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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Sa 02.04.2011 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Gebe den Grenzwert an, oder begründe, warum er nicht existiert:
(a) [mm] \limes_{x\rightarrow3}\bruch{x^2-9}{|x-3|} [/mm] (b) [mm] \limes_{x\rightarrow-3}\bruch{x^2-9}{|x-3|} [/mm] |
Hallo! Stehe gerade etwas auf dem Schlauch und weiss nicht genau, wie ich die Aufgabe richtig lösen kann.
Habe mehrer Möglichkeiten zur Auswahl:
(a) [mm] \limes_{x\rightarrow3}\bruch{x^2-9}{|x-3|} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow3}\bruch{(x-3)*(x+3)}{|x-3|} [/mm] (*)
Darf ich an der Stelle denn jetzt kürzen? Weiss gerade nicht mit dem Betrag umzugehen. Ich mach mal mit Kürzen weiter:
(*) = [mm] \limes_{x\rightarrow3}(x+3) [/mm] = 6 (?)
Andererseits kann man argumentieren, dass [mm] \limes_{x\rightarrow3}\bruch{x^2-9}{|x-3|}=\bruch{9-9}{|3-3|}=\bruch{0}{0}\Rightarrow [/mm] Widerspruch, da man nicht durch 0 teilen darf.
Was ist hier richtig? Oder muss ich da vielleicht mit L'Hospital ran gehen?
Zu b melde ich mich besser erst, wenn ich a verstanden habe..
Vielen Dank schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 Sa 02.04.2011 | | Autor: | Kayle |
Hallo,
> Was ist hier richtig? Oder muss ich da vielleicht mit
> L'Hospital ran gehen?
>
Find ich ne gute Idee (aber durch das Kürzen kommt man hier auf den selben Ausdruck). Apropos l'Hopital, den wendet man doch gerade in dem Fall [mm] "\bruch{0}{0}" [/mm] an - damit sollte sich die Frage auch geklärt haben.
Gruß
Kayle
> Zu b melde ich mich besser erst, wenn ich a verstanden
> habe..
>
> Vielen Dank schonmal!
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Sa 02.04.2011 | | Autor: | chesn |
Damit ergibt sich dann ein Problem beim Ableiten:
Für $x > 3$ gilt: $g(x) = x-3 [mm] \Rightarrow [/mm] g'(x)= 1$
Für $x < 3$ gilt: $g(x) = -(x-3) [mm] \Rightarrow [/mm] g'(x)=-1$
Was gilt jetzt für $x=3$? Beides? Dann habe ich zwei Grenzwerte mit L'Hospital (?!) :
[mm] \limes_{x\to3}\bruch{x^2-9}{x-3}=\bruch{2x}{1}=6 [/mm] und [mm] \limes_{x\to3}\bruch{x^2-9}{x-3}=\bruch{2x}{-1}=-6
[/mm]
Habe den Funktionsgraphen mal zeichnen lassen, damit komme ich auch graphisch auf dieses Ergebnis. Allerdings komme ich bei (b) für [mm] \limes_{x\to-3} [/mm] graphisch auf den Grenzwert 0.
Rechnerisch jedoch:
Da $ x < 3: [mm] \limes_{x\to-3}\bruch{x^2-9}{-(x-3)}=\limes_{x\to-3}\bruch{2x}{-1}= \bruch{-6}{-1} [/mm] = 6 $
Wo liegt der Fehler, bzw auf welchem Weg kann man die Aufgabe am besten lösen?
Vielen Dank!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:00 Sa 02.04.2011 | | Autor: | chesn |
Evtl. läuft es doch einfach aufs Kürzen hinaus:
[mm] \limes_{x\to3}\bruch{x^2-9}{|x-3|} [/mm] (*) Da x [mm] \ge, [/mm] 3, gilt: |x-3| = (x-3), also:
(*) = [mm] \limes_{x\to3}\bruch{[s](x-3)[/s]*(x+3)}{[s](x-3)[/s]}=\limes_{x\to3}x+3 [/mm] = 3+3 = 6
bei (b) dann entsprechend:
[mm] \limes_{x\to-3}\bruch{x^2-9}{|x-3|} [/mm] (*) Da x [mm] \le, [/mm] 3, gilt: |x-3| = -(x-3), also:
(*) = [mm] \limes_{x\to3}\bruch{[s](x-3)[/s]*(x+3)}{[s]-(x-3)[/s]}=\limes_{x\to3}\bruch{x+3}{-1} [/mm] = [mm] \bruch{0}{-1} [/mm] = 0
Mit L'hospital komm ich da sonst nicht weit.. und was ist jetzt mit dem anderen Grenzwert für x=3, also -6 ?!
Vielen Dank
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Hallo chesn,
l'Hospital würde ich da nicht empfehlen.
Versuch es lieber mit gewöhnlichem Kürzen
und verwende dabei, dass
$\ |x-a|\ =\ (x-a)*sgn(x-a)$
sgn ist dabei die ![[]](/images/popup.gif) Vorzeichenfunktion.
LG Al-Chw.
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