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| Aufgabe | Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte:
$(i) [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{e^x-1-xe^{\bruch{x}{2}}}{x^2}$
[/mm]
$(ii) [mm] \limes_{x\rightarrow \infty} x(ln(1+\wurzel{x^2 + 1}) [/mm] - ln(x))$
$(iii) [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{tan(x)-sin(x)}{x(1-cos(x))}$
[/mm]
$(iv) [mm] \limes_{x \rightarrow \bruch{\pi}{4}} (tan(x))^{tan(2x)}$ [/mm] |
Also bei der ersten Teilaufgabe bin ich folgendermaßen vorgegangen:
$(i) [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{e1x-1-xe^{\bruch{x}{2}}}{x^2}= \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{e^x}{x^2}-\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1}{x^2}-\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{e^{\bruch{x}{2}}}{x}$
[/mm]
Und da gilt:
[mm] $\limes_{x \rightarrow 0} e^x [/mm] = [mm] \limes_{x \rightarrow 0}e^{\bruch{x}{2}}=e^0= [/mm] 1$ folgt:
[mm] $=\limes_{x \rightarrow 0} -\bruch{1}{x^2}= -\infty$
[/mm]
Passt das?
Ich habe jedoch Schwierigkeiten bei den anderen Teilaufgaben und würde mich sehr über Tipps freuen!
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Hallo DudiPopan,
> Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte:
> [mm](i) \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{e^x-1-xe^{\bruch{x}{2}}}{x^2}[/mm]
>
> [mm](ii) \limes_{x\rightarrow \infty} x(ln(1+\wurzel{x^2 + 1}) - ln(x))[/mm]
>
> [mm](iii) \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{tan(x)-sin(x)}{x(1-cos(x))}[/mm]
>
> [mm](iv) \limes_{x \rightarrow \bruch{\pi}{4}} (tan(x))^{tan(2x)}[/mm]
>
> Also bei der ersten Teilaufgabe bin ich folgendermaßen
> vorgegangen:
> [mm](i) \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{e1x-1-xe^{\bruch{x}{2}}}{x^2}= \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{e^x}{x^2}-\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1}{x^2}-\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{e^{\bruch{x}{2}}}{x}[/mm]
Begründung? Was sagen die Grenzwertsätze dazu??
>
> Und da gilt:
> [mm]\limes_{x \rightarrow 0} e^x = \limes_{x \rightarrow 0}e^{\bruch{x}{2}}=e^0= 1[/mm]
> folgt:
> [mm]=\limes_{x \rightarrow 0} -\bruch{1}{x^2}= -\infty[/mm]
> Passt
> das?
Nö!
Es strebt [mm]\frac{e^x-1-xe^{x/2}}{x^2}[/mm] für [mm]x\to 0[/mm] erstmal gegen den unbestimmten Ausdruck [mm]\frac{0}{0}[/mm]
Da kannst du mal mit de l'Hôpital rangehen.
So wie ich das auf die Schnelle sehe gar zweimal 
Alternativ könntest du über die Reihendarstellung der Exponentialfunktion an die Sache herangehen ...
>
> Ich habe jedoch Schwierigkeiten bei den anderen
> Teilaufgaben und würde mich sehr über Tipps freuen!
Bei (iv) empfiehlt sich die Umschreibung gem.
[mm]a^b=e^{\ln\left(a^b\right)}=e^{b\cdot{}\ln(a)}[/mm] für [mm]a>0[/mm]
Dann kannst du die Stetigkeit der Exponentialfunktion ausnutzen:
[mm]\lim\limits_{x\to x_0}e^{g(x)}=e^{\lim\limits_{x\to x_0}g(x)}[/mm]
Picke dir nach der Umschreibung also den Exponenten heraus und schaue, was der für [mm]x\to\frac{\pi}{4}[/mm] so treibt ...
Bei (ii) hast du den Fall [mm]0\cdot{}\infty[/mm]
Schreibe den Ausgangsterm um in [mm]\frac{\ln\left(1+\sqrt{x^2+1}\right)-\ln(x)}{1/x}[/mm]
Dann kannst du $t:=1/x$ substituieren und statt [mm] $x\to\infty$ [/mm] dann [mm] $t\to [/mm] 0$ betrachten.
Das führt zu einem unbestimmten Ausdruck, so dass wieder de l'Hôpital greift.
(iii) sieht auch stark nach de l'Hôpital aus ...
Gucke mal, wie weit du kommst ...
