklärst es mir noch mal, ich lasse ja mit mir reden
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:06 Do 27.05.2004 | | Autor: | Frosty |
Hallo,
> > Ich habe mit einem Mitstudenten noch eine Lösung gefunden
>
> > (wenn sie falsch ist, dann sag noch mal kurz Bescheid):
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x^n}{n!}
> > =\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{x}{n}*\bruch{x}{n-1}*\ldots*\bruch{x}{2}*\bruch{x}{1})
> > =\underbrace{\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x}{n}}_{= 0}*\underbrace{\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x}{n-1}*\ldots*\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x}{2}*\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x}{1}}_{es\ gilt\ immer\ 0\le\ limes\ \le x}
> >[/mm]
>
> >
> > Und da ein Produkt 0 ist, wenn ein Faktor 0 ist, ist
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x^n}{n!}=0[/mm]
> > Vielleicht ist er nicht besonders gut, aber einfach
> (und
> > hoffentlich nicht falsch).
>
> Das ist natürlich eine naheliegende Argumentation, die ich
> aber für problematisch halte, weil es ja ein unendliches
> Produkt ist und die Grenzwertsätze da nicht ohne weiteres
> gelten (falls das zulässig wäre, würde doch auch
> [mm] a_n=\bruch{2^n}{n} [/mm] konvergieren: [mm] $\limes_{n\to\infty} [/mm]
> [mm] \bruch{2^n}{n}=\underbrace{\limes_{n\to\infty}
> \bruch{2}{n}}_{=0}*\limes_{n\to\infty} [/mm]
> [mm] 2*\ldots*\limes_{n\to\infty} [/mm] 2=0$)
Schade :(
> Vor allem verstehe ich den Hinweis unter den geschweiften
> Klammern nicht, also dieses 0<limes<x.
Wir haben uns gedacht, dass jeder der Limiten (bis auf der erste) zwischen 0 und x liegen muss. Aber natürlich hast du recht. Wir haben nicht bedacht, dass das Produkt unendlich ist lang und dann kann es ja vorkommen (was es sicher auch tut), dass das Produkt auch unendlich ist. Am besten vergesse ich gleich mal unseren "Ansatz"...
> Damit ist doch gar
> nichts gezeigt, wenn jeder Faktor [mm] $\le [/mm] x$ ist, dann ist das
> ganze rechte Produkt ohne den ersten Faktor [mm] $\le x^m$ [/mm] und
> dann? Für $x>1$ wird das doch unendlich groß...
>
> Oder du erklärst es mir noch mal, ich lasse ja mit mir
> reden
Als ob ich dir in Mathe was erklären könnte
Aber mal ne kurze Frage am Rande (passt hier gar nicht rein, wollte trotdem mal fragen).
Der Aufbau der Seiten dauert manchmal ewig... Liegt das an meinem Rechner oder kommt das wirklich durch die vielen Anfragen (ihr habt doch aber 100 Mbit und der Server an sich ist doch auch nicht langsam)? Also nicht, dass mich das groß stören würde, aber ich wollte nur mal fragen...
Bernhard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:32 Do 27.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Frosty,
> > Oder du erklärst es mir noch mal, ich lasse ja mit mir
>
> > reden
> Als ob ich dir in Mathe was erklären könnte
Bald wirst du das können
Aber ich meinte ja auch, dass du mir deine Gedanken erklären solltest, häufig denke ich viel zu schnell, dass etwas falsch ist, weil ich mich nicht richtig damit auseinandergesetzt habe.
> Aber mal ne kurze Frage am Rande (passt hier gar nicht
> rein, wollte trotdem mal fragen).
> Der Aufbau der Seiten dauert manchmal ewig... Liegt das an
> meinem Rechner oder kommt das wirklich durch die vielen
> Anfragen (ihr habt doch aber 100 Mbit und der Server an
> sich ist doch auch nicht langsam)? Also nicht, dass mich
> das groß stören würde, aber ich wollte nur mal fragen...
Tja, ich fürchte, so langsam erreicht der Server wieder seine Grenzen -- wir hatten gestern einen neuen Rekord von 1400 Besuchern. Darauf müssen wir uns erstmal einstellen Das Problem des Servers ist zur Zeit der Hauptspeicher, nicht so sehr Internetanbindung/Schnelligkeit. Durch das ständige ausswappen auf die Festplatten kommt es zu dieser Verlangsamung. Ich hoffe aber, dass wir das bald in den griff bekommen.
Viele Grüße,
Marc
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Hallo, hier ein Loesungsweg zu Deiner Teilaufgabe: > Zeige, dass die Folge konvergiert und bestimme den
> Grenzwert:
> [mm]c_0 := x \in \IR, c_1 := y \in \IR, c_n := \bruch{1}{2} \left( c_{n-1} + c_{n-2} \right)[/mm]
> für [mm]n \ge 2[/mm]
OBdA: [mm]x
Gruss GrafZahl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:43 Di 25.05.2004 | | Autor: | GrafZahl |
...achja, der Grenzwert fehlt ja noch:
Wieder kann man durch eine Skizze zum rechten Ansatz kommen:
Sei [mm]d=y-x[/mm], dann wird also zunachst[mm]d[/mm] zu [mm]x[/mm] addiert, dann [mm]d/2[/mm] abgezogen, dann wieder [mm]d/4[/mm] addiert usw.
Es gilt [mm]c_n=x+\summe_{k=1}^n \bruch{d}{(-2)^{k-1}} [/mm]. (Beweis wieder durch vollstaendige Induktion!). Die geometrische Reihe erledigt den Rest.
nun ja... so haette man auch die Konvergenz schneller haben koennen als im ersten Teil meiner Antwort.
Wie gehabt: Die Details kannst Du nun selbst ausfuellen, sonst frag' nochmal nach.
Gruss GrafZahl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:41 Di 25.05.2004 | | Autor: | Frosty |
Hallo GrafZahl
> OBdA: [mm]x
> [mm]a_n:=c_{2n}[/mm] ist monoton wachsend und [mm]b_n:=c_{2n-1}[/mm] ist
> monoton fallend (Beweis durch Induktion!)
(*)
> , ferner sind
> beide Folgen beschraenkt.
Woher weiß ich das denn? Also ich meine es auch an den Folgen sehen zu können, aber es könnte doch sein, dass ab einem gewissen n sich die Folge ganz komisch unnormal verhält? Oder kann man aus den ersten Gliedern eine Regelmäßigkeit beweisen?
> Also existieren die jeweiligen
> Grenzwerte [mm]a=\lim a_n, b=\lim b_n[/mm]. Es muss nun [mm]a=b[/mm] gelten
> (Warum?).
a, b sind ja Teilfolgen von c. a, b sind beschränkt (siehe oben) und sobald eine Teilfolge von c beschränkt ist, ist c auch beschränkt. Also müssen a und b auch die gleiche Schranke haben. Da a aber monoton steigend und b monoton fallend ist, konvergieren sie und somit auch c.
So würde ich das sagen... Wenn ich falsch liege, dann verbesser mich bitte.
> Daraus folgt dann die Konvergenz von [mm]c_n[/mm]... Die
> Details kannst Du nun selbst ausfuellen, sonst frag nochmal
> nach.
>
> ...achja, der Grenzwert fehlt ja noch:
>
> Wieder kann man durch eine Skizze zum rechten Ansatz
> kommen:
>
> Sei [mm]d=y-x[/mm], dann wird also zunachst[mm]d[/mm] zu [mm]x[/mm] addiert, dann [mm]d/2[/mm]
> abgezogen, dann wieder [mm]d/4[/mm] addiert usw.
>
> Es gilt [mm]c_n=x+\summe_{k=1}^n \bruch{d}{(-2)^{k-1}} [/mm].
> (Beweis wieder durch vollstaendige Induktion!).
(*) Kannst Du mir vielleicht erklären (nur wenn Du Zeit hast, weil es ja nicht wirklich Teil der Aufgabe ist) wie man sowas beweist, weil wir bis jetzt immer geschlosse Folgen bei Induktionsbeweisen hatten? Hier weiss ich ja gar nicht wie das n-te Glied aussieht, es sein denn ich rechne es mühsam aus.
> Die geometrische Reihe erledigt den Rest.
>
> nun ja... so haette man auch die Konvergenz schneller haben
> koennen als im ersten Teil meiner Antwort.
Kann man eigentlich einfach den Grenzwert berechnen und dann sagen, dass die Existenz eines Grenzwertes eine Konvergenz beinhaltet oder sind das beides zwei ganz getrennte Beweise?
Vielen Dank für die Hilfe
Bernhard
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> (*) Kannst Du mir vielleicht erklären (nur wenn Du Zeit
> hast, weil es ja nicht wirklich Teil der Aufgabe ist) wie
> man sowas beweist, weil wir bis jetzt immer geschlosse
> Folgen bei Induktionsbeweisen hatten? Hier weiss ich ja gar
> nicht wie das n-te Glied aussieht, es sein denn ich rechne
> es mühsam aus.
> > Die geometrische Reihe erledigt den Rest.