Gruß
schachuzipus
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Also ich hab die (ii) jetzt mal so versucht, wie du sie geschildert hast:
[mm] $x(ln(1+\wurzel{x^2+1})-ln(x))=\bruch{ln(a+\wurzel{x^2+1})-ln(x)}{\bruch{1}{x}}$
[/mm]
jetzt substituieren:
[mm] $t:=\bruch{1}{x}$
[/mm]
dann kriege ich:
[mm] $\bruch{ln(1+\wurzel{\bruch{1}{t^2}+1}-ln(t)}{t}$
[/mm]
[mm] $\limes_{t \rightarrow 0} \bruch{ln(1+\wurzel{\bruch{1}{t^2}+1}-ln(t)}{t}=\bruch{\infty - \infty}{0}$
[/mm]
Aber das kann so doch nicht stimmen mit dem [mm] \infty -\infty [/mm] oder?
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Hallo nochmal,
> Also ich hab die (ii) jetzt mal so versucht, wie du sie
> geschildert hast:
>
> [mm]x(ln(1+\wurzel{x^2+1})-ln(x))=\bruch{ln(a+\wurzel{x^2+1})-ln(x)}{\bruch{1}{x}}[/mm]
> jetzt substituieren:
> [mm]t:=\bruch{1}{x}[/mm]
> dann kriege ich:
> [mm]\bruch{ln(1+\wurzel{\bruch{1}{t^2}+1}-ln(t)}{t}[/mm]
Am Ende muss doch im Zähler [mm] $-\ln(1/t)$ [/mm] stehen, außerde fehlt eine schließende Klammer!
Fasse nun vor dem Grenzübergang [mm] $t\to [/mm] 0$ die Logarithmen zusammen gem. [mm] $\ln(a)-\ln(b)=\ln(a/b)$ [/mm] ...
Dann siehst du, dass sich am Ende ein unbestimmter Ausdruck der Form $0/0$ ergibt und du de l'Hôpital anwenden kannst ...
> [mm]\limes_{t \rightarrow 0} \bruch{ln(1+\wurzel{\bruch{1}{t^2}+1}-ln(t)}{t}=\bruch{\infty - \infty}{0}[/mm]
>
> Aber das kann so doch nicht stimmen mit dem [mm]\infty -\infty[/mm]
> oder?
Ja, das ist unbestimmt ... nicht gut zum Weiterrechnen ...
Gruß
schachuzipus
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> Hallo nochmal,
>
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> > Also ich hab die (ii) jetzt mal so versucht, wie du sie
> > geschildert hast:
> >
> >
> [mm]x(ln(1+\wurzel{x^2+1})-ln(x))=\bruch{ln(a+\wurzel{x^2+1})-ln(x)}{\bruch{1}{x}}[/mm]
> > jetzt substituieren:
> > [mm]t:=\bruch{1}{x}[/mm]
> > dann kriege ich:
> > [mm]\bruch{ln(1+\wurzel{\bruch{1}{t^2}+1}-ln(t)}{t}[/mm]
>
> Am Ende muss doch im Zähler [mm]-\ln(1/t)[/mm] stehen, außerde
> fehlt eine schließende Klammer!
Das im Zähler hatte ich schon durch [mm] $ln(\bruch{1}{t})=ln(1)-ln(t)= [/mm] -ln(t)$ zusammengefasst.
>
> Fasse nun vor dem Grenzübergang [mm]t\to 0[/mm] die Logarithmen
> zusammen gem. [mm]\ln(a)-\ln(b)=\ln(a/b)[/mm] ...
D.h. so:
[mm] $\bruch{ln(\bruch{1+\wurzel{\bruch{1}{t^2}+1}}{ln(\bruch{1}{t})})}{t}$
[/mm]
????
Aber da bekomme ich dann ja für
[mm] $\limes_{t \rightarrow 0} \bruch{ln(\bruch{1+\wurzel{\bruch{1}{t^2}+1}}{ln(\bruch{1}{t})})}{t} [/mm] = [mm] \bruch{ln(\bruch{\infty}{\infty})}{0}$ [/mm] raus, oder???
>
> Dann siehst du, dass sich am Ende ein unbestimmter Ausdruck
> der Form [mm]0/0[/mm] ergibt und du de l'Hôpital anwenden kannst
> ...
>
> > [mm]\limes_{t \rightarrow 0} \bruch{ln(1+\wurzel{\bruch{1}{t^2}+1}-ln(t)}{t}=\bruch{\infty - \infty}{0}[/mm]
>
> >
> > Aber das kann so doch nicht stimmen mit dem [mm]\infty -\infty[/mm]
> > oder?
>
> Ja, das ist unbestimmt ... nicht gut zum Weiterrechnen ...
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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Hallo nochmal,
> > Hallo nochmal,
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> >
> > > Also ich hab die (ii) jetzt mal so versucht, wie du sie
> > > geschildert hast:
> > >
> > >
> >
> [mm]x(ln(1+\wurzel{x^2+1})-ln(x))=\bruch{ln(a+\wurzel{x^2+1})-ln(x)}{\bruch{1}{x}}[/mm]
> > > jetzt substituieren:
> > > [mm]t:=\bruch{1}{x}[/mm]
> > > dann kriege ich:
> > > [mm]\bruch{ln(1+\wurzel{\bruch{1}{t^2}+1}-ln(t)}{t}[/mm]
> >
> > Am Ende muss doch im Zähler [mm]-\ln(1/t)[/mm] stehen, außerde
> > fehlt eine schließende Klammer!