> >
> > nun ja... so haette man auch die Konvergenz schneller
> haben
> > koennen als im ersten Teil meiner Antwort.
> Kann man eigentlich einfach den Grenzwert berechnen und
> dann sagen, dass die Existenz eines Grenzwertes eine
> Konvergenz beinhaltet oder sind das beides zwei ganz
> getrennte Beweise?
>
> Vielen Dank für die Hilfe
> Bernhard
>
Also, eins nach dem anderen, zunaechst mal eine moegliche Loesung der Aufgabe, man muss hier allerdings die geometrische Reihe kennen:
Die Identitaet
(*) [mm] c_n=x+\summe_{k=1}^n \bruch{d}{(-2)^{k-1}} [/mm]
ist dann durchaus Teil der Aufgabe, da daraus die Loesung unmittelbar folgt!
Beweis: Angenommen, (*) sei bewiesen. Es gilt:
(1) [mm] \summe_{k=1}^n \bruch{1}{(-2)^{k-1}} [/mm] ist konvergent.
(2) [mm] \summe_{k=1}^\infty \bruch{1}{(-2)^{k-1}} = \bruch{1}{1+1/2} = \bruch{2}{3} [/mm]
Beide Aussagen (1) und (2) folgen aus den Saetzen ueber die geometrische Reihe [mm] \summe_{k=0}^n q^k[/mm] mit [mm] q=-\bruch{1}{2} [/mm]. Evtl. hattet ihr unendliche Reihen noch nicht in der Vorlesung?!
Aus (1) folgt jetzt sofort die Konvergenz von [mm] c_n [/mm].
Zur Bestimmung des Grenzwertes: Gleichung (2) eingesetzt in (*) ergibt
[mm] \lim c_n=x+ d*\bruch{2}{3}=x+ \bruch{2}{3}(y-x) [/mm]
Fertig.
Man muss also nur noch (*) beweisen.
Beweis durch vollst. Induktion:
Induktionsanfang: n=1, Aussage klar
Induktionsschritt:
Die Aussage (*) sei richtig fuer alle n<=m.
Per Def gilt
[mm] c_{m+1} := \bruch{1}{2} ( c_{m} + c_{m-1} ) [/mm]
Aus der Induktionsannahme folgt, wenn man (*) in [mm] c_{m} [/mm] und [mm]c_{m-1} [/mm] einsetzt:
[mm] c_{m+1} := \bruch{1}{2} \left( x+\summe_{k=1}^m \bruch{d}{(-2)^{k-1}} + x+\summe_{k=1}^{m-1} \bruch{d}{(-2)^{k-1}} \right) = x+\summe_{k=1}^{m+1} \bruch{d}{(-2)^{k-1}} [/mm].
Also gilt (*) auch fuer n=m+1, und damit ist alles bewiesen.
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> Hallo GrafZahl
> > OBdA: [mm]x
>
> > [mm]a_n:=c_{2n}[/mm] ist monoton wachsend und [mm]b_n:=c_{2n-1}[/mm] ist
>
> > monoton fallend (Beweis durch Induktion!)
> (*)
> > , ferner sind
> > beide Folgen beschraenkt.
> Woher weiß ich das denn? Also ich meine es auch an den
> Folgen sehen zu können, aber es könnte doch sein, dass ab
> einem gewissen n sich die Folge ganz komisch unnormal
> verhält? Oder kann man aus den ersten Gliedern eine
> Regelmäßigkeit beweisen?
Deshalb eben Induktion! Dann weiss man, ob Unregelmaessigkeiten auftauchen koennen.
> a, b sind ja Teilfolgen von c. a, b sind beschränkt (siehe
> oben) und sobald eine Teilfolge von c beschränkt ist, ist c
> auch beschränkt.
Nein. Man kann leicht Gegenbeispiele konstruieren.
Das alles ist formal etwas schwierig, ist allerdings eine Musteruebung zu sauberer vollst. Induktion. Ich gebe eine Skizze. Falls Du Interesse hast, das auszuarbeiten, helfe ich gerne weiter:
Mit [mm] a_n=c_{2n} [/mm] und [mm] b_n=c_{2n-1} [/mm] betrachte folgende Aussage A(n).
(1) [mm] a_n<=a_{n+1}<=y [/mm]
(2) [mm] b_n>=b_{n+1}>=x [/mm]
(3) [mm] b_n
Also, A(n) ist (1)+(2)+(3) zusammmen. Man zeigt nun: Ist A(m) wahr fuer alle m<=n, so impliziert dies A(n+1) ! (Uebung ) Es ist nicht ganz leicht, diesen Induktionsschritt sauber hinzuschreiben. Die Aussage [mm] b-a=\epsilon>0 [/mm] fuehrt nun zu einem Widerspruch zur Definition von [mm] c_n [/mm], wenn man n so gross waehlt, dass [mm] |a_n-a|<\epsilon/2 [/mm] und [mm] |b_n-b|<\epsilon/2 [/mm]. Auch hier braucht man etwas Epsilon-Ungleichungstechnik, um das ordentlich hinzuschreiben.
Das zeigt die Existenz eines gemeinsamen Grenzwertes der beiden Teilfolgen und auch die Konvergenz der [mm] c_n [/mm]. Was fehlt, ist der Grenzwert selbst.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 Do 27.05.2004 | | Autor: | Frosty |
Hallo,
> Mit [mm]a_n=c_{2n}[/mm] und [mm]b_n=c_{2n-1}[/mm] betrachte folgende Aussage A(n).
> (1) [mm]a_n<=a_{n+1}<=x[/mm]
> (2) [mm]b_n>=b_{n+1}>=y[/mm]
> (3) [mm]b_n>a_n[/mm]
Das habe ich jetzt alles gezeigt. Habe es aber mit Paulus Fomel gemacht, weil ich mit Summen nicht so gut rechnen kann. Aber vom Prinzip her ist es immer das gleiche. Ich habe immer mit x < y begonnen und dann darauf aufgebaut bis (1) (2) und (3) heraus kam.
Dazu habe ich allerdings noch eine kleine Frage.
Warum gilt x < y oBdA? Ich verstehe, dass man das sagen kann, weil wenn x > y wäre, würden sich in den Beweisen einfach nur die < bzw. > umdrehen. Aber wie argumentiert man, dass man nicht alle Beweise zwei mal aufschreiben muss?
> Die Aussage
> [mm]b-a=\epsilon>0[/mm] fuehrt nun zu einem Widerspruch zur
> Definition von [mm]c_n [/mm], wenn man n so gross waehlt, dass
> [mm]|a_n-a|<\epsilon/2[/mm] und [mm]|b_n-b|<\epsilon/2 [/mm]. Auch hier
> braucht man etwas Epsilon-Ungleichungstechnik, um das
> ordentlich hinzuschreiben.
Aus (1) (2) und (3) folgt doch schon, dass [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm] konvergieren (iso-/antiton und nach oben/unten beschränkt). Ich habe einfach die beiden Limiten berechnet und es kam das gleiche raus. Das ist doch auch ein Beweis, dass [mm]a = b[/mm] gilt.
> Das zeigt die Existenz eines gemeinsamen Grenzwertes der
> beiden Teilfolgen und auch die Konvergenz der [mm]c_n [/mm].
Hattest du nicht gesagt, dass man nicht sagen, dass eine Folge konvergiert, wenn zwei Teilfolgen konvergieren? Oder liegt das daran, dass die Vereinigung von [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm] ganz [mm]c_n[/mm] und der Grenzwert der Teilfolgen gleich ist?
Sorry, dass ich dich schon wieder nerve, aber ich versuche die Aufgabe wirklich vollständig zu verstehen, weil man die meisten Sachen (sowas wie oBdA) immer mal wieder gebrachen kann. Wäre nett wenn du dich noch mal grade meldest und dann lasse ich dich auch endlich mit dieser Aufgabe in Ruhe Vielen, vielen Dank für die viele Hilfe und Arbeit...
Bernhard
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> Hallo,
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> > Mit [mm]a_n=c_{2n}[/mm] und [mm]b_n=c_{2n-1}[/mm] betrachte folgende
> Aussage A(n).
> > (1) [mm]a_n<=a_{n+1}<=x[/mm]
> > (2) [mm]b_n>=b_{n+1}>=y[/mm]
> > (3) [mm]b_n>a_n[/mm]
> Das habe ich jetzt alles gezeigt. Habe es aber mit Paulus
> Fomel gemacht, weil ich mit Summen nicht so gut rechnen
> kann.
klar, eine Loesung reicht! Dennoch schau Dir mal die geometrische Reihe an [mm]\summe_{k=1}^n q^k = \bruch{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm], sobald diese in der VL drankommt: das ist ein universelles Hilfsmittel, um zu zeigen, dass Summen konvergieren, dass man es nicht oft genug hinschreiben kann. Und der Beweis ist einfach!
> habe immer mit x < y begonnen und dann darauf aufgebaut bis
> (1) (2) und (3) heraus kam.
> Dazu habe ich allerdings noch eine kleine Frage.