>
> Das im Zähler hatte ich schon durch
> [mm]ln(\bruch{1}{t})=ln(1)-ln(t)= -ln(t)[/mm] zusammengefasst.
Aber da stand ja schon ein Minus, dann wird -- zu +:
[mm] $\ln(1+\sqrt{...})-\ln(1/t)=\ln(1+\sqrt{...})-(-\ln(t))=\ln(1+\sqrt{...})+\ln(t)$
[/mm]
Was du schreiben kannst als [mm] $\ln((1+\sqrt{1/t^2+1})\cdot{}t)$
[/mm]
>
>
> >
> > Fasse nun vor dem Grenzübergang [mm]t\to 0[/mm] die Logarithmen
> > zusammen gem. [mm]\ln(a)-\ln(b)=\ln(a/b)[/mm] ...
>
> D.h. so:
>
> [mm]\bruch{ln(\bruch{1+\wurzel{\bruch{1}{t^2}+1}}{ln(\bruch{1}{t})})}{t}[/mm]
Nein, das [mm] $\ln$ [/mm] hat im Nenner nix verloren.
[mm] $\ln(1+\sqrt{1/t^2+1})-\ln(1/t)=\ln\left(\frac{1+\sqrt{1/t^2+1}}{1/t}\right)=\ln((1+\sqrt{1/t^2+1})\cdot{}t)$
[/mm]
Also dasselbe wie mit deiner geplanten Umformung - muss ja auch so sein.
Nun nochmal weiter ...
>
> ????
>
> Aber da bekomme ich dann ja für
>
> [mm]\limes_{t \rightarrow 0} \bruch{ln(\bruch{1+\wurzel{\bruch{1}{t^2}+1}}{ln(\bruch{1}{t})})}{t} = \bruch{ln(\bruch{\infty}{\infty})}{0}[/mm]
> raus, oder???
Nee, da hast du vorher was vermurkst ...
Gruß
schachuzipus
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Okay, ja, klar
blöder Leichtsinnsfehler von mir mit dem $ln$ im Nenner!
dann kommt demnach also:
[mm] $\limes_{t \rightarrow 0} \bruch{ln((1+\wurzel{1}{t^2})*t)}{t}= \limes_{t \rightarrow 0} \bruch{ln((t+ \wurzel{1+t^2})}{t}= \bruch{ln(1)}{0}=\bruch{0}{0}$
[/mm]
Passt das dann soweit so? :)
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Also ich habe jetzt die Grenzwerte zu i)-iii) berechnet:
i) 1
ii) 0
iii) 1
Jedoch brächte ich hilfe, bei der iv)!
Wie gehe ich da vor?
Das hat ja nichts mit l'Hospital zu tun, oder??
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:11 Mi 11.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Tipp:
[mm] f(x)^{g(x)}=e^{g(x)*ln(f(x))}
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo DudiPupan!
> [mm]\limes_{t \rightarrow 0} \bruch{ln((1+\wurzel{1}{t^2})*t)}{t}= \limes_{t \rightarrow 0} \bruch{ln((t+ \wurzel{1+t^2})}{t}= \bruch{ln(1)}{0}=\bruch{0}{0}[/mm]
>
> Passt das dann soweit so? :)
Bis auf den unterschlagenen Bruch in der ersten Wurzel: ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Nun als wieder Herr de l'Hospital.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo DudiPupan!
Hier kann man zunächst etwas umformen, um sich die Arbeit bei der Grenzwertermittlung zu erleichtern.
[mm]\bruch{\tan(x)-\sin(x)}{x*\left[1-\cos(x)\right]} \ = \ \bruch{\bruch{\sin(x)}{\cos(x)}-\sin(x)}{x*\left[1-\cos(x)\right]} \ = \ \bruch{\sin(x)*\left[\bruch{1}{\cos(x)}-1\right]}{x*\left[1-\cos(x)\right]} \ = \ \bruch{\sin(x)}{x}*\bruch{\bruch{1}{\cos(x)}-1}{1-\cos(x)} \ = \ \bruch{\sin(x)}{x}*\bruch{\bruch{1}{\cos(x)}-\bruch{\cos(x)}{\cos(x)}}{1-\cos(x)} \ = \ \bruch{\sin(x)}{x}*\bruch{\bruch{1-\cos(x)}{\cos(x)}}{1-\cos(x)} \ = \ \bruch{\sin(x)}{x}*\bruch{1}{\cos(x)}[/mm]
Nun sind nur noch zwei einfache Terme / Grenzwerte zu betrachten.
Gruß
Loddar
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