> Warum gilt x < y oBdA? Ich verstehe, dass man das sagen
> kann, weil wenn x > y wäre, würden sich in den Beweisen
> einfach nur die < bzw. > umdrehen. Aber wie argumentiert
> man, dass man nicht alle Beweise zwei mal aufschreiben
> muss?
Das muss man wohl im Einzelfall entscheiden wie man den gewaehlten Spezialfall rechtfertigt - und dieses 'oBdA' heisst ja oft lediglich, dass der Autor nur diesen Spezialfall beweisen konnte...
Aber hier gibt es einen typischen Ansatz: einfach alles mit -1 multiplizieren. Also: Falls [mm]x > y[/mm], betrachte [mm]x'=-x, y'=-y[/mm] und die entsprechende folge [mm]c'_n[/mm]. Dann erfuellen [mm]x',y', c'_n[/mm] die Voraussetzungen des bewiesenen Falles. Wegen [mm]c_n=-c'_n[/mm] (streng genommen induktiv, aber das kann man sich hier schnenken) folgt, dass das urspruengliche [mm]c_n[/mm] konvergiert und der Grenzwert stimmt.
>
> > Die Aussage
> > [mm]b-a=\epsilon>0[/mm] fuehrt nun zu einem Widerspruch zur
> > Definition von [mm]c_n [/mm], wenn man n so gross waehlt, dass
>
> > [mm]|a_n-a|<\epsilon/2[/mm] und [mm]|b_n-b|<\epsilon/2 [/mm]. Auch hier
>
> > braucht man etwas Epsilon-Ungleichungstechnik, um das
> > ordentlich hinzuschreiben.
> Aus (1) (2) und (3) folgt doch schon, dass [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm]
> konvergieren (iso-/antiton und nach oben/unten beschränkt).
> Ich habe einfach die beiden Limiten berechnet und es kam
> das gleiche raus. Das ist doch auch ein Beweis, dass [mm]a = b[/mm]
> gilt.
Ja, in der Tat!
> > Das zeigt die Existenz eines gemeinsamen Grenzwertes der
>
> > beiden Teilfolgen und auch die Konvergenz der [mm]c_n [/mm].
>
> Hattest du nicht gesagt, dass man nicht sagen, dass eine
> Folge konvergiert, wenn zwei Teilfolgen konvergieren? Oder
> liegt das daran, dass die Vereinigung von [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm] ganz
> [mm]c_n[/mm] und der Grenzwert der Teilfolgen gleich ist?
Ja, genauso ist es. Normalerweise muesste man zeigen, dass JEDE Teilfolge gegen denselben Wert konvergiert.
>
> Sorry, dass ich dich schon wieder nerve, aber ich versuche
> die Aufgabe wirklich vollständig zu verstehen, weil man die
> meisten Sachen (sowas wie oBdA) immer mal wieder gebrachen
> kann. Wäre nett wenn du dich noch mal grade meldest und
> dann lasse ich dich auch endlich mit dieser Aufgabe in Ruhe
> Vielen, vielen Dank für die viele Hilfe und Arbeit...
>
> Bernhard
>
Wenn ich genervt waere wuerde ich einfach nicht mehr antworten.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:21 Di 25.05.2004 | | Autor: | Frosty |
Danke für die vielen Anregungen. Ich muss jetzt erst mal in die Uni, werde mich aber heute mittag gleich dran setzten und gucken wie weit ich mit dem Verstehen komme... Und ich wollte noch mal los werden, dass der Matheraum wirklich ne ganz große Sache ist :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:59 Di 25.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Frosty
> Zeige, dass die Folge konvergiert und bestimme den
> Grenzwert:
> [mm]c_0 := x \in \IR, c_1 := y \in \IR, c_n := \bruch{1}{2} \left( c_{n-1} + c_{n-2} \right)[/mm]
> für [mm]n \ge 2[/mm]
> Ich habe versucht eine nicht rekursive (was
> ist noch mal das Gegenteil von rekursiv) Folge zu finden,
> damit man den Ausdruck vereinfachen kann. Ich erhalte dann
> jedoch eine Zahlenreihe (1,3,5,11,21,43,85,... also in etwa
> 1,(n-1)*2+1,(n-1)*2-1,(n-1)*2+1,(n-1)*2-1,...), die ich
> auch nur rekursiv darstellen kann.
Auch ich habe versucht, eine geschlossene Darstellung zu finden.
Dabei habe ich Folgendes erhalten:
[mm]c_{n}= \bruch{1}{3}((1+(-1)^{n}*2^{1-n})x+2(1-(-1)^{n}*2^{-n})y)[/mm]
Und an dieser Form siehst du den Grenzwert sofort für $n [mm] \to \infty$
[/mm]
Die Herleitung der Formel? Knobelaufgabe.
Tip: Betrachte den Vektor [mm]\begin{pmatrix}c_{0}\\c_{1}\end{pmatrix}[/mm] und berechne daraus den folgenden Vektor [mm]\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}[/mm] mittels einer Linearen Abbildung. Die Abbildungsmatrix kannst du mit Hilfe der Eigenvektoren in Diagonalform bringen. In der Diagonalform gestaltet sich die $n-fache$ Ausführung der Abbildung recht einfach.....
Wenn dir der Tip zu vage ist, zeige ich es dir gerne mal, bei Gelegenheit.
(Muss auch wieder mal etwas arbeiten, also frühestens morgen Abend. (Anmerkung: heute Abend ginge auch schon, aber ein Bisschen Zeit zum knobeln musst du ja auch haben))
Mit lieben Grüssen
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:21 Di 25.05.2004 | | Autor: | Alexis |
Hi Paulus.
Ich habe zwar nichts mit dieser Aufgabe zu tun, aber das würde mich allerdings auch interessieren.
Wie bist du denn überhaupt auf die geschlossene Darstellung gekommen?
Ist das Raterei, oder gibt es da ein System. Mit rekursiven Folgen kenn ich mich nämlich nicht so sehr aus.
Gruss,
Alexis
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 Di 25.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Alexis
>
> Wie bist du denn überhaupt auf die geschlossene Darstellung
> gekommen?
>
> Ist das Raterei, oder gibt es da ein System. Mit rekursiven
> Folgen kenn ich mich nämlich nicht so sehr aus.
>
Oh nein, das ist keine Raterei, schon eher Hexerei!
Darauf bin ich so gekommen, wie ich es im Tip kurz angetönt habe: unter Zuhilfenahme der Linearen Algebra. Wie du aber meiner Antwort entnehmen kannst, rücke ich erst morgen Abend mit der Lösung heraus!!
Kennst du dich in Linearer Algebra ein wenig aus? Kennst du die Bedeutung der Matrizen als Darstellungsform für Lineare Abbildungen? Kannst du Eigenwerte berechnen? Kannst du mit Basistransformationen umgehen?
Wenn du alles mit einem klaren "ja!" beantworten kannst, dann wirst du meiner Lösungsidee folgen können, ansonsten wird es aber vermutlich relativ schwierig werden!
Und für Frosty: sollte es dir nicht gelingen, die Herleitung der Formel zu vollziehen (ich weiss nicht, wie weit ihr in Linearer Algebra schon seid), dann kannst du die Formel wenigstens mit vollständiger Induktion verifizieren (beweisen)?
Liebe Grüsse
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:04 Mi 26.05.2004 | | Autor: | Frosty |
Hallo Paulus,
> Oh nein, das ist keine Raterei, schon eher Hexerei!
Das denke ich mittlerweile auch immer öfter
> Kennst du dich in Linearer Algebra ein wenig aus? Kennst du
> die Bedeutung der Matrizen als Darstellungsform für Lineare
> Abbildungen? Kannst du Eigenwerte berechnen? Kannst du mit
> Basistransformationen umgehen?
>
> Wenn du alles mit einem klaren "ja!" beantworten kannst,
> dann wirst du meiner Lösungsidee folgen können, ansonsten
> wird es aber vermutlich relativ schwierig werden!
Ich glaube ich kann alles mit einem klaren "nein!" beantworten. In LAI fangen wir grade mit komplexen Zahlen an und auch in der Schule hatte ich so gut wie keine Matrizen. Also ist die Herleitung für mich ziemlich utopisch...
> Und für Frosty: sollte es dir nicht gelingen, die
> Herleitung der Formel zu vollziehen (ich weiss nicht, wie
> weit ihr in Linearer Algebra schon seid), dann kannst du
> die Formel wenigstens mit vollständiger Induktion
> verifizieren (beweisen)?
Das habe ich bereits versucht aber ohne Erfolg :-(
Wir hatten bis jetzt immer Beweise wie:
[mm]1^2+2^2+\cdots+n^2=\bruch{1}{6}n(n+1)(2n+1)[/mm]
aber hier habe ich ja eine rekursive Folge:
[mm]x,y,\bruch{x}{2}+\bruch{y}{2},\cdots[/mm]
bei der geschlossen Form kann man im IS immer irgendwann die IV einsetzen
[mm]\underbrace{1^2+2^2+\cdots+n^2}_{das\ war\ nach\ IV\ \bruch{1}{6}n(n+1)(2n+1)}+(n+1)^2[/mm]
und dann brauchte man immer nur noch auszurechnen...
Aber hier bekomme ich das nicht hin. Bin jetzt ein bisschen depremiert, Du findest die tollsten Formeln und ich kann sie nicht mal per Induktion beweisen, obwohl das immer das war was ich konnte... menno. Vielleicht kannste mir da ja auch noch nen Tip geben (aber wirklich nur wenn du Zeit hast, ich will Dich ja nicht von Deiner Arbeit abhalten).
Danke
Bernhard
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 Mi 26.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Frosty
ich bin wirklich etwas knapp an Zeit.
Trotzdem hilft dir vielleicht mein kleiner Tip, dass du den Beweis mit vollständiger Induktion führen kannst:
Verankere mit n = 0 und mit n = 1;
D.h. zeige, dass die Formel für [mm] $c_0$ [/mm] und für [mm] $c_1$ [/mm] gültig ist.
Dazu brauchst du nur in meiner wunderbaren Formel für $n$ den Wert $0$ resp. $1$ einzusetzen. Wenn dann [mm] $c_{0}=x$ [/mm] resp. [mm] $c_{1}=y$ [/mm] herauskommst, dann ist die Verankerung geglückt.
Nun setzst du voraus, dass die Formel richtig sei für $n$ und für $n-1$
Die Rekursionsformel heisst ja: [mm] $c_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}c_{n-1}+\bruch{1}{2}c_{n}$.
[/mm]
Jetzt setzst du einerseits für [mm] $c_{n+1}$ [/mm] in meiner genialen formel an Stelle von $n$ den Ausdruck$n+1$ ein. Vorsicht bei negativen $n$: Vorzeichen richtig berücksichtigen!
Andererseits berechnest du [mm] $c_{n+1}$ [/mm] durch die Rekursionsvorschrift: [mm] $\bruch{1}{2}c_{n-1}+\bruch{1}{2}c_{n}$
[/mm]
Hier musst du durch Zusammenfassen, Ausklammern und Kürzen auf die Formel kommen, die unter "einerseits" herausgekommen ist. Tip: ein zwischenzeitlicher Blick auf das gesuchte Resultat (also das, was unter "einerseits" herausgekommen ist, kann ein Bisschen als Wegweiser dienen, das Richtige auszuklammern und zusammenzufassen). Und noch was: $ [mm] ((-1)^{n+1}x [/mm] + [mm] (-1)^{n}y)=(-1)^{n-1}*(x-y)$, [/mm] nur als Beispiel!
Viel Erfolg, es funktioniert wirklich! (Hab ich gestern Abend mit Bleistift und Papier gemacht)
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:43 Mi 26.05.2004 | | Autor: | Alexis |
Hi Paulus.
Ich kenne die Sachen der Linearen Algebra, aber ich bekomme es irgendwie nicht ansatzweise hin :(
Ich finde keine vernünftige Abbildung.
Meine erste Idee war, wie folgt:
[mm]c_1\to c_1\cdot A=c_2\quad\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}y\\\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}x\end{pmatrix}[/mm]
Aber so müsste ja [mm]A\in\IR^{1\times1}[/mm] gelten und so komme ich sicher nicht auf [mm]c_2[/mm], unabhängig davon, ob ich [mm]A[/mm] jetzt von links oder von rechts multipliziere.
Tja, ich bin da irgendwie auf dem Holzweg.
Wenn du irgendwann mal wieder Zeit hättest, wäre ich auf jeden Fall an deiner Lösung interessiert, aber es drängt nicht, ist ja einfach nur interessehalber.
MfG,
Alexis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:59 Mi 26.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Alex
das Problem scheint dich wirklich zu interssieren! finde ich schön!
> Hi Paulus.
>
> Ich kenne die Sachen der Linearen Algebra, aber ich bekomme
> es irgendwie nicht ansatzweise hin :(
>
> Ich finde keine vernünftige Abbildung.
>
> Meine erste Idee war, wie folgt:
>
> [mm]c_1\to c_1\cdot A=c_2\quad\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}y\\\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}x\end{pmatrix}[/mm]
>
Ja, in etwa so ist der Ansatz richtig. Mit dem Teil rechts bin ich sogar 100%-ig einverstanden, Links sollte es aber eher so heissen:
[mm]\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}[/mm]
Wir wollen ja mit der Matrix $A$ folgendes bewirken:
[mm]A*\begin{pmatrix}c_{0}\\c_{1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}[/mm]
oder
[mm]A*\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c_{2}\\c_{3}\end{pmatrix}[/mm]
und so weiter.
Es wird also ein 2-dimensionaler Vektor mit Komponenten aus [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] auf einen 2-dimensionalen Vektor mit Komponenten aus [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] abgebildet.
Und wie du richtig erkannt hast, muss gelten:
[mm]A*\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y\\\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}x\end{pmatrix}[/mm]
Um die richtige Matrix zu erhalten, gilt ja die Regel: in den Spalten stehen die Bilder der Basisvektoren.
Du berechnest also
[mm]A*\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}[/mm] und
[mm]A*\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}[/mm],
um die Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix zu erhalten.
Kannst du mal bis hierhin fortfahren?
>
> Wenn du irgendwann mal wieder Zeit hättest, wäre ich auf
> jeden Fall an deiner Lösung interessiert, aber es drängt
> nicht, ist ja einfach nur interessehalber.
>
... und genau jenen Leuten, die aus Interesse fragen, und nicht einfach, weil sie die Hausaufgaben zu lösen haben, gebe ich am allerliebsten Hinweise zur Lösung ihrer (mathematischen) Probleme!
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Mi 26.05.2004 | | Autor: | Alexis |
Hi Paulus. (Hoffe das Duzen und das Hi stört dich nicht.....)
Ok....bin in der zwischen ein bisschen weiter.
A müsste die folgende Gestalt haben:
[mm]A=\begin{pmatrix}0&1\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}[/mm]
Mit den Eigenwerten 1 und -1/2.
Nun hätte ich auch eine Diagonalmatrix [mm]D:=\begin{pmatrix}1&0\\0&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}[/mm], die die Abbildung mit den Basisvektoren [mm]\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix},\quad\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}[/mm] darstellt.
Fehler natürlich nicht ausgeschlossen und was es mir bringt, weiss ich momentan leider auch noch nicht :)
MfG,
Alexis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:23 Mi 26.05.2004 | | Autor: | Alexis |
Hi.
Wollte gerade mal nachschauen ob du (Paulus) schon geantwortet hast, da ist mir aufgefallen, dass das ja ne Frage geworden ist. Sollte eigentlich genau wie das hier ne Mitteilung werden, da es keine Fälligkeit dafür gibt.
Bis denne,
Alexis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Do 27.05.2004 | | Autor: | Alexis |
So.
Habe jetzt eine Weile nachgedacht, aber mir kommt irgendwie nicht die richtige Idee.
[mm]\varphi^n[/mm] ist zwar mit der Diagonalmatrix relativ einfach auszurechnen, wäre einfach [mm]\begin{pmatrix}x&0\\0&(-\frac{1}{2})^ny\end{pmatrix}[/mm], aber was ich nun damit mache ist mir nicht klar.
Gestern dachte ich, ich hätte eine Idee, aber die war völliger Blödsinn.
Ich bräuchte dann jetzt wohl einen weiteren Hinweis, der mir dann hoffentlich auf die Sprünge hilft.
MfG,
Alexis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:45 Fr 28.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Alexis
also, du has zusammenfassend das Folgende erhalten:
[mm]A=\begin{pmatrix}0&1\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}[/mm]
[mm]D:=\begin{pmatrix}1&0\\0&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}[/mm]
[mm]b_{1}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}[/mm]
[mm]b_{2}=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}[/mm]
Beachte dabei bitte, dass ich die Eigenvektoren [mm]b_1[/mm] und [mm]b_2[/mm] gegenüber deiner Antwort vertauscht habe. Zum Eigenwert [mm]1[/mm] gehört [mm]b_1[/mm], zum Eigenwert [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] gehört [mm]b_2[/mm] Du hast in der Diagonalmatrix ja auch diese Reihenfolge gewählt.
Und jetzt kannst du durch eine Basistransformation die kanonische Basis in die Eigenvektoren überführen.
[mm]\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}[/mm] wird auf [mm]b_{1}[/mm] abgebildet, und
[mm]\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}[/mm] wird auf [mm]b_{2}[/mm] abgebildet.
Dies ergibt eine Transformationsmatrix $T$ für die Basistransformation.
Und jetzt sollst du mal in deinen Unterlagen den Zusammenhang zwischen $A$ und $T$ suchen. Es würde den Rahmen hier ein wenig sprengen, wenn ich das auch noch alles herleiten sollte.
Kannst du diesen Zusammenhang vielleicht mal ausfindig machen und dann weiter forschen?
Liebe Grüsse
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:24 Mi 26.05.2004 | | Autor: | Frosty |
Hallo,
So, jetzt ist deine Formel erst richtig genial. Ich habe es geschafft sie zu beweisen
Da hab ich mal wieder was fürs Leben gelernt.
Dankeschön
